名师精编优秀教案估计总体的数字特征教学设计教学分析教科书通过现实生活中的例子， 引导学生认识到： 只描述平均位置的特征是不够的，还需要描述样本数据离散程度的特征通过对如何描述数据离散程度的探索，使学生体验创造性思维的过程三维目标1正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差；能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征( 如平均数、标准差 ) ，并作出合理的解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识2在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法；会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用， 能够辩证地理解数学知识与现实世界的联系重点难点教学重点：根据实际问题从样本数据中提取基本的数字特征并作出合理解释，估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性教学难点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决简单的实际问题课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1. 平均数为我们提供了样本数据的重要信息，但是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断 如某地区的统计显示， 该地区的中学生的平均身高为 176 cm，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高但是，假如这个平均数是从50 万名中学生中抽出的50 名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态， 于是我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量标准差 ( 教师板书课题 ) 思路 2. 在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10 次，命中环数如下：甲运动员： 7,8,6,8,6,5,9,10,7,4；乙运动员： 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 我们不难求得， x甲7， x乙7，两个人射击的平均成绩是一样的，那么，是否两个人就没有水平差距呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页名师精编优秀教案图 1 从图 1 直观上看，还是有差异的很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此这节课我们从另外的角度来考察这两组数据，引入课题：标准差推进新课新知探究提出问题1如何通过频率分布直方图估计数字特征( 中位数、众数、平均数 )? 2有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本( 如下表) 检查它们的抗拉强度(单位： kg/mm2)，通过计算发现，两个样本的平均数均为125. 甲110120130125120125135125135125 乙115100125130115125125145125145 哪种钢筋的质量较好？3某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种，对甲、乙两种水稻进行了连续 7 年的种植对比实验，年亩产量分别如下(单位：千克 )：甲： 600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均 773)；乙： 800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均 787)请你用所学统计学的知识，说明选择哪种品种推广更好？4全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心，某市按当地物价水平计算，人均年收入达到1.5 万元的家庭即达到小康生活水平民政局对该市100户家庭进行调查统计， 它们的人均收入达到了1.6 万元，民政局即宣布该市市民生活水平已达到小康水平，你认为这样的结论是否符合实际？5如何考查样本数据的离散程度的大小呢？把数据在坐标系中刻画出来，是否能直观地判断数据的离散程度？讨论结果：1利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字( 最高矩形的中点)估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和2. 图 2 由图 2 可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110，乙样本的最大值 145 高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差(range) 由上图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差较小，数据点较集中，这说明甲比乙稳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页名师精编优秀教案定运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便， 但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论了3选择的依据应该是，产量高且稳产的品种，所以选择乙更为合理4不符合实际原因是样本太小，没有代表性在统计学里，对统计数据的分析，需要结合实际，侧重于考察总体的相关数据特征比如，市民平均收入问题，都是考察数据的离散程度5把问题 3 中的数据在坐标系中刻画出来我们可以很直观地知道，乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近，即乙的离散程度小，如何用数字去刻画这种离散程度呢？考察样本数据的离散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：假设样本数据是 x1，x2，xn， x 表示这组数据的平均数xi到 x 的距离是| xi x |( i 1,2 ， n) 于是，样本数据 x1，x2， xn到 x 的“平均距离”是s| x1 x | | x2 x | | xn x |n. 由于上式含有绝对值， 运算不太方便， 因此，通常改用如下公式来计算标准差：s1nx1 x2x2 x2xn x2. 意义：标准差用来表示数据的稳定性， 标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定；标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定从标准差的定义可以看出，标准差s0，当 s0 时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释例如，在关于居民月均用水量的例子中，平均数x 1.973 ，标准差 s0.868，所以x s2.841， x 2s3.709；x s1.105， x 2s0.237. 这 100 个数据中，在区间 x 2s，x 2s 0.237,3.709外的只有 4 个，也就是说， x 2s， x 2s 几乎包含了所有样本数据从数学的角度考虑， 人们有时用标准差的平方s2方差来代替标准差， 作为测量样本数据离散程度的工具，其中s21n( x1 x )2( x2 x )2 (xnx )2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页名师精编优秀教案显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的 但在解决实际问题时，一般多采用标准差需要指出的是， 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道的 如何求得总体的平均数和标准差呢？通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的只要样本的代表性好， 这样做就是合理的， 也是可以接受的 . 两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小，现实中应用比较广泛的是标准差应用示例思路 1 1 画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 分析：先画出数据的条形图， 根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差解：四组样本数据的条形图如图3：图 3 四组数据的平均数都是5.0 ，标准差分别是： 0.00,0.82,1.49,2.83. 它们有相同的平均数， 但它们有不同的标准差， 说明数据的离散程度是不一样的例 2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm 的一种零件为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20 件， 量得其内径尺寸如下 (单位：mm) ：甲2546 25.32 25.45 25.39 25.36 2534 25.42 25.45 25.38 25.42 2539 25.43 25.39 25.40 25.44 2540 25.42 25.35 25.41 25.39 乙2540 25.43 25.44 25.48 25.48 2547 25.49 25.49 25.36 25.34 2533 25.43 25.43 25.32 25.47 2531 25.32 25.32 25.32 25.48 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页名师精编优秀教案从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？分析：每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体由于零件的生产标准已经给出 (内径 25.40 mm)，生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm的差异大时质量低，差异小时质量高； 当总体的平均数与标准尺寸很接近时，总体的标准差小的时候质量高，标准差大的时候质量低这样，比较两人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可但是，这两个总体的平均数与标准差都是不知道的，根据用样本估计总体的思想， 我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本的平均数、标准差，以此作为两个总体之间差异的估计值解： 用计算器计算可得x甲25.401，x乙25.406； s甲0.037， s乙0.068.从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm) ，但是差异很小；从样本标准差看，由于s甲s乙，因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些点评：从上述例子我们可以看到， 对一名工人生产的零件内径(总体) 的质量判断，与所抽取的零件内径 (样本数据 )直接相关 显然，我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本这样，尽管总体是同一个，但由于样本不同，相应的样本频率分布与平均数、 标准差等都会发生改变， 这就会影响到我们对总体情况的估计如果样本的代表性差， 那么对总体所作出的估计就会产生偏差；样本没有代表性时， 对总体作出错误估计的可能性就非常大这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由在实际操作中， 为了减少错误的发生， 条件许可时，通常采取适当增加样本容量的方法当然，关键还是要改进抽样方法，提高样本的代表性 . 变式训练某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试，为了估计学生的成绩，从不同学校的不同程度的学生中抽取了100 名学生的成绩如下：100分 12人，90 分 30 人，80分 18 人，70 分 24 人，60分 12 人，50 分 4人请根据以上数据估计该地区3 000 名学生的平均分、合格率 (60 或 60 分以上均属合格 ) 解：因为运用计算器计算可得10012903080187024601250410079.40 ，(1230182412)100 96% ，所以样本的平均分是79.40 分，合格率是 96% ，由此来估计总体3 000 名学生的平均分是 79.40 分，合格率是 96%. 思路 2 例 1 甲、乙两种水稻试验品种连续5 年的平均单位面积产量如下( 单位：t/hm2) ，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定品种第 1 年第 2 年第 3 年第 4 年第 5 年甲9.89.910.11010.2 乙9.410.310.89.79.8 解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为(9.8 10)2(9.9 10)2(10.1 10)2(1010)2(10.2 10)2 5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页名师精编优秀教案0.02. 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为(9.4 10)2(10.3 10)2(10.8 10)2(9.7 10)2(9.8 10)2 50.24. 因为 0.240.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定例 2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换已知某校使用的 100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差天数151180181210211240241270271300301330331360361390 灯泡数1111820251672 分析： 用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命解：各组中值分别为 165,195,225,255,285,315,345,375，由此算得平均数约 为1651% 19511% 22518% 25520% 28525% 31516%3457% 3752% 267.9268(天 )这些组中值的方差为11001 (165 268)211(195 268)218(225268)220(255 268)225(285 268)216(315 268)27(345268)22(375268)2 2 128.60( 天2) 故所求的标准差约为2 128.60 46(天)答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268 天，标准差约为 46 天知能训练(1) 在 一 次 歌 手 大 奖 赛 上 ， 七 位 评 委 为 某 歌 手 打 出 的 分 数 如 下 ：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6，9.4 ，9.7 ，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 _(2) 若给定一组数据x1，x2， xn，方差为 s2，则 ax1，ax2， axn的方差为_(3) 在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6 次测试，测得他们的最大速度 (单位： m/s) 的数据如下：甲273830373531 乙332938342836 试判断选谁参加某项重大比赛更合适？答案： (1)9.5,0.016 (2) a2s2(3) 由 x甲33， x乙33，s2甲473s2乙373，可知乙的成绩比甲稳定，应选乙参加比赛更合适拓展提升某养鱼专业户在一个鱼塘内放入一批鱼苗，一年以后准备出售， 为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入，这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15 元，请问，这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案解：这个专业户应了解鱼的总质量，可以先捕出一些鱼 ( 设有 x 条) ，做上标记后放回鱼塘， 过一段时间再捕出一些鱼(设有 a 条)，观察其中带有标记的鱼的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页名师精编优秀教案条 数 ， 作 为 一 个 样 本 来 估 计 总 体 ， 则a条鱼中带有标记的条数a鱼塘中所有带有标记的鱼的条数x鱼塘中鱼的总条数. 这样就可以求得鱼塘中鱼的总条数， 同时把第二次捕出的鱼的平均质量求出来，就可以估计鱼塘中鱼的平均质量， 进而估计全部鱼的质量， 最后估计出收入课堂小结1用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数， 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平用样本标准差估计总体标准差样本容量越大， 估计就越精确， 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度2用样本估计总体的两个手段( 用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征)，需要从总体中抽取一个质量较高的样本，才能不会产生较大的估计偏差，且样本容量越大，估计的结果也就越精确作业习题 15 3. 设计感想统计学科，最大的特点就是与现实生活的密切联系，也是新教科书的亮点 仅仅想借助“死记硬背一些概念及公式，简单模仿课本例题”来学习， 是绝对不行的用样本估计总体时， 如果抽样的方法比较合理， 那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差，其原因在于样本的随机性 这种偏差是不可避免的 虽然我们从样本数据得到的分布、 均值和标准差并不是总体的真正分布、均值和标准差， 而只是总体的一个估计， 但这种估计是合理的， 特别是当样本的容量很大时，它们确实反映了总体的信息教师建议：亲身经历“提出问题，收集数据，分析数据， 并作出合理决策”的过程， 在此过程中不仅可以加深对概念等知识的深刻理解， 更重要的是发展了思维， 培养了分析及解决问题能力，同时在情感、意志等领域也得到了协调发展，这才是学校学习的科学而全面的目标，习题设置有层次，尽量源于教科书，又高于教科书，这也是高考命题原则备课资料备选习题1 10名 工 人 某 天 生 产 同 一 零 件 ， 生 产 的 件 数 是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有( ) AabcBbcaCcabDcba答案： D 2下列说法错误的是 ( )A在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大答案： B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页名师精编优秀教案3下列说法中，正确的是 ( ) A数据 5,4,4,3,5,2的众数是 4 B一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C数据 2,3,4,5的标准差是数据 4,6,8,10的标准差的一半D频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数答案： C 4从甲、乙两班分别任意抽出10 名学生进行英语口语测验， 其测验成绩的方差分别为 s21 13.2 ，s2226.26 ，则( )A甲班 10 名学生的成绩比乙班10 名学生的成绩整齐B乙班 10 名学生的成绩比甲班10 名学生的成绩整齐C甲、乙两班 10 名学生的成绩一样整齐D不能比较甲、乙两班10 名学生成绩的整齐程度答案： A 5下列说法正确的是 ( )A根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关B方差和标准差具有相同的单位C从总体中可以抽取不同的几个样本D如果容量相同的两个样本的方差满足s21s22，那么推得总体也满足s21s22是错的答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页