6-1-1. 归一归总问题 . 题库学生版page 1 of 9本讲主要学习归一及归总问题 通过本节课的学习， 学生应了解归一及归总问题的类型，以及解决归一及归总问题的一般方法，掌握归一及归总问题的基本关系式，并会将这种方法应用到一些实际问题中 . 知识点说明：一、归一问题归一问题是一类典型应用题， 这类问题是用等分除法求出一个单位的数值(单一量 ) 之后，再求出题目所要求解的问题，解答归一问题的方法叫做归一法。归一问题可以分为两种：一种是求总量的，求出一个单位量之后，然后利用乘法求出结果，这种问题叫做正归一问题（也称正归一）；如：一辆汽车3 小时行 150 千米，照这样， 7小时行驶多少千米？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求几个单位数量是多少；另一种是求份数的，求出一个单位量后，再用包含除法求出所求的结果，这类问题叫做反归一问题（也称反归一）。如：修路队 6 小时修路 180 千米，照这样，修路 240 千米需几小时？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量？正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步，正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题 中 “照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。归一问题的基本关系式：总工作量每份的工作量 ( 单一量 )份数 (正归一) 份数总工作量每份的工作量 ( 单一量 ) (反归一 ) 每份的工作量 ( 单一量 ) 总工作量份数二、归总问题与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出 “单一量”，而归总问题是找出 “总量” ，再根据其它条件求出结果所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等板块一、归一问题【例 1】某人步行， 3 小时行 15千米， 7 小时行多少千米？解析： 153735（千米） 。答： 7 小时行 35 千米。归一归总问题教学目标知识点拨例题精讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页6-1-1. 归一归总问题 . 题库学生版page 2 of 9【巩固】一艘轮船 4 小时航行 108 千米，照这样的速度，继续航行270 千米，共需多少小时？解析：先求出每小时航行多少千米：108427（千米）再求出航行270 千米需要几小时：2702710（小时）最后求出共需多少小时：10414小时综合算式： 270 1084414小时【例 2】小红骑车 3 分钟行 600 米，照这样的速度她从家到学校行了10 分钟，小红家到学校有多少米？解析： 600310200102000米。【例 3】一个打字员 15分钟打了 1800 个字，照这样的速度， 1 小时能打多少个字？解析：先求 1分钟能打多少个字，再求1 小时能打多少个字： 180015120个120607200个【巩固】2台机器 20 分钟造纸 80 吨，照这样计算， 1 台机器 1 小时造纸多少吨？解析： 1 台机器 1 分钟造纸： 802022吨， 1 小时 60 分钟，也就是 1 台机器 1 小时造纸 260120吨【例 4】绿化队 3 天种树 210 棵，还要种 420 棵， 照这样的工作效率， 完成任务共需多少天？解析：方法一倍比思想。因为工作效率是一定的，所以可以求出种420 棵树需要的天数是种 210 棵树的倍数为： 4202102倍，所以种 420棵树需要的天数为236天，也就是完成任务共需要369天方法二归一思想。先求出一天种多少棵树，再求出共需几天完成任务。单一数：210370 棵，总共的天数是：210420709天【巩固】绿化队3天种树 200 棵，还要种 400 棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？解析：方法同上： 4002002倍， 326天 369天【巩固】绿化队 4 天种树 200棵，还要种 400棵，照这样的工作效率， 完成任务共需多少天？解析：方法一： 4002002倍 428天 4812天方法二：单一数： 200450棵总共的天数是 4002005012天【例 5】一只小蜗牛 6 分钟爬行 12 分米，照这样的速度， 30 分钟爬行多少分米？解析：本题属于正归一，有两种解题思想方法一归一思想：为了求出蜗牛30 分钟爬多少分米，必须先求出1 分钟爬多少分米单一数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页6-1-1. 归一归总问题 . 题库学生版page 3 of 9“照这样的速度”说明小蜗牛每分钟爬行的速度是相等的，然后以这个数目为依据按要求算出结果。小蜗牛每分钟爬行1262分米 30分钟爬 23060分米方法二倍比思想。 仔细观察题目中所给的条件， 已知 30 分钟正好是 6 分钟的 5 倍，爬行的距离也应是12 的 5 倍，即 12560分米【例 6】先根据条件提出问题，使它成为一步计算的应用题，再口头列式解答 孙悟空 3 天吃了 45个桃子， _ 学学买 2 支钢笔花了 18 元，_ 解析：建议老师可以先让学生提出问题使它成为一步计算的应用题：每天吃多少个每只钢笔多少元再让学生提出问题使它成为两步计算的应用题如：7 天吃多少个桃子 54 元可以买多少只钢笔。【例 7】一个工人在森林中锯木头，他用8 分钟把一根树干锯成了3 段，那么把树干锯成8段需要多长时间？解析：前面我们已经学过植树问题， 把一根木头据成3 段，实际上只需要据 312下，所以据一下需要 824分钟现在要把树干据成8段， 也就是要据 817下，需要时间为： 4728分钟【巩固】一个工人在森林中锯木头， 他用 12 分钟把一根树干锯成了4 段，如果保持工作速度不变，要把每段木头再锯成两段，还需要多少分钟？解析： 413下 12 34分钟要求把每段木头再据成两段，也就是还需要再据4下，则还需要 4416分钟【巩固】一个工人在森林中锯木头， 他用 40 分钟把一根树干锯成了5 段，如果保持工作速度不变，要把每段木头再锯成两段，还需要多少分钟？解析： 514下 40410分钟再据 5 下 10550分钟【例 8】一个工人要磨面粉200千克，3 小时磨了 60千克照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？解析：方法一通过3 小时磨 60 千克，可以求出 1 小时磨粉数量，问题求磨完剩下的需几小时，所以剩下的量除以1 小时磨的数量， 得到问题所求 20060 6037小时；方法二通过3 小时磨 60 千克，可以求出 1 小时磨粉数量，磨完200 千克面粉需要的时间为 200603 10小时，那么磨剩下的面粉需要时间即为1037小时。【例 9】3 名工人 5 小时加工零件90 个，要在 10 小时完成 540 个零件的加工，需要工人多少名？解析： 方法一： 3名工人 5小时加工零件 90个， 就是说每人每小时加工 90356个，那么 1个人 10 小时可以加工 61060个，540 个零件在 10 小时完就需要 540609人。方法二： 3 名工人 5 小时加工零件 90个，假设在时间相同的情况下3 名工人 10 小时加精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页6-1-1. 归一归总问题 . 题库学生版page 4 of 9工零件 180 个，要完成 540 个零件用倍比思想 540 个零件是 180 的 3 倍，时间相同，完成的零件数量是3 倍，那么工人也是3 倍关系， 339人。【巩固】3 名工人 5 小时加工零件 90 个，10 名工人 10 小时加工零件多少个？解析： 90356个那么一个人10 小时可以加工 61060个， 10 名工人 10小时加工零件 6010600个。【巩固】某车间用 4 台车床 5 小时生产零件 600 个，照这样算，增加 3 台同样的车床后， （1）8 小时可以生产多少个零件？（2）如果要生产 6300 个零件几小时可完成？解析：此题要求的两个问题都需要知道1 台 1 小时生产的零件数，因条件中有小时和台数两个量，需用“两次归一”即先求出4 台 1 小时生产多少，再求1 台 1 小时生产多少 ?60054 43 830781680个 6300 600 54 43 630030730小时答： 8 小时可以生产 1680个零件。如果生产6300个零件需 30个小时可以完成。【例 10】7 辆“黄河牌”卡车6 趟运走 336 吨沙土现有沙土560 吨，要求 5 趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？解析：首先应知道一辆卡车一次能运多少吨沙土：336675678吨， 560吨沙土5 趟运完，每趟必须运走： 5605112吨，需要增加同样的卡车：112877辆【巩固】4 辆大卡车运沙土， 7 趟共运走沙土 336吨现有沙土 420吨，增加了 3 辆相同的卡车，问：几趟可以运完？解析： 1 辆卡车 1 趟运沙土： 3364712吨，现在有437辆卡车，需要4207125趟【例 11】孙悟空组织小猴子摘桃子 开始时，16 只小猴子 2 小时摘桃子 640 个， 照这样计算，孙悟空要求它们在3 小时内继续摘桃子1200个， 那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢？解析：先求出 1 小时共摘桃的个数即12003400个，再根据每只猴子每小时摘的个数即 64016220个。求需要小猴子的数量即4002020只。最后求出增加 20164只。【例 12】用一个杯子盛满水向一个空罐里倒水如果倒进2 杯水，连罐共重 6 千克；如果倒进 5 杯水，连罐共重 9 千克这个空罐重多少千克？解析：根据倒进 2 杯水，连罐共重6 千克；如果倒进 5 杯水，连罐共重9 千克，可知重量由6 千克增加到 9 千克是因为多倒进了 52杯水，因此可求出1 杯水重量，最后再减去水的重量即空罐的重量： 每杯水的重量： 96 521千克空罐的重量：6124千克或 9154千克。【例 13】10 辆小车和 3 辆卡车一次运货32吨，15 辆小车和 3 辆卡车一次运货 42 吨每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页6-1-1. 归一归总问题 . 题库学生版page 5 of 9解析：摘录条件： 10 辆小车 3 辆卡车 32 吨， 15 辆小车 3 辆卡车 42 吨，比较条件，看看什么量变了， 什么量没变。 两个变化量之间的关系是什么？从对应量的变化可以看出：4232吨正好与 1510辆小车的载重量相对应， 因此每辆小车每次可运货： 4232 15102吨，那么每辆卡车每次可运货4 吨，其实这就是二元一次方程的思路。【巩固】30辆小车和 3 辆卡车一次运货75 吨，45 辆小车和 6 辆卡车一次运货 120吨. 每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？解析：摘录条件： 30辆小车 +3 辆卡车 75 吨45 辆小车 +6辆卡车 120吨；比较条件，转化为： 60 辆小车 6 辆卡车 150 吨；45辆小车 6 辆卡车 120吨，从对应量的变化可以看出 150120吨正好与 6045辆小车的载重量相对应， 因此每辆小车每次可以运货150120 60452吨，那么每辆卡车每次可以运货 7530235吨【巩固】阿呆去商店买了2 个笔袋， 3 支圆珠笔，用去25 元；小新去商店买了1 个笔袋， 2支圆珠笔，用去 14 元；那么买 1 个笔袋， 1 支圆珠笔，分别需要多少元？解析：摘录条件： 2 个笔袋 3 支圆珠笔 25 元1 个笔袋 2 支圆珠笔 14 元，由知道： 2 个笔袋 4 支圆珠笔 28 元，由与可知： 1 支圆珠笔 3 元，那么再由可知 1 个笔袋 8 元。【巩固】有 A、B、C三种货物，甲购A物 3 件、B物 5 件、C物 1 件付款 20 元；乙购 A物 4件、B物 7 件、C物 1 件付款 25 元；丙购 A、B、C三种货物各 1 件，应付多少元？解析：摘录条件： 3A5B1C 20 4A7B1C25，由可得： 1A2B5，式2 可得： 2A4B10 ; 由可得： 1A1B1C 10元【例 14】王奶奶家养了 5 头奶牛， 7 天产牛奶 630 千克，照这样计算， 8 头奶牛 15 天可生产牛奶多少千克？解析：以 1 头奶牛 1 天产的牛奶为单一量： 6305718千克； 8头奶牛 1 天生产牛奶188144千克； 8 头奶牛 15 天产奶： 144152160千克。【巩固】王奶奶家养了 5 头奶牛， 7 天产牛奶 630 千克，照这样计算， 8 头奶牛 12天可生产牛奶多少千克？解析：同上， 6305718千克， 188144千克， 144121728千克【例 15】花果山上桃树多，5只小猴分 200棵. 现有小猴 60 只， 按刚才的分法分后还余90 棵，请算出桃树有几棵？解析：每只小猴子分： 200540棵，现在一共分： 410602400棵，一共有桃树2400902490棵【例 16】学校买来一些足球和篮球. 已知买 3 个足球和 5 个篮球共花了 281 元； 买 3 个足球和7 个篮球共花了 355 元. 现在要买 5 个足球、 4 个篮球共花多少元？解析： 要求 5 个足球和 4 个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元，根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等。而篮球相差 752个，总价差 35528174元，74元正好是两个篮球的价钱， 从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出了。列式为：一个篮球的价钱： 355281精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页6-1-1. 归一归总问题 . 题库学生版page 6 of 97537元一个足球的价钱：281375332元一共花多少元？325374308元。【巩固】妈妈买了 2 斤苹果， 4 斤菠萝，花去 14元；爸爸买了3 斤苹果， 2 斤菠萝，花去 13元；那么 1 斤苹果， 1 斤菠萝各多少钱？解析： 1 斤苹果 3 元，1 斤菠萝 2 元。【巩固】2 个篮球的价钱可以买6 个排球， 6 个足球的价钱可以买3 个篮球。买排球、足球、网球各一个的价钱可以买1 个篮球。那么，买1 个篮球的价格可以买多少个网球？解析：6 个篮球的钱可以买排球、 足球、网球各 6 个， 即可买 523个篮球及 6 个网球，因此买 1 个篮球的价格可以买6 个网球。【例 17】一列火车从甲地开往乙地，开出2.5 小时，行了 150 千米。照这样的速度，再行驶3 小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？解析：火车每小时行多少千米：1502.5 60千米火车共行了多少小时：2.5 35.5 小时甲乙两地相距多少千米：605.5 330千米。板块二、归总问题【例 18】8 个人 10 天修路 840米, 照这样算 ,20 人修 4200 米, 要_天. 解析：综合算式： 42008401082020天【巩固】5 个人 2 小时植树 20 棵，6 个人 3 小时植树多少棵 ？解析： 20526326336棵【例 19】一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60 千米，5 小时到达若要 4 小时到达，则每小时需要多行多少千米？解析：甲地到乙地是多少千米？605300千米 4 小时到达每小时需行多少千米？300475千米每小时多行多少千米？756015千米【巩固】学校买 4 套课桌椅，共用去480 元，如果买同样的课桌椅7 套，共需多少钱？如果有 3000 元，可以买进这样的课桌椅多少套？解析： 4804120个 1207840个 300012025套。【例 20】一项工程， 8 个人工作15小时可以完成，如果12 个人工作，多少小时可以完成？解析：工程总量相当于1 个工人工作多少小时？ 158120小时 12 个人完成这项工作需多少小时： 1201210小时【巩固】5个人挖 3米长的沟需要用 3个小时， 那么用 50个小时挖 50米的沟需要多少名工人？解析：因为 5 个人挖 3 米长的沟需要用 3 小时，那么 5 个人用 1 小时就可以挖 1 米的长沟，所以 5 个人用 50个小时也就挖 50 米的长沟。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页6-1-1. 归一归总问题 . 题库学生版page 7 of 9【巩固】王师傅 2 小时加工了 62个零件，照这样计算，他每天工作8 小时可以加工多少个零件？如果要加工 372个零件，需要几小时？解析：1 小时加工零件： 62231个，8 小时可以加工零件： 318248个加工 372个零件需要时间： 3723112小时。【例 21】有 20人修筑一条公路，计划15天完成动工 3 天后抽出 5 人植树，留下的人继续修路如果每个人的工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？解析：这条公路的总工作量有：2015300 人次，动工 3 天后抽出 5 人，20 人修 3 天完成了：20360 人次，那么剩下30060240 人次，这些剩下的工作给15 个人做，每人就还需要工作2401516天，这样，实际工作就有31619天【巩固】修一条公路，原计划60人工作， 80 天完成现在工作 20 天后，又增加了 30人，这样剩下的工作再用多少天可以完成？解析：修完这条公路共需要60804800个劳动日， 60 人工作 20 天，还剩下： 480060203600个劳动日，剩下的工作又增加了30人， 共 90人需要再用：3600603040天。【例 22】学校买来一批粉笔，原计划18 个班可用 60 天，实际用 45 天后，有 3 个班外出了，剩下的粉笔够用多少天？解析：剩下的粉笔 18 个班可用 604515天，现在有 18315个班，可用的天数为：18151518天。【巩固】某厂运来一批煤，计划每天用5 吨，40 天用完，如果改进锅炉，每天节约1 吨，这批煤可以用多少天？解析：求出煤的总吨数540200吨改进后每天用煤量514吨天数为：200450天。【例 23】某工程队预计 30 天修完一条水渠， 先由 18 人修了 12 天后完成工程的一半， 如果要提前 9 天完成，还要增加多少人？解析： 1812216个劳动日，故总工作量为 2162432个劳动日，还剩 216 个劳动日，现需 301299 天完成。故需 216924人，所以还需补24186人。【例 24】小红生病住院了，为了祝她早日康复，三(一)班和三 ( 二) 班一起为她叠千纸鹤两个班的同学 3 天一共叠了 2400 只千纸鹤，现在两个班级的同学同时开始叠，在相同的时间内，三( 一) 班叠了 2430 只千纸鹤，三(二)班叠了 2370 只千纸鹤那么三 (一)班和三 ( 二)班每天各叠多少只千纸鹤？解析：求两班每天共叠24003800只， “相同时间”是： 243023708006天，三班每天叠 24306405只，三班每天叠： 23706395只。【例 25】甲、乙、丙三人在外出时买了8 个面包，平均分给三个人吃甲没有带钱，乙付了5 个面包的钱， 丙付了 3 个面包的钱 后来，甲带来了他应付的四元八角钱，请问，应还给乙、丙各多少钱？解析： 8 个面包的总价是： 483144角面包的单价是：144818角乙应精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页6-1-1. 归一归总问题 . 题库学生版page 8 of 9收回： 1854842 角4 元 2 角；丙应收回： 183486 角。【例 26】某车间需要加工3960 个零件， 3 个工人 10 小时加工了 1320 个，其余的要求在15小时内完成，需要增加多少个工人？解析：每个工人每小时加工：132031044个。现在剩下： 396013202640个零件，15 小时内完成需要工人264044154个，即需增加1 个工人。【巩固】5 台拖拉机 24 天耕地 12000 公亩要 18 天耕完 54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？解析：1 台拖拉机 1 天耕地：12000245100公亩， 18 天耕完 54000公亩地需要拖拉机：540001810030台，需要增加30525台拖拉机。【巩固】家具厂生产一批桌椅， 原计划每天生产 30 套，12 天完成实际只用原来时间的一半就完成了任务，那么实际每天比计划多生产多少套？解析：这批桌椅一共有 3012360套，实际上用了 1226天，实际每天生产 360660套实际每天比计划多生产603030套【例 27】某工厂一个车间，原计划20 人 4 天做 1280 个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在工作效率相同的情况下，需要15 个人 7 天才能全部完成，问增加了多少个零件？解析：先求出每人每天生产的零件数128020416个 15 人 7 天生产的零件数 161571680个增加的零件数16801280400个。【巩固】光华机械厂一个车间，原计划15 人 3 天做 900 个零件。生产开始后，又增加一批任务，在工作效率相同下，要10 个人 8 天完成。问增加了几个零件? 解析：先求出每人每天做的个数90015320个再求出共做的个数：201081600个 最后求出增加的个数1600900700个。【巩固】8 个工人 3 小时制作机器零件360 个，如果人数缩小了2 倍，时间增加了5 小时，可制作机器零件多少个？解析：此题中人数缩小了2 倍指现在的人数是824人；时间增加了5 小时指现在的时间是 358小时 3608382 351548480个【例 28】甲、乙两个打字员 4 小时共打字 3600 个现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字 2450个，乙打字 2050个求甲、乙二人每小时各打字多少个？解析：甲乙二人每小时共打字： 36004900个； “相同时间” 是：245020509005小时甲打字员每小时打字的个数： 24505490个； 乙打字员每小时打字的个数： 20505410个【例 29】某运输公司用6 辆汽车运水泥，每天可运96 吨。根据运输情况，现在增加4 辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页6-1-1. 归一归总问题 . 题库学生版page 9 of 9解析： “增加 4 辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨，应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和，即 10辆汽车的运输量。 966641610160吨。【例 30】姐妹二人在同一环境中学习，妹妹勤学，学一知三姐姐懒惰，学三忘二，请你算算妹妹在 6年间所学懂的知识，姐姐需要多少年才能学懂？解析： 已知妹妹学一知三，她用 6 年所学懂的知识由学一知一的人来学， 需要 6318年，姐姐学三忘二，也就是学三知一，学一知一的人一年所学懂的知识姐姐来学，需要133年，所以学一知一的人18 年所学懂的知识姐姐来学需要18354年，也就是妹妹6 年学懂的知识，姐姐需要54 年才能学懂。【巩固】光明小学有 50 个学生帮学校搬砖，要搬2000 块，4 次搬了一半。照这样算，再增加 50 个学生，还要几次运完？解析：先求出每个学生每次运的砖数：2000?4505块再求出现在的学生一次运的砖数：50505500块最后求出还要运的次数：2000?5002次简便方法： 4 505050 2次。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页