学习必备欢迎下载 3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理. 学习过程一、课前准备（预习教材P86 P88，找出疑惑之处）复习 1：一元二次方程2ax +bx+c=0 (a0)的解法 . 判别式= . 当0，方程有两根，为1,2x；当0，方程有一根，为0x；当0，方程无实根 . 复习2：方程2ax +bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象之间有什么关系？判别式一元二次方程二次函数图象000二、新课导学 学习探究探究任务一 ：函数零点与方程的根的关系问题 ：方程2230xx的解为，函数223yxx的图象与x 轴有个交点，坐标为. 方程2210xx的解为，函数221yxx的图象与x 轴有个交点，坐标为. 方程2230xx的解为，函数223yxx的图象与x 轴有个交点，坐标为. 根据以上结论，可以得到：一元二次方程20 (0)axbxca的根就是相应二次函数20 (0)yaxbxca的图象与x轴交点的. 你能将结论进一步推广到( )yf x 吗？新知 ：对于函数( )yf x ，我们把使( )0f x的实数 x 叫做函数( )yf x 的零点 （zero point）. 反思 ：函数( )yf x 的零点、方程( )0f x的实数根、函数( )yf x的图象与x 轴交点的横坐标， 三者有什么关系？试试 ：（1） 函数244yxx的零点为；（2）函数243yxx的零点为. 小结 ：方程( )0f x有实数根函数( )yf x 的图象与 x 轴有交点函数( )yf x 有零点 . 探究任务二 ：零点存在性定理问题 ： 作出243yxx的图象，求(2),(1),(0)fff的值，观察(2)f和(0)f的符号 观察下面函数( )yf x 的图象，在区间 , a b 上零点；( )( )f af b0；在区间 , b c 上零点；( )( )f bf c0；在区间 , c d 上零点；( )( )f cf d0. 新知 ：如果函数( )yf x在区间 , a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有( )( )f af b 0，那么，函 数( )yf x在 区 间 (,)a b 内 有 零 点 ， 即 存 在( , )ca b ， 使 得( )0f c， 这 个c 也 就 是 方 程( )0f x的根 . 讨论 ：零点个数一定是一个吗？逆定理成立吗？试结合图形来分析. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页学习必备欢迎下载 典型例题例 1 求函数( )ln26f xxx的零点的个数. 变式 ：求函数( )ln2f xxx的零点所在区间. 小结 ：函数零点的求法. 代数法：求方程( )0f x的实数根； 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数( )yf x 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 动手试试练 1. 求下列函数的零点：（1）254yxx；（2）2(1)(31)yxxx. 练 2. 求函数23xy的零点所在的大致区间. 三、总结提升 学习小结零点概念；零点、与x 轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理 知识拓展图象连续的函数的零点的性质：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号 . 推论：函数在区间 , a b 上的图象是连续的，且( )( )0f a f b， 那么函数( )f x 在区间 , a b 上至少有一个零点 . （2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 函 数22( )(2)(32)f xxxx的 零 点 个 数 为（）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若函 数( )f x在,a b上 连续 ， 且有()()fafb 则函数( )f x 在,a b 上（）. A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定3. 函 数1()44xfxex的 零 点 所 在 区 间 为（）. A. ( 1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)4. 函数220yxx的零点为. 5. 若函数( )f x 为定义域是R 的奇函数， 且( )f x 在(0,) 上有一个零点 则( )f x 的零点个数为. 课后作业1. 求函数3222yxxx的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象. 2. 已知函数2( )2(1)421f xmxmxm. （1） m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求m 值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页学习必备欢迎下载 3.1.2 用二分法求方程的近似解学习目标1. 根据具体函数图象， 能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识 . 学习过程一、课前准备（预习教材P89 P91，找出疑惑之处）复习 1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？对于函数( )yf x ，我们把使的实数x叫做函数( )yf x 的零点 . 方程( )0f x有实数根函数( )yf x的图象与 x 轴函数( )yf x. 如果函数( )yf x 在区间 , a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数( )yf x 在区间 ( , )a b 内有零点 . 复习 2：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？二、新课导学 学习探究探究任务 ：二分法的思想及步骤问题 ：有12 个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. 解法：第一次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；第二次，两端各放个球，低的那一端一定有重球；第三次，两端各放个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 思考 ：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求ln26yxx的零点所在区间？如何找出这个零点？新知 ：对于在区间 , a b 上连续不断且( )( )f af b 0 且 a 1)有以下叙述第 4 个月时，剩留量就会低于15；每月减少的有害物质量都相等；若 剩 留 量 为111,248所 经 过 的 时 间 分 别 是123,t tt ，则123ttt . 其中所有正确的叙述是 . 练 2. 经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前 n 个月，对某种商品需求总量fn(万件 )近似地满足关系113521,2,3,12150fnn nnn写出明年第n 个月这种商品需求量g n(万件 )与月份 n 的函数关系式 . 三、总结提升 学习小结1. 两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；2. 几种函数模型： 一次函数、 对数函数、 指数函数；3. 应用建模（函数模型） ； 知识拓展解决应用题的一般程序： 审题 ：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 建模 ：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 解模 ：求解数学模型，得出数学结论； 还原 ：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 某种细胞分裂时，由1 个分裂成2个， 2 个分裂成 4 个， 4 个分裂成8 个，现有2 个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（）. A12xyB. y=21xC. y=2xD. y=2x2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系，可选用（）. A. 一次函数B. 二次函数C. 指数型函数D. 对数型函数3. 一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长 x 的函数，它的解析式为（）. A. y=20-2x （x10）B. y=20-2x （ x10）C. y=20-2x （5 x10）D. y=20-2x（5x0，m是大于或等于m 的最小整数（职3=3 ，3.7=4 ） ，则从甲地到乙地通话时间为5.5 分钟的话费为元. 5. 已知镭经过100 年，质量便比原来减少4.24，设质量为1 的镭经过x年后的剩留量为y，则( )yf x 的函数解析式为. 课后作业经市场调查，某商品在过去100 天内的销售量和价格均为时间t （d）的函数，且销售量近似地满足1109( )33g tt（1100t，tN） ；前 40天价格为1( )224f tt（140t，tN） ，后 40天的价格为( )522tf t（41100t，tN） ，试写出该种商品的日销售额S与时间 t 的函数关系 . 54321(月）20406080100（万台）AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页学习必备欢迎下载 3.2.2 函数模型的应用实例（ 2）学习目标1. 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2. 初步了解对统计数据表的分析与处理. 学习过程一、课前准备（预习教材P104 P106，找出疑惑之处）阅读 ：20XX 年 5 月 8 日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目， 马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于 5 月 19 日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件. 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1 天，就医人数将增加1000 人左右，推迟两天约增加工能力 100 人左右；若外界输入1000 人中包含一个病人和一个潜伏病人， 将增加患病人数100 人左右；若 4 月 21 日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60 万人 . 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测 . 二、新课导学 典型例题例 1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是5 元. 销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价 /元6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 变式 ：某农家旅游公司有客房300 间，每间日房租为 20 元，每天都客满 . 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2 元，客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑其他因素， 旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？小结 ：找出实际问题中涉及的函数变量根据变量间的关系建立函数模型利用模型解决实际问题小结：二次函数模型。例 2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表（身高：cm；体重： kg）身高60 70 80 90 100 110 体重6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高120 130 140 150 160 170 体重20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 （1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高 ykg 与身高 xcm 的函数模型的解析式. （2） 若体重超过相同身高男性平均值的1.2 倍为偏胖，低于0.8 倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重 78kg 的在校男生的体重是否正常？小结 ：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据画散点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页学习必备欢迎下载图选择函数模型求函数模型检验符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止. 动手试试练 1. 某同学完成一项任务共花去9 个小时，他记录的完成工作量的百分数如下：时间 /小时1 2 3 4 5 6 7 8 9 完成百分数15 30 45 60 60 70 80 90 100 （1）如果用( )T h 来表示h 小时后完成的工作量的百分数， 请问(5)T是多少？求出( )T h 的解析式， 并画出图象；（2）如果该同学在早晨8：00 时开始工作，什么时候他未工作？练 2. 有一批影碟（ VCD）原销售价为每台800 元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方法促销：买一台单价为780 元， 买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少 20 元，但每台售价不能低于440 元；乙商场一律都按原价的75%销售 . 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较低？三、总结提升 学习小结1. 有关统计图表的数据分析处理；2. 实际问题中建立函数模型的过程； 知识拓展根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：( )(0);f xkxb k二次函数模型：2( )(0);g xaxbxc a幂函数模型：12( )(0);h xaxb a指数函数模型：( )xl xabc （0,ab 0，1b）学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 向高为H 的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与溶液深度h 的大概图象是（）. 2. 某种生物增长的数量y与时间 t 的关系如下表：x1 2 3 y1 3 8 下面函数关系式中，能表达这种关系的是（）. A21yxB21xyC21yxD21.52.52yxx3. 某企业近几年的年产值如下图：则年增长率（增长率=增长值 /原产值）最高的是（）. A. 97 年B. 98 年C. 99 年D. 00 年4. 某杂志能以每本1.20 的价格发行12 万本，设定价每提高0.1 元，发行量就减少4 万本 . 则杂志的总销售收入y 万元与其定价x 的函数关系是. 5. 某新型电子产品20XX 年投产， 计划 20XX 年使其 成 本 降 低36 . 则 平 均 每 年 应 降 低 成本%. 课后作业某地新建一个服装厂，从今年7 月份开始投产，并且前 4 个月的产量分别为1 万件、 1 .2 万件、 1.3万件、 1.37 万件 . 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？0099989796(年）2004006008001000（万元）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页学习必备欢迎下载第三章 函数的应用（复习）学习目标1. 体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件，能用二分法求方程的近似解，初步形成用函数观点处理问题的意识；2. 结合实际问题， 感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题 . 学习过程一、课前准备（复习教材P86 P113，找出疑惑之处）复习 1：函数零点存在性定理. 如果函数( )yf x 在区间 , a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数( )yf x 在区间 ( , )a b 内有零点 . 复习 2：二分法基本步骤. 确定区间 , a b ， 验证( )( )0f af b， 给定精度 ；求区间 ( , )a b 的中点1x ；计算1()f x： 若1()0f x， 则1x 就是函数的零点；若1( )()0f af x， 则 令1bx（ 此 时 零 点01( ,)xa x） ； 若1()( )0f xf b，则令1ax （此时零点01(, )xx b ） ；判断是否达到精度；即若 |ab，则得到零点零点值a（或 b） ；否则重复步骤复习 3：函数建模的步骤. 根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止. 二、新课导学 典型例题例 1 已知二次方程2(2)310mxmx的两个根分别属于 (-1,0)和(0,2)，求 m 的取值范围 . 例 2 某工厂生产某产品x 吨所需费用P 元， 而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P=1000+5x+110x2，Q=a+xb. （1）试写出利润y 关于 x 的函数；（2）若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40 元，求实数a、b 的值 . 例 3 将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：时间（ S）60 120 180 240 300 温度（）86.86 81.37 76.44 66.11 61.32 时间（ S）360 420 480 540 600 温度（）53.03 52.20 49.97 45.96 42.36 （1）描点画出水温随时间变化的图象；（ 2）建立一个能基本反映该变化过程的水温y（）关于时间( )x s 的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.（3）水杯所在的室内温度为18，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10？对此结果，你如何评价？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页学习必备欢迎下载 动手试试练 1. 某种商品现在定价每年p 元，每月卖出n 件，因而现在每月售货总金额np 元，设定价上涨x 成，卖出数量减少y 成，售货总金额变成现在的z 倍（1）用 x 和 y 表示 z； （2）若 y=23x，求使售货总金额保持不变的x 值练 2. 如图，在底边BC=60，高AD=40 的 ABC 中作内接矩形MNPQ ， 设矩形面积为S， MN=x. （1）写出面积S以 x 为自变量的函数式，并求其定义域；（2）求矩形面积的最大值及相应的x 值. 三、总结提升 学习小结零点存在定理及二分法；函数建模. 知识拓展数学模型 ：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。也可以说，数学建模是利用数学语言 （符号、 式子与图象） 模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。数学建模 ：(Mathematical Modelling) 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 函数5( )3fxxx的 实 数解 落在的区间是（）. A. 0 ， 1 B. 1 ，2 C. 2，3 D. 3 ，4 2. 下 列 函 数 关 系 中 ， 可 以 看 着 是 指 数 型 函 数xyka （,01)kR aa且模型的是（）. A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）B.我国人口年自然增长率为1，这样我国人口总数随年份的变化关系C.如果某人ts 内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v 与时间 t 的函数关系D.信件的邮资与其重量间的函数关系3. 用长度为24 的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）. A 3 B 4 C6 D12 4. 若函数2( )2f xxxa 没有零点，则实数a 的取值范围是. 5. 已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份 x 满足关系y=a （0.5）x+b，现已知该厂今年1 月、 2月生产该产品分别为1 万件、 1.5 万件则此厂3月份该产品的产量为_课后作业在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km 长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆， 10km长，大约有200 多根电线杆子呢想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？要把故障可能发生的范围缩小到50100m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页学习必备欢迎下载必修一模块总复习学习目标1. 理解集合有关概念和性质，掌握集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观性研究问题，如数轴分析、 Venn图；2. 深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、 图象等有关性质，掌握函数的单调性和奇偶性；3. 掌握指数函数、 对数函数的概念， 会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质；了解五个幂函数的图象及性质；4. 体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件，能用二分法求方程的近似解；5. 了解函数模型 （如指数函数、 对数函数、 幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用 . 学习过程一、课前准备（复习教材P2 P113，找出疑惑之处）复习 1：集合部分知识结构. 复习 2：函数部分知识结构. 二、新课导学 典型例题例1 已 知 全 集U= |06xNx， 集 合A=|15xNx，集合 B|26xNx.求：（1）AB ； (2) (UC A )B ； （3）()()UUC ACB . 例 2 对于函数2( )21xfxa（aR）. （1）探索函数( )f x 的单调性；（2）是否存在实数a使函数( )f x 为奇函数？例 3 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路. 该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差 . 如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查显示：每付出100元的广告费， 所得的销售额是1000 元. 问该企业应该投入多少广告费，才能获得最大的广告效应，是不是广告做得越多越好? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页学习必备欢迎下载 动手试试练 1. 如图， OAB 是边长为2 的正三角形，记OAB 位 于 直 线(0)xt t左 侧 的 图形 的 面 积 为( )f t ，则函数( )f t 的解析式为 _. 练 2. 某商店卖A、B 两种价格不同的商品，由于商品 A 连续两次提价20%， 同时商品 B 连续两次降价20%，结果都以每件23.04 元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是（）. A多赚 5.92 元B少赚 5.92 元C多赚 28.92 元D盈利相同三、总结提升 学习小结1. 集合的有关概念及三种运算；2. 函数的三要素及性质（单调性、奇偶性）；3. 指、对、幂函数的图象及性质；4. 零点存在定理及二分法；5. 函数模型的应用. 知识拓展基本初等函数包括以下6 种：（1）常值函数：y =c（其中 c 为常数）；（2）幂函数y =xa（其中 a 为实常数）；（3）指数函数y =ax（a0,a1） ；（4）对数函数y =log ax（a0,a 1） ；（5）三角函数；（6）反三角函数 . 所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 已知集合|8,MxN xm mN ，则集合M 中的元素的个数为（）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 下列哪一组中的函数( )f x 与( )g x 相等（）. A.( )1f xx，2( )1xg xxB. 2( )f xx ，4( )()g xxC. 2( )f xx ，36( )g xxD. ( )f xx ，2log( )2xg x3. 已知集合2|log,1Ay yx x，1|() ,1 2xByyx，则 AB =（）. A. 1| 02yyB. | 01yyC. 1|12yyD. 4. 函 数1211lg,2 ,xyxyyyyxxx的零点个数分别为. 5. 若3log14a（0,0aa且） ，则实数a的取值范围为. 课后作业如图所示，动物园要建造一面靠墙的2 间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是 30m，那么宽x 为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页