精 品 数 学 课 件北 师 大 版9 三角函数的简单应用通过学习三角函数的简单应用学会数学建模的过程通过学习三角函数的简单应用学会数学建模的过程. .三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用中有着广泛的应用. .例例1.1.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，图是一个水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，图是一个水车工作的示意图，它的直径为水车工作的示意图，它的直径为3m,3m,其中心（即圆心）其中心（即圆心）O O距水距水面面1.2m,1.2m,如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是 min.min.在水车轮边缘上取一点在水车轮边缘上取一点P P，点，点P P距水面的高度为距水面的高度为h (m). h (m). (1) (1)求求h h与时间与时间t t的函数解析式，并作出这个函数的简图的函数解析式，并作出这个函数的简图. . (2)(2) 讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化. .若水车转速若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？水车问题t11.831.851.871.891.81.22.71.2-0.31.2例例2.2.海水受日月的引力海水受日月的引力, ,在一定的时候发生涨落的现象叫在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮潮汐，一般的早潮叫潮, ,晚潮叫汐晚潮叫汐, ,在通常情况下在通常情况下, ,船在涨船在涨潮时候驶进航道潮时候驶进航道, ,靠近船坞靠近船坞; ;卸货后落潮时返回海洋卸货后落潮时返回海洋, ,下面下面给出了某港在某季节每天几个时刻的水深给出了某港在某季节每天几个时刻的水深. . 时刻时刻水深水深/m时刻时刻水深水深/m时刻时刻水深水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0(1)(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似值的函数关系，并给出在整点时的水深的近似值; ;(2)(2)一条货船的吃水深度一条货船的吃水深度( (船底与水面的距离船底与水面的距离) )为为4m4m，安全条，安全条例规定至少要有例规定至少要有1.5m1.5m的安全间隙的安全间隙( (船底与海底的距离船底与海底的距离) )，该，该船何时能进入港口？船何时能进入港口？(3)(3)若船的吃水深度为若船的吃水深度为4m4m，安全间隙为，安全间隙为1.5m,1.5m,该船在该船在2 2：0000开开始卸货，吃水深度以每小时始卸货，吃水深度以每小时0.3m0.3m的速度减少，那么该船在什的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？分析分析(1)考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解；考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解；(2)在涉及三角不等式时，可利用图像求解在涉及三角不等式时，可利用图像求解. . 解解(1)可设所求函数为可设所求函数为f(x)=Asinx+k，由已知数由已知数据求得据求得A=2.5，k=5，T=12，故故f(x)=2.5sin( x)+5.xyO241261839152152.57.5在整点时的水深近似为在整点时的水深近似为: :1:001:00；5:005:00；13:0013:00；17:0017:00为为 6.3m6.3m；2:002:00；4:004:00；1414：0000；16:0016:00为为 7.2m7.2m；7:007:00；11:0011:00；19:0019:00；23:0023:00为为 3.7m3.7m；8:008:00；10:0010:00；20:0020:00；22:0022:00为为 2.8m2.8m；(2)(2)由由2.5sin( x)+55.52.5sin( x)+55.5，得，得画出画出y=sin( x)y=sin( x)的图像，的图像，( (如图所示如图所示) )由图像可得由图像可得5101520xyO1-1y=sin( x)y=0.2 0.4 x5.6， 或或 12.4x17.6.故该船在故该船在0：24至至5：36和和12：24至至17：36期间可以进港期间可以进港. .(3) 若若2x24, , x时刻吃水深度为时刻吃水深度为h(x)=40.3(x2)，由由f(x)h(x)+1.5，得得5101520xyO1-1y=sin( x)y=0.12x+0.44 画出画出y=sin 和和y=0.440.12x的图像的图像(如图如图)，由图像可知当由图像可知当x=6.7x=6.7时，即时，即6 6：4242时，该船必须停止卸货，时，该船必须停止卸货，将船驶向较深的水域将船驶向较深的水域. . 一半径为一半径为3m3m的水轮如图所示，水轮圆心的水轮如图所示，水轮圆心O O距离水面距离水面2m2m，已知水轮每分钟转动，已知水轮每分钟转动4 4圈，如果当水轮上一点圈，如果当水轮上一点P P从水中从水中浮现时浮现时( (图中点图中点P P0 0) )开始计算时间开始计算时间. .(1)(1)将点将点P P距离水面的高度距离水面的高度z(m)z(m)表示为时间表示为时间t(s)t(s)的函数的函数; ;(2)(2)点点P P第一次达到最高点大约要多长时间？第一次达到最高点大约要多长时间？OPP023xy解解: :(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋不妨设水轮沿逆时针方向旋转转, ,如图所示如图所示, ,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系. . 设角设角 ( 0) )是以是以Ox为为始边，始边，OP0为终边的角为终边的角. .由由OP在在ts内所转过的角为内所转过的角为 ，可知以可知以Ox为始边，为始边， OP为终边的角为为终边的角为则则当当t=0t=0时，时，z=0z=0，可得，可得因为因为 ，所以，所以 -0.73-0.73，故所求函数关系式为故所求函数关系式为故故P P点纵坐标为点纵坐标为3sin( )3sin( )，(2)令令 得得解得解得t5.5.答答: :点点P第一次达到最高点大约需要第一次达到最高点大约需要5.5s.通过学习三角函数的简单应用通过学习三角函数的简单应用, ,体会数学建模的过程体会数学建模的过程. .把学问过于用作装饰是虚假；完全依学问上的规则而断事是书生的怪癖。 培根