精品资料欢迎下载复习提问（一）奇偶函数的定义奇函数偶函数代数定义fxfx恒成立fxfx恒成立几何定义图像关于原点对称且00f图像关于 y 轴对称备注定义域关于原点对称是判断奇偶函数的前提，函数奇偶性是函数的整体性质。（二） 、函数按奇偶分类： 奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、 既不是奇函数也不是偶函数 （非奇非偶）（三） 、奇偶函数的性质：1、奇函数的反函数也是奇函数2、奇偶函数的加减：奇奇=奇，偶偶=偶，奇偶=非奇非偶；奇偶函数的乘除：同偶异奇3、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。4、定义在 R 上的任意函数 fx 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和22fxfxfxfxfx奇偶（四） 、函数奇偶性的做题方法与步骤。第一步，判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步，求出fx 的表达式；第三步，比较 fxfx与的关系fxfxfxfx与相等，函数为偶与互为相反数，函数为奇函数 题型与方法归纳题型与方法0,0,020,=fxfxfxfx则是奇函数定义法： 1）看定义域是否关于对称，）若则是偶函数奇偶加减：奇奇 奇，偶偶 偶，奇偶 非奇非偶快速判定奇偶乘除：同偶异奇。一、判定奇偶性例 1：判断下列函数的奇偶性1)21fxx x2）112logxxfx3）2211fxxx4）22fxxx5）2211021102xxfxxx解：1） fx 的定义域为 R，2211fxxxxxfx 所以原函数为偶函数。奇偶性部分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页精品资料欢迎下载2） fx 的定义域为11xx0即11x，关于原点对称111122loglogxxxxfx21log1xfxx，所以原函数为奇函数。3）fx 的定义域为221010xx即1x，关于原点对称，又110ff即1111ffff且，所以原函数既是奇函数又是偶函数。4） fx 的定义域为2020xx即2x，定义域不关于原点对称，所以原函数既不是奇函数又不是偶函数。5）分段函数 fx 的定义域为,00,关于原点对称，当0x时，0x，222111111222fxxxxfx当0x时，0x，222111111222fxxxxfx综上所述，在,00,上总有 fxfx所以原函数为奇函数。注意：在判断分段函数的奇偶性时， 要对 x 在各个区间上分别讨论， 应注意由 x 的取值范围确定应用相应的函数表达式。练习 1：判断下列函数的奇偶性1）2616xxfxx x2）2222xfxx3）2233fxxx4）22fxxx5）2200xxxfxxxx二、利用奇偶性求函数解析式：例 2：设 fx 是 R 上是奇函数，且当0,x时31fxxx，求 fx 在 R 上的解析式解：当0,x时有31fxxx，设,0x， 则0,x，从而有3311fxxxxx，fx 是 R 上是奇函数，fxfx所以31fxfxxx，因此所求函数的解析式为331010xxxfxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页精品资料欢迎下载注意：在求函数的解析式时， 当球自变量在不同的区间上是不同表达式时，要用分段函数是形式表示出来。练习 2：已知 yfx 为奇函数，当0x时，22fxxx，求 fx 的表达式。练习 3、已知fx为奇函数，g x为偶函数，且xfxgxe，求函数fx的表达式。例 3：设函数 fx 是定义域 R 上的偶函数， 且图像关于2x对称，已知2,2x时，21fxx求6, 2x时 fx 的表达式。解：图像关于2x对称，22fxfx ，22fxfx=44 4fxfxfx4fxfx4T6 ,2x42,2x2441fxxfx所以6, 2x时 fx 的表达式为 fx =241x练习 3：已知函数fx为奇函数，当0x时，223fxxx，求fx的表达式。例 4：已知函数538fxxaxbx且210f，求2f的值解：令53g xxaxbx，则8fxg x2281 021 8fggg x 为奇函数，2218218ggg2281 882 6fg练习 4：已知函数7534fxaxbxcxdx且39f，求3f的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页精品资料欢迎下载例 5：定义在 R 上的偶函数 fx 在区间,0 上单调递增，且有2221321faafaa求a的取值范围。解：2217212048aaa，22123213033aaa，且 fx 为偶函数，且在区间,0 单调递增，fx 在区间0,上为减函数，221aa2321a03a所以 a的取值范围是0,3 。点评：利用函数的奇偶性及单调性，将函数值之间的大小关系转换为自变量的大小关系，从而应用不等式有关知识求解 . 练习 5：定义在1,1 上的奇函数 fx 为减函数，且2110fafa，求实数 a 的取值范围。练习 6：定义在2,2 上的偶函数 g x ，当0x时， g x 为减函数，若1gmg m 成立，求 m的取值范围。三、抽象函数奇偶性的判断解题方法与步骤：（1）设/令（2）求值（3）判断对任意的, x y，均有fxyxfyyfx，是判断函数奇偶性。解：设 y=-1，则1fxxffx。令 x=y=-1, 1112ff,令 x=y=1，10f, 所以fxfx，fx 是奇函数。练习 1、已知2,fxyfxyfx fy且00f，判断函数fx的奇偶性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页精品资料欢迎下载练习 2、fxyfxfy，, x yR，判断函数的奇偶性。趁热打铁1、判断下列函数的奇偶性. (1)59xxy；(2)1(log2xxya；(3)2xxeey；(4) 2xxeey2、设函数)(xf定义在,aa上，证明：(1)()(xfxf为偶函数； (2) )()(xfxf为奇函数 . 3、若函数 fx 在区间33,2aa上是奇函数，则 a=( ) A . -3 或 1 B. 3 或-1 C. 1 D. -3 4、 已知函数2334xfxx，则它是（）A 奇函数B 偶函数C 即是奇函数又是偶函数D 既不是奇函数又不是偶函数5. ,x yRfxyfxfy,判断fx的奇偶性。温故知新1 判断下列函数的奇偶性2412;2sincos ;13sincos ;4ln.1yxxyxxxyxxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页精品资料欢迎下载（5）213fxxx（6）100010xxfxxxx2.已知定义在 R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x,且在区间 0,2上是增函数 ,则( ). A.( 25)(11)(80)fffB. (80)(11)( 25)fffC. (11)(80)( 25)fffD. ( 25)(80)(11)fff3.已知函数( )f x是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2( )fxfx），且当0, 2)x时，2( )log(1fxx），则( 2008)(2009)ff的值为（）A2B1C1D24.函数( )f x的定义域为 R，若(1)f x与(1)f x都是奇函数，则( ) (A) ( )f x是偶函数(B) ( )f x是奇函数(C) ( )(2)f xf x(D) (3)f x是奇函数5、已知函数1( )21xf xa. （1）求证：不论a为何实数( )f x总是为增函数；（2）确定a的值，使( )f x为奇函数；（3）当( )f x为奇函数时，求( )f x的值域。6、函数 fx 是定义域为 R 的偶函数，且对任意的xR，均有2fxfx 成立。当0,1x时，log2,1afxxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页精品资料欢迎下载（1）当21,21 ()xkkkZ 时，求 fx 的表达式；（2）若 fx 的最大值为12，解关于 x 的不等式14fx。例 1.判断下列函数的奇偶性（1）xxxxf22)2()(（2）)22( ,22)2()(xxxxxf（3）) 1ln()(2xxxf（4）xxxf11lg)(例 1 判断函数(x)=3x2, x的奇偶性。判断函数的奇偶性。判断函数的奇偶性。判断函数的奇偶性。判断函数例 2已知)0(),21121()(xxxfx（1）判断 f(x) 的奇偶性。（2）证明 f(x)0. 1 已知奇偶性求值例.（1）已知|1|)(axxxf是奇函数，则._2010a（2）若xaxxxf)(1()(是奇函数，则a=_. （3）已知函数)0)(21212()(2xaaxxfx是偶函数，则a=_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页精品资料欢迎下载1.判断下列函数的奇偶性：（ 1）1( )f xxx（2）21( )22xf xx（3）( )2121f xxx（ 4）11( )212xf x（5）1( )11xf xxx（6）y()xaaR（ 7）2240( )40xxxxf xxxxx2若2( )233f xkxkx是偶函数，则( )f x的递减区间是3.已知53( )8f xxaxbx，且( 2)10f，则(2)f等于（）()26()18()10()10ABCD4已知函数( )f x是定义R在上的奇函数，且当0x时，2( )1f xxx，求( )f x的解析式 . 5设( )f x为偶函数，( )g x是奇函数，且1( )( )1f xg xx，求( )f x、( )g x的解析式 . 6函数( )0yf xx是奇函数，且当0,x时是增函数，若(1)0f，求不等式102fx x的解集 . 7定义在1,1上的偶函数( )f x，当0x时，( )f x为增函数，若(1)(2)fmfm成立，求m的取值范围 . 8.已知函数2( )3f xaxbxab为偶函数，其定义域是1,2aa，求( )f x的值域9 已知函数2( )1axbf xx是定义在( 1,1)上的奇函数， 且12( )25f（ 1） 确定函数( )f x的解析式； (2)用定义( )f x证明在( 1,1)上是增函数（3）解不等式(1)( )0f tf t. 高考题练习10.（07 广东文 3）若函数3( )()f xxxR，则函数()yfx在其定义域上是（） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页精品资料欢迎下载A单调递减的偶函数B单调递减的奇函数C单调递增的偶函数D单调递增的奇函数11.（10 安徽理 4）若fx是R上周期为5的奇函数，且满足11,22ff，则34ff（） ABCD12.（10 广东文 3）若函数33xxfx与33xxg x的定义域均为R，则（） Afx与g x均为偶函数Bfx为奇函数，g x为偶函数Cfx与g x均为奇函数Dfx为偶函数，g x为奇函数13.（07 山东理 4）设11132a， ， ，则使函数ayx的定义域为R且为奇函数的所有a值为（）A1，3B1，1C1，3D1，1，314.（08安徽理 11）若函数( ),( )f xg x分别是R上的奇函数、偶函数，且满足( )( )xf xg xe，则有（）A(2)(3)(0)ffgB(0)(3)(2)gffC(2)(0)(3)fgf D(0)(2)(3)gff15.（08湖北文 6）已知( )f x在 R 上是奇函数，且2(4)( ),(0,2)( )2,f xf xxf xx当时，(7)f则（） A.-2 B.2 C.-98 D.9816.（ 10 山东文5）设fx为定义在R上的奇函数，当0x时，22xfxxb(b为常数 )，则1f（） A3B1C1D317.（08重庆理 6） 若定义在 R上的函数f(x) 满足：对任意x1,x2R 有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是（）(A)f(x) 为奇函数（B）f(x) 为偶函数(C) f ( x)+1 为奇函数（D）f (x)+1 为偶函数18.（上海文9）若函数( )()(2 )f xxa bxa（常数abR，）是偶函数，且它的值域为4，则该函数的解析式( )fx函数2143xyxx的图象关于 ( )对称A.x 轴B.直线 y=x C.原点D.y 轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页