学习必备欢迎下载2010-20XX年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十六第十六章平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理设, , CBA分别是 ABC的三边 BC， CA ， AB或其延长线上的点， 若, , CBA三点共线，则.1BCACABCBCABA梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若. 1BCACABCBCABA则, , CBA三点共线。塞 瓦定理设, , CBA分 别是 ABC 的 三边BC， CA， AB 或其延长线上的点 ，若, , CCBBAA三线平行或共点，则.1BCACABCBCABA塞瓦定理的逆定理设, , CBA分别是 ABC的三边BC，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1BCACABCBCABA则, , CCBBAA三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理, , CBA分别是 ABC 的三边BC ，CA， AB 所在直线上的点，则, , CCBBAA平行或共点的充要条件是.1sinsinsinsinsinsinBABCBBCBCACCACABAA广义托勒密定理设 ABCD为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD AC ?BD ，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理设 P为ABC的边 BC上任意一点， P不同于 B，C，则有AP2=AB2?BCPC+AC2?BCBP-BP?PC. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂 （即切线长） 相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ABC的外心 O，垂心 H，重心 G三点共线，且.21GHOG二、方法与例题1同一法。 即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例 1 在 ABC中， ABC=700， ACB=300，P，Q为 ABC内部两点， QBC= QCB=100，PBQ= PCB=200，求证： A，P， Q三点共线。 证明 设直线 CP交 AQ于 P1， 直线 BP交 AQ于 P2， 因为 ACP= PCQ=100， 所以CQACQPAP1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载在 ABP ， BPQ ，ABC中由正弦定理有222sinsinABPAPBAPAB，QBPBQQP202sin20sin，.70sin30sin00ACAB由，得2211QPAPQPAP。又因为P1，P2同在线段AQ上，所以P1，P2重合，又 BP与CP仅有一个交点，所以P1，P2即为 P，所以 A，P，Q共线。2面积法。例 2 见图 16-1 ， ABCD 中，E，F 分别是 CD ，BC上的点，且BE=DF ，BE交 DF于 P，求证：AP为 BPD的平分线。 证明 设 A点到 BE ，DF距离分别为h1,h2，则,21,2121hDFShBESADFABE又因为21ABESS ABCD=SADF，又 BE=DF 。所以 h1=h2，所以 PA为 BPD的平分线。3几何变换。例 3 （蝴蝶定理） 见图 16-2，AB是 O的一条弦， M为 AB中点，CD ，EF为过 M的任意弦，CF ， DE分别交 AB于 P，Q。求证： PM=MQ。 证明 由题设 OM AB 。不妨设BDAF。作 D关于直线OM 的对称点D。连 结FDDDMDPD, , ， 则.DM QP M DDMMD要 证PM=MQ ， 只 需 证MDQMPD，又 MDQ= PFM ，所以只需证F，P，M ，D共圆。因为PFD=1800-MDD=1800- DMD=1800- PMD。 （因为DDOM 。AB/DD）所以 F， P ，M ，D四点共圆。所以MPDMDQ 。所以 MP=MQ。例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。 证明 在平面上作两个同心圆，半径分别为1 和 1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A，B，C，D，E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1，B1，C1，D1，E1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为 A1，B1，C1，则 ABC与 A1B1C1都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。4三角法。例 5 设 AD ，BE与 CF为 ABC的内角平分线，D ， E，F 在ABC的边上，如果EDF=900，求 BAC的所有可能的值。 解 见图 16-3 ，记 ADE= ， EDC= ，由题设 FDA=2- ， BDF=2- ，由正弦定理：CDECEADEAEsinsin,2sinsin，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载得2sinsinsinsinACCEAE，又由角平分线定理有BCABECAE，又ABCCABsinsin，所以ACACsinsin2sinsinsinsin，化简得2cos2sinsinA，同理2cos2sinsinAADFBDF，即.2cos2coscosA所以coscossinsin，所以 sin cos-cos sin =sin( - )=0. 又- - 3PG. 证明 因为GCGBGAPGGCPGGBPGGAPGPCPBPA3， 又 G为ABC重心，所以.0GCGBGA（事实上设AG交 BC于 E，则GCGBGEAG2，所以0GCGBGA）所以PGPCPBPA3，所以. |3|PGPCPBPAPCPBPA又因为PCPBPA,不全共线，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC3PG。6解析法。例 7 H 是ABC的垂心， P是任意一点， HLPA ，交 PA于 L，交 BC于 X，HM PB ，交 PB于 M ，交 CA于 Y， HNPC交 PC于 N，交 AB于 Z，求证： X，Y，Z 三点共线。 解 以 H为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x 轴和 y 轴，建立直角坐标系， 用(xk,yk) 表示点 k 对应的坐标， 则直线 PA的斜率为APAPxxyy， 直线 HL斜率为PAAPyyxx，直线 HL的方程为x(xP-xA)+y(yP-yA)=0. 又直线 HA的斜率为AAxy， 所以直线BC的斜率为AAyx， 直线 BC的方程为xxA+yyA=xAxB+yAyB,又点 C在直线 BC上，所以xCxA+yCyA=xAxB+yAyB. 同理可得xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC. 又因为X 是 BC 与 HL 的交点，所以点X 坐标满足式和式，所以点X 坐标满足xxP+yyP=xAxB+yAyB. 同理点 Y坐标满足 xxP+yyP=xBxC+yByC. 点 Z坐标满足xxP+yyP=xCxA+yCyA. 由知，表示同一直线方程，故X，Y，Z三点共线。7四点共圆。例 8 见图 16-5 ，直线 l 与 O相离， P为 l 上任意一点，PA ，PB为圆的两条切线，A，B为切点，求证：直线AB过定点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载 证明 过 O作 OCl 于 C，连结 OA ，OB ，BC ，OP ，设 OP交 AB于 M ，则 OPAB，又因为OAPA ，OBPB ，OCPC 。所以 A， B ，C都在以 OP为直径的圆上，即O ， A ，P，C，B五点共圆。AB与 OC是此圆两条相交弦，设交点为Q ，又因为 OPAB，OCCP ，所以 P， M ，Q，C四点共圆，所以OM ?OP=OQ ?OC 。由射影定理OA2=OM ?OP ，所以 OA2=OQ ?OC ，所以 OQ=OCOA2（定值）。所以 Q为定点，即直线AB过定点。三、习题精选1 O1和 O2分别是 ABC的边 AB ，AC上的旁切圆，O1与 CB ，CA的延长线切于E ，G，O2与 BC ，BA的延长线切于F，H，直线 EG与 FH交于点 P，求证： PABC。2设 O的外切四边形ABCD 的对角线AC ，BD的中点分别为E，F，求证： E，O，F 三点共线。3已知两小圆 O1与 O2相外切且都与大圆O相内切，AB是 O1与 O2的一条外公切线，A，B 在 O 上， CD是 O1与 O2的内公切线，O1与 O2相切于点P，且 P，C 在直线AB的同一侧，求证：P是 ABC的内心。4ABC内有两点M ，N，使得 MAB= NAC且 MBA= NBC ，求证：.1CBCACNCMBABCBNBMACABANAM5ABC中， O为外心，三条高AD ，BE ，CF相交于点H，直线 ED和 AB相交于点M ，直线FD和 AC相交于点N ，求证：（1）OBDF ， OCDE ； （2）OHMN 。6设点 I ，H分别是锐角 ABC的内心和垂心，点B1，C1分别是边AC ， AB的中点，已知射线 B1I 交边 AB于点 B2(B2B)，射线 C1I 交 AC的延长线于点C2，B2C2与 BC相交于点 K，A1为BHC的外心。试证：A，I ，A1三点共线的充要条件是BKB2和CKC2的面积相等。7已知点A1，B1，C1，点 A2，B2，C2，分别在直线l1,l2上 ，B2C1交 B1C2于点 M ，C1A2交 A1C2于点 N， B1A2交 B2A1于 L。求证： M ，N，L 三点共线。8ABC中， C=900， A=300， BC=1 ，求 ABC 的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。9ABC的垂心为H，外心为O ，外接圆半径为R，顶点 A ，B，C关于对边BC ，CA ，AB的对称点分别为, , CBA，求证：, , CBA三点共线的充要条件是OH=2R 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页