1 1.2.1 函数及其表示一、映射根据题意填空。（1）（2）（3）（4）映射概念：一般地，设A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应 f：AB 是集合 A 到集合 B 的映射。如上图： _是映射。象与原象：给定一个集合A 到集合 B 的映射，且aA，b B，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。注意：（1）集合 A、B、对应关系是一个整体； （2）对应关系有“方向” ，强调从 A 到B； （3） 集合 A 中元素在集合B 中都有象并且是唯一的，这个唯一性是构成映射的核心；（ 4）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个，集合B 中元素对应集合A 中的元素可能不止一个。对应可以为“一对一”或“多对一” ，但不能是“一对多” ； （5）集合 B 中的元素在A 中不一定有原象。 （6）如果A有m个元素，B有n个元素，则从集合A中到集合B的映射（不加限制）有mn个。例 1：设集合AN，BN，对应关系f：xy2x，则（1）集合 A 中元素 2 所对应的象是 _。（2）集合 B 中元素 2 所对对应的原象是_。【解析】： （1）4（ 2）1 变式练习：设 f：AB 是从集合A 到集合 B 的映射， AB(x ，y)xR，yR ，若f： （x，y）（ xy， xy）（1）求集合A 中元素（ 1，2）在集合B 中对应的元素_。（2）求集合B 中元素（ 1，2）在集合A 中对应的元素_。【解析】： （1）(3，1) （2）(21，23) 二、函数（一） 、函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个函数。记作：yf(x) ，xA。其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的定义域（集合）；与 x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x) xA 叫做函数的值域（集合）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2 定义域、值域与对应关系f统称为函数的三要素。例 2：下面哪一个图形可以作为函数的图象（）A B C D 【解析】：B 变式练习：设 Ax 0x2，By 1y2 ，如下图，能表示从集合A 到集合 B的映射是（）【解析】：D （二）区间的概念：设a，b是两个实数，而且ab我们规定：（1）满足不等式axb的实数x 的集合叫做闭区间，表示为a，b； （2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； （3）满足不等式a xb或axb的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为左闭右开ba,和左开右闭ba,区间。定义名称符号数轴表示|x axb闭区间 , a b|x axb开区间( , )a b|x axb左闭右开区间 , )a b|x axb左开右闭区间( , a b（三） 、函数的定义域：自变量x 的取值范围。1、简单函数定义域的类型及求法：（1）分式函数中分母不等于零；（2）偶次根式函数被开方式大于或等于0；（3）一次函数、二次函数的定义域为R；定义符号|xx(,)|x xa ,)a|x xa( ,)a|x xb(, b|x xb(, )bababababx yO x yO x yO x yO 1 2 1 2 A 1 2 1 2 B 1 2 1 2 C 1 2 1 2 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3 （4）yxa(a0 且a1)，ysin x，ycos x，定义域均为R；（5）ytan x 的定义域为 x xR 且 xk2，k Z ；（6）对数函数的定义域是真数大于0；（7）函数 f(x)ax的定义域与指数a的关系，对于不同的a值，定义域不同。（8）由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求。2、对于抽象函数定义域的求法：（1）若已知函数f(x) 的定义域为 a，b，则复合函数fg(x) 的定义域由不等式ag(x) b求出；（2）若已知函数fg(x) 的定义域为 a，b，则 f(x) 的定义域为g(x) 在a，b上的值域。例 3：求下列函数的定义域。（1）f(x) 52x（ 2）f(x) xx531（ 3）f(x) x321x（4）f(x) 652xx（ 6）f(x) )43ln(2xx【解析】： （1）x25（ 2）x35（3）x 1 且 x3 （4）x 2 或 x3（ 5） 4 x1 变式练习 1：设 Ax y)45(log22xx ，Bx y652xx，则 AB_。【解析】：4, 32, 1变式练习 2：函数 f(x) )21(coslog5.0x的定义域为 _。【解析】：(2k32，2k32)，kZ 变式练习 3：设 Ax yxsin， B x y122xx，则 AB_。【解析】：A(2k，2k)， B4，3，则 AB,3,4例 4：已知等腰三角形的周长为20，请将底边y 表示为腰x 的函数，并写出x 的取值范围。【解析】 y 202x，5x10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4 yxyx200xxxx2202022005100xxx5x10 例 5： （1）已知函数f(x)的定义域为 1，4，则 f (x 2)的定义域为 _。（2）已知函数f(2x1)的定义域为 (1，0)，则 f(x) 的定义域为 _。【解析】（1） 1x2 4， 1x2 （2） 1x0， 22x0， 12x11 变式练习：（1）已知函数f(x) 的定义域为 5， 5，则 f (32x)的定义域为 _。（2）已知函数f(x 1)的定义域为 0，3，则 f(x2)的定义域为 _。【解析】（1）1，4， （2）0 x3，1x14，1 x24，则 2 x 1 或 1x2 例 6：下列说法中正确的是( ) A：yf(x) 与 yf(t)表示同一个函数B：yf(x) 与 yf(x 1)不可能是同一函数C：f(x) 1 与 f(x) x0表示同一函数D：定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数【解析】 A 变式练习：判断下列各组函数，哪些是同一函数（1）f(x) x 与 g (x)2)(x（2）f(x) x 与 g(x)2x（3）f(x) x与 g(x) 2x（4）f(x) x2与 g (x)(x1)2（5）f(x) x 与 g(x)33x（6）f(x) 112xx与 g (x) x1 （7）f(x) x22x 1 与 g(t) t22t1 例 7：已知函数f(x) x22x3，求（1）f(1) ，f(2) （2）f(a)，f(a 1) （3）f(1)，ff( 1)，f f( 2) （4）若 g(x)x2，则求 fg(x) 和gf(x) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页5 变式练习 1：已知函数f(x) 122xx，求（1）计算： f (1) ，f (2)，f (21) （2）计算： f (1) f (2)f (21)f (3) f (31)f (4)f (41)f (5) f (51)f (6)f (61) 变式练习 2：定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(xy)f(x) f(y) 2xy（ x、yR） ，且 f(1) 2，则 f(3)（）A：2 B：3 C： 6 D：9 【解析】：f(1)f(10)f(1)f(0) 0，得 f(0) 0 f(0)f(11)f(1)f(1)2，得 f(1)0 f(2)f(11)f(1)f(1)2，得 f(2)2 f(3)f(12)f(1)f(2)4，得 f(3)6 变式练习 3：函数)23(32)(xxcxxf，满足xxff)(则常数 c 等于（）A：3 B：3C：33或D：35或【解析】：332232xcxxcxcx xxcxc9)62(22得96202ccc 3 B 三、函数的值域（一） 、值域：函数Axxfy，)(，我们把函数值的集合/)(Axxf称为函数的值域。（二） 、基本函数的值域：1、一次函数）（0abkxy的值域为R；2、二次函数）（02acbxaxy；xR 的值域44(0);44022abac，a，abac，a值域是时值域是时3、反比例函数的值域为0/yy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页6 4、指数函数yxa(a0 且a1)的值域为 (0， ) 5、对数函数yxalog(a0 且a1)的值域为R；6、正弦 ysin x，余弦函数ycos x 的值域 1， 1；7、正切函数y tan x 的值域为R；8、函数 f(x)ax的值域与指数a的关系，对于不同的a值，值域不同。（三）求值域的具体方法1、观察法（直接法）：例 8：求函数f(x) 2x 1，x1，2， 3，4，5 【解析】：y3 ，5，7，9， 11 变式练习：求函数的值域： （1）f(x) x1 （2）f(x)11x【解析】： （1）y 1（2）y0 2、配方法：利用二次函数求值域【二次函数的对称轴xab2，顶点坐标 (ab2，abac442)】 ；例 9：求函数f(x) x26x 7，xR 的值域解： f(x) x2 6x7(x3)216 16，所以函数的值域y y 16 或，16。变式练习：求函数的值域（1）f(x) x24x 3，xR （2）f(x) x2 6x7， xR （3）f(x) x24x 3， x 1，3 （ 4）f(x) x2 6x7， x1，3 （5）设、是方程4x24mxm2（ xR）的两实根，当m 为何值时，22有最小值？求出这个最小值。【解析】：21616(2)0,21,mmmm或222222min1()21211,()2mmm当时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页7 3、分离常数法：【形如反比例函数的值域yxk(k0)， 】例 10：求函数f(x) 112xx的值域。【解析】：f(x) 112xx13) 1(2xx 213xy3 变式练习：求函数 f(x)215xx的值域。【解析】：f(x) 529xy5 4、单调法：先判断函数f(x) 的区间上的单调性，再代入端点求值域的方法。例 11：已知函数f(x) )6,2(12xx，求函数的最大值和最小值。【解析】：函数 f(x) 在2，6上是减函数， 所以函数在区间上的两个端点分别取得最大值与最小值，当x2 函数取最大值2，当 x6 函数取最小值0.4。变式练习 1：求函数 f(x) )6, 4(33xxx的值域。【解析】：9，12 变式练习 2：求下列函数的值域（1）f(x) 5222xx（2）f(x) 522)21(xx【解析】： （1）f(x) 4) 1(22x（2）f(x) 6) 1(2)21(x5、换元法例 12：求函数f(x) x12x变式练习 1：分别求下列函数的值域（1）f(x) 2x32x（2）f(x) 2x13x变式练习 2：分别求下列函数的值域（1）f(x) x46x23 （2）f(x) sin2x2cosx3 6、基本不等式法【基本不等式章节重点讲解】例 13：求函数f(x) x13x(x 1)的最小值 _。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页8 例 14：求函数f(x) x(32x) （0x23）的最大值 _。7、三角函数法【三角函数章节重点讲解】8、导数法【导数章节重点讲解】9、三角代换法 (参数法 )【极坐标与参数方程章节重点讲解】四、函数的表示法（一）表示函数的方法有：有解析法、列表法和图象法三种。（1） 、解析法：如果函数yf(x) （xA）中， f(x)是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。（2）列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。（3） 、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。（二）求函数解析式1、 拼凑法：已知 f g(x) 的解析式， 要求 f(x) 的解析式， 从 fg(x) 的解析式中拼凑出 “g(x)” ，两边用“ x”代替“ g(x)”即可得到f(x) 的解析式。例 13：若 f(x1)21xx，求 f(2) 【解析】f (x1) 21xx1)1(12xx f (x) 12xx f(2) 122232变式练习：（1）已知 f (xx1)x221x，求 f (x) （2）已知 f (x1)x2x，求 f (x) 【解析】： （1）f(x) x22 （2）f (x) x21 2、换元法：已知函数 f g(x) 的解析式，令g(x) t，求 f(t) 的解析式，用x 代替两边所有的 t，即可。例 14：已知函数f (2x1) x22x，求 f (1) 【解析】令2x 1t，则x 21t f (t ) (21t)2221t4562tt f (x) 4562xx f (1) 4516120 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页9 变式练习：（1）已知 f (x1)x2x，求 f (x) （2）已知 g(x) 12x，f g(x) 221xx(x 0)，求 f (21) （3）已知 f (xe)xxe，则 f(1) _。（4） 已知 f (x3)4x3log2233， 则 f(2) f(4) f(8) f(28)的值等于 _。【解析】： （1）f (x) x2 1 （2）f (21)15 （ 3）f(1) 1 （4）令x3t，则 xt3log，则 f (t) 4t2log 233，故 f(2) f(4) f(8) f(28) 4812 3223382008 3、方程组法：已知 f(x) 与 fg(x) 满足的关系式，要求f(x) 时，用 g(x)代替两边所有的x，得到关于f(x) ，fg(x) 的方程组，解方程组得f(x) 。例 15：已知函数f (x) 满足， f(x) 2 f (x1)3x2，求 f (x) 的解析式。【解析】：用x1代替 x 得： f (x1)2 f (x) 3x12 23)(2)1(23)1(2)(xxfxfxxfxf解之得： f (x) xx12 变式练习：已知函数f(x)满足： f (x) 2 f (x)x2x，求函数f(x) 的解析式。【解析】：f(x) 332xx4、待定系数法：（1） 、初中所学一次函数、反比例函数、二次函数解析式的求法。一次函数： f(x) kxb (k0) ；反比例函数： f (x) xk(k0)，二次函数：)0()()()()()(2122axxxxaxfkhxaxfcbxaxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页10 （2）若已知 f(x) 函数的类型，求f(x)的解析式， 可根据类型设其解析式，然后确定其系数即可。例 16：已知一次函数f(x) 满足 ff(x) 4x3，求 f (x) 的解析式。【解析】设： f(x) kxb (k0) ff(x) f (kx b) k(kx b)b k2xkbb 4x3 342bkbk解之得12bk或32bk f (x) 2x1 或f (x) 2x3例 17：已知函数f(x) 是一次函数，且2 f (1) 3 f (2) 3，2 f ( 1)3 f (0) 1，求 f (x) 的解析式。【解析】设： f(x) kxb (k0)，由题意得1)0(3)(23)2( 3)(2bbkbkbk解之得：9194bkf (x) 94x91变式练习：（1）已知一次函数f(x) 满足 ff(x) 9x8，求 f (x) 的解析式。（2）已知一次函数f(x) 满足： 3f(x 1) 2f(x1)2x17，求 f (x) 的解析式。【解析】（1）f (x) 3x 2 或f (x) 3x4 （2）f (x) 2x7四、分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，对应关系（对应法则）不同，这样函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。注意：（1）分段函数是一个函数；（2）在分段时端点不重也不漏； （3）分段函数的定义域为每段范围的并集，值域也是每个区域内值域的并集。（一）分段函数的图象例 18：作出函数f(x) x的图象。【解析】：f(x) x0,0xxxx，变式练习：作出分段函数21xxy的图像精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11 （二）分段函数的求值。例 19：已知函数 f (x) 2x4222212，xxxxx求： （1） f (3) （2） f f (3) （3） f f f (3) 【解析】：（1）32， f (3) 324 3 3；（2） 32，f f (3) f (3)21 (3) 23（3） 2232，f f ( 3 ) f (23)变式练习 1：已知函数f (x) 2x21212122，xxxxx，（1）求 f f ( 1) （2）若 f(a) 3，求a的值。【解析】： （1）f f ( 1) 2 （2）a23或a6变式练习 2：设a0， 函数 f(x) 0,0),(log422xaxxxx， 若 f(f( 2)4， 则 f(a)等于 （）A：8 B：4 C：2 D：1 【解析】 A课 后 综 合 练 习1、如下图（ 1） （2） （3） （ 4）四个图象各表示两个变量x，y 的对应关系，其中表示y 是 x的函数关系的有_。【解析】： （2） （3）2、函数 yf(x) 的图象与直线xa的交点的个数为（）A：必有 1 个B：1 个或 2 个C：至多 1 个D：可能 2 个以上xyO111(4).1xyO111(3).1xyO1111(1).xyO111(2).精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页12 【解析】：C 3、若函数f(x)122xax的定义域为R，则实数a的取值范围是 _。【解析】：a0 4、已知 f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(xy)f(x) f(y) xy，且 f(1) 1，求 f (5) 【解析】：f (5) 15 5、集合 A x 0 x4 ，By 0y2，下列不表示从A 到 B 的函数是 () A：f(x) y21xB：f(x) y31x C：f(x) y32x D：f(x) yx【解析】：C 6、 某物体一天中的温度是时间t 的函数： T(t)t33t60， 时间单位是小时， 温度单位为，t0 表示 12： 00，其后 t 的取值为正，则上午8 时的温度为 () A：8B：112C：58D：18【解析】：A 7、已知函数f(x) 1, 31, 1xxxx，则设 ff(25)= （ ）A：21B：23C：25D：29【解析】：B 8、函数 f(x)11x的定义域是 () A：1， )B：1，0) C：(1， ) D：(1， 0) 【解析】：C 9、已知函数f(x) 11xx，则 f(2)等于 () A：3 B：2 C：1 D： 0 【解析】：A 10、已知函数f(x) 满足 f(ab) f(a) f(b)，且 f(2)p，f(3)q，则 f(72) 等于（）A： pq B： 3p2q C：2p3q D： p3q311、定义运算ab)()(babbaa，则函数f(x) xx1(x0)的图象大致为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页13 A B C D 【解析】：D 12、已知函数f(x) 11122xaxxxx，若 ff(x) 4a，则实数a的值为（）A：21B：54C：2 D： 9 【解析】：C 13、 已知a、bN， 且对任意的a、b有 f(ab)f(a)f(b)， 且 f(1)2，)1()2(ff)2()3(ff)3()4(ff)2009()2010(ff)2010()2011(ff_。【解析】：法一：令ax1，b1，则 f(x) f(x 11)f(x 1) f(1)，即)1()(xfxf 2，则)1()2(ff)2010()2011(ff22010 4020；法二：令f(x) x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页