学习必备欢迎下载第二讲直线与平面平行、两个平面平行知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内. 2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. 3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行 . 4.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 5.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行. 点击双基1.设有平面 、 和直线 m、n，则 m 的一个充分条件是A.且 mB. =n 且 mn C.mn 且 nD.且 m答案： D 2.（20XX 年北京， 3）设 m、n 是两条不同的直线，、 、是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是若 m ，n ，则 mn若 ，m，则 m若 m ，n ，则 mn 若 ，则 A.B.C.D.解析：显然正确.中 m 与 n 可能相交或异面 .考虑长方体的顶点，与可以相交 . 答案： A 3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A.异面B.相交C.平行D.不能确定解析：设 =l，a，a，过直线 a 作与 、都相交的平面，记=b，=c，则 ab 且 ac，bc. 又 b，=l， bl.al. 答案： C abcl4.（文）设平面平面 ，A、C， B、D ，直线 AB 与 CD 交于点 S，且 AS=8，BS=9， CD=34，当 S在、之间时， SC=_，当 S不在 、 之间时， SC=_. 解析： ACBD， SAC SBD， SC=16， SC=272. 答案： 16 272 （理）设D 是线段 BC 上的点， BC平面 ，从平面 外一定点A（A 与 BC 分居平面两侧）作AB、AD、AC 分别交平面 于 E、F、G 三点， BC=a，AD=b，DF=c，则 EG=_. 解析：解法类同于上题. 答案：bacab5.在四面体ABCD 中， M、N 分别是面 ACD、 BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载ABCDMN.解析：连结AM 并延长，交CD 于 E，连结 BN 并延长交CD 于 F，由重心性质可知，E、F 重合为一点，且该点为CD 的中点 E，由MAEM=NBEN=21得 MNAB，因此， MN平面 ABC 且 MN平面 ABD. 答案：平面ABC、平面 ABD1.（20XX 年春季北京， 3）下列命题中，正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案： C 2.设 a、b 是两条互不垂直的异面直线，过a、b 分别作平面 、 ，对于下面四种情况：b，b， .其中可能的情况有A.1 种B.2 种C.3 种D.4 种解析：都有可能，不可能，否则有ba与已知矛盾 . 答案： C 3.、是两个不重合的平面， a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定的是A.、都平行于直线a、bB.内有三个不共线点到 的距离相等C.a、 b 是内两条直线，且a，bD.a、b 是两条异面直线且a，b，a，b解析： A 错，若 ab，则不能断定 ；B 错，若 A、B、C 三点不在 的同一侧，则不能断定；C 错，若 ab，则不能断定 ；D 正确 . 答案： D 4.a、b、为三条不重合的直线，、 为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：aaacacccbababacbca;其中正确的命题是_.（将正确的序号都填上）答案：典例剖析【例 1】 如下图，两个全等的正方形ABCD 和 ABEF 所在平面相交于AB，MAC，NFB 且 AM=FN，求证：MN平面 BCE. QABCDMPFEN证法一：过M 作 MPBC，NQBE，P、Q 为垂足（如上图） ，连结 PQ. MPAB，NQAB， MP NQ. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载又 NQ=22BN=22CM=MP， MPQN 是平行四边形. MNPQ，PQ平面 BCE. 而 MN平面 BCE，MN平面 BCE. 证法二：过M 作 MGBC，交 AB 于点 G（如下图），连结 NG. GABCDMFENMGBC，BC平面 BCE，MG平面 BCE，MG平面 BCE. 又GABG=MACM=NFBN，GNAFBE，同样可证明GN平面 BCE. 又面 MGNG=G，平面 MNG平面 BCE.又 MN平面 MNG .MN平面 BCE. 特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得 “线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行. 【例 2】 如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且 B1E=C1F.求证： EF平面 ABCD . ADBCBCD1111E F GMN证法一：分别过E、F 作 EMAB 于点 M， FNBC 于点 N，连结 MN. BB1平面 ABCD，BB1AB， BB1BC. EMBB1，FNBB1. EMFN. 又 B1E=C1F， EM=FN. 故四边形MNFE 是平行四边形. EFMN.又 MN 在平面 ABCD 中，EF平面 ABCD. 证法二：过E 作 EGAB 交 BB1于点 G，连结 GF，则ABEB11=BBGB11. B1E=C1F，B1A=C1B，BCFC11=BBGB11. FGB1C1BC. 又 EGFG=G，AB BC=B，平面 EFG平面 ABCD.而 EF 在平面 EFG 中，EF平面 ABCD. 评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载【例 3】 已知正四棱锥PABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M、N 分别是 PA、BD 上的点， 且 PMMA=BNND=5 8. BCDEOMNP（1）求证：直线MN平面 PBC；（2）求直线 MN 与平面 ABCD 所成的角 . （1）证明： PABCD 是正四棱锥，ABCD 是正方形 .连结 AN 并延长交BC 于点 E，连结 PE. ADBC， ENAN=BNND. 又 BNND=PMMA，ENAN=PM MA. MNPE. 又 PE 在平面 PBC 内， MN平面 PBC. （2）解：由（ 1）知 MNPE， MN 与平面 ABCD 所成的角就是PE 与平面 ABCD 所成的角 . 设点 P 在底面 ABCD 上的射影为O，连结 OE，则 PEO 为 PE 与平面 ABCD 所成的角 . 由正棱锥的性质知PO=22OBPB=2213. 由（ 1）知， BEAD=BN ND=58，BE=865. 在 PEB 中， PBE=60， PB=13， BE=865，根据余弦定理，得PE=891. 在 Rt POE 中， PO=2213，PE=891，sin PEO=PEPO=724. 故 MN 与平面 ABCD 所成的角为arcsin724. 思考讨论证线面平行，一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角.本题若直接求MN 与平面 ABCD 所成的角，计算困难，而平移转化为PE 与平面 ABCD 所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法. 闯关训练夯实基础1.两条直线a、b 满足 ab，b，则 a 与平面 的关系是A.aB.a 与相交C.a 与不相交D.a答案： C 2.a、b 是两条异面直线，A 是不在 a、b 上的点，则下列结论成立的是A.过 A 有且只有一个平面平行于a、b B.过 A 至少有一个平面平行于a、bC.过 A 有无数个平面平行于a、b D.过 A 且平行 a、b 的平面可能不存在解析：过点A 可作直线a a，b b，则 a b=A. a、 b可确定一个平面，记为. 如果 a，b ，则 a，b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载由于平面 可能过直线a、b 之一，因此，过A且平行于a、b 的平面可能不存在. 答案： D 3.（20XX 年全国， 16）已知 a、b 为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、 b在 上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点. 在上面结论中，正确结论的编号是_.（写出所有正确结论的编号）解析： A1D 与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相平行；AB1与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相垂直；DD1与 BC1在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点. ABCDBCD1111答案：4.已知 Rt ABC 的直角顶点C 在平面 内，斜边AB，AB=26，AC、BC 分别和平面 成 45和 30角，则 AB 到平面 的距离为 _. 解析：分别过A、B 向平面 引垂线 AA、 BB，垂足分别为A、 B. AABBC设 AA=BB=x，则 AC2=（45sinx）2=2x2，BC2=（30sinx）2=4x2. 又 AC2+BC2=AB2， 6x2=（ 26）2，x=2. 答案： 2 5.如下图，四棱锥PABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA底面 ABCD，侧面 PBC 内有 BEPC 于 E，且 BE=36a，试在 AB 上找一点F，使 EF平面 PAD. ABCDEPGF解：在面PCD 内作 EG PD 于 G，连结 AG. PA平面 ABCD，CDAD，CDPD.CDEG. 又 ABCD， EGAB. 若有 EF平面 PAD，则 EFAG，四边形AFEG 为平行四边形，得EG=AF. CE=22)36(aa=33a ， PBC为 直 角 三 角 形 ， BC2=CE CPCP=3a ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载ABAF=CDEG=PCPE=aaa3333=32. 故得 AFFB=21 时， EF平面 PAD. 6.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M、N 分别为 AB、PD 上的点，且MBAM=NPDN，求证：直线MN平面 PBC. ABCDMNPQR分析：要证直线MN平面 PBC，只需证明MN平面 PBC 内的一条直线或MN 所在的某个平面平面PBC. 证法一：过N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意得NRNRDC=NPDN=MBAM= MBMBAB=MBMBDCNR=MB.NRDCAB，四边形MNRB 是平行四边形 .MNRB.又 RB平面 PBC，直线 MN平面 PBC. 证法二：过N 作 NQAD 交 PA 于点 Q，连结 QM，MBAM=NPDN=QPAQ， QMPB.又 NQ ADBC，平面MQN平面 PBC.直线 MN平面 PBC. 证法三：过N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意有ABBM=PDPN=DCNR，NR=MB，BR=BM+MN+ NR=MN.MNRB.又 RB平面 PBC，直线MN平面 PBC. 培养能力7.已知 l 是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD 所在平面的交线， （1）求证： D1B1 l；（2）若 AB=a，求 l 与 D1间的距离 . AADBCBCD1111l（1）证明：ADCBBCDG1111lD1B1BD，D1B1平面 ABCD. 又平面 ABCD平面 AD1B1=l，D1B1l. （2）解： D1D平面 ABCD ，在平面 ABCD 内，由 D 作 DGl 于 G，连结 D1G，则 D1Gl，D1G 的长即等于点D1与 l 间的距离 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载 lD1B1 BD， DAG=45. DG=22a，D1G=212DDDG=2221aa=26a. 探究创新8.如下图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中， AA1=21AB，点 E、M 分别为 A1B、C1C 的中点，过点A1、B、M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1于点 N. AADDBBCC1111M NE（1）求证： EM平面 A1B1C1D1；（2）求二面角BA1NB1的正切值；（3）设截面 A1BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1V2） ，求 V1 V2的值 . （1）证明：设A1B1的中点为F，连结 EF、FC1. E 为 A1B 的中点， EF21B1B. AABBCCDDEFNMPH1111又 C1M21B1B， EFMC1. 四边形EMC1F 为平行四边形 . EMFC1.EM平面 A1B1C1D1，FC1平面 A1B1C1D1，EM平面 A1B1C1D1. （2）解：作 B1HA1N 于 H，连结 BH. BB1平面 A1B1C1D1， BHA1N. BHB1为二面角 BA1NB1的平面角 . EM平面 A1B1C1D1，EM平面 A1BMN，平面 A1BMN平面 A1B1C1D1=A1N，EMA1N. 又 EMFC1， A1NFC1. 又 A1FNC1，四边形A1FC1N 是平行四边形.NC1=A1F. 设 AA1=a，则 A1B1=2a，D1N=a. 在 Rt A1D1N 中，A1N=21211NDDA=5a，sin A1ND1=NADA111=52. 在 Rt A1B1H 中， B1H=A1B1sinHA1B1=2a52=54a. 在 Rt BB1H 中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载tanBHB1=HBBB11=aa54=45. （3）解：延长A1N 与 B1C1交于 P，则 P平面 A1BMN，且 P平面 BB1C1C. 又平面A1BMN平面 BB1C1C=BM，PBM，即直线A1N、B1C1、BM 交于一点P. 又平面MNC1平面 BA1B1，几何体MNC1BA1B1为棱台 .（没有以上这段证明，不扣分）S11BBA=212aa=a2，S1MNC=21a21a=41a2，棱台 MNC1BA1B1的高为 B1C1=2a，V1=312a （a2+2241aa+41a2）=67a3， V2=2a2aa67a3=617a3. 21VV=177. 思悟小结1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、 直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外. 2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）. 【例 1】 设平面 平面 ，AB、CD 是两条异面直线，M、N 分别是AB、CD 的中点，且A、C， B、D，求证： MN平面 . ABCDEMN剖析：因为AB 与 CD 是异面直线，故MN 与 AC、 BD 不平行 .在平面 、中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与平行的平面 .根据 M、N 是异面直线上的中点这一特征，连结BC，则此时 AB、BC 共面，即 BC 为沟通 AB、CD 的桥梁，再取BC 的中点 E，连结 ME、NE，用中位线知识可证得. 证明：连结BC、AD，取 BC 的中点 E，连结 ME、NE，则 ME 是 BAC 的中位线，故MEAC，ME， ME.同理可证， NEBD.又 ，设 CB 与 DC 确定的平面BCD 与平面 交于直线 CF，则 CFBD，NECF.而NE平面 ，CF，NE.又 MENE=E，平面 MNE，而 MN平面 MNE， MN平面 . 【例 2】 如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于 a，并且 AA1CC1.求证：平面A1BC1平面 ACD1. AABCCD111证法一：作正方形BCC1B1和 CC1D1D，并连结 A1B1和 AD. AA1CC1BB1DD1，且 AA1AB，AA1 A1D1，ABB1A1和 AA1D1D 都是正方形，且ACC1A1是平行四边形 . 故它们的对应边平行且相等. ABC A1B1C1， A1B1 B1C1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载同理， ADCD. BB1AB， BB1BC， BB1平面 ABC. 同理， DD1平面 ACD. BB1DD1， BB1平面 ACD. A、B、C、D 四点共面 . ABCD 为正方形 . 同理， A1B1C1D1也是正方形 . DDAACCBB1111故 ABCDA1B1C1D1是正方体 . 易知 A1C1AC，A1C1平面 ACD1. 同理， BC1平面 ACD1，平面 A1BC1平面 ACD1. 证法二：证ABCDA1B1C1D1是正方体，同上. 连结 B1D、B1D1，则 B1D1是 B1D 在底面 ABCD 上的射影，由三垂线定理知B1DA1C1，同理可证B1DBA1，B1D平面 A1BC1. 同理可证， B1D平面 ACD1，平面 A1BC1平面 ACD1. 思考讨论证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线. 【例 3】 如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， M、N、P 分别是 C1C、B1C1、 C1D1的中点，求证：ADDBBCC1111NPM（1）APMN；（2）平面 MNP平面 A1BD. 证明：（1）连结 BC1、B1C，则 B1C BC1， BC1是 AP 在面 BB1C1C 上的射影 .APB1C. 又 B1CMN， APMN. （2）连结 B1D1， P、N 分别是 D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又 B1D1BD，PNBD.又 PN 不在平面A1BD 上，PN平面 A1BD. 同理， MN平面 A1BD.又 PNMN=N，平面 PMN平面 A1BD. 评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、 P 都为中点，故添加B1C、BC1作为联系的桥梁. 夯实基础1.（20XX 年上海）在下列条件中，可判断平面与 平行的是A.、都垂直于平面B.内存在不共线的三点到的距离相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载C.l、m 是内两条直线，且l ，mD.l、m 是两条异面直线，且l ，m，l，m答案： D 2.设平面 ，A、C，B、D，直线 AB 与 CD 交于 S， 若 AS=18，BS=9，CD=4，则 CS=_. 解析：如图（1） ，由 可知 BDAC，SASB=SCSD，即189=SCSC34， SC=68. SSAABBCC(1)(2)DD如图（ 2） ，由 知 ACBD，SBSA=SDSC=SCCDSC，即918=SCSC34. SC=368. 答案： 68 或3683.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：AAAABBBBCCCCDDDDEEFFGGHH11111111甲乙水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH 的面积不改变；棱 A1D1始终与水面EFGH 平行；当容器倾斜如图乙时，EFBF 是定值 . 其中正确命题的序号是_. 解析：对于命题，由于BC 固定，所以在倾斜的过程中，始终有ADEHFGBC，且平面 AEFB平面 DHGC，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且 BC 为棱柱的一条侧棱，命题正确.对于命题，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故不正确.是正确的（请给出证明） .是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是. 答案：1.两条直线a、b 满足 ab，b，则 a 与平面 的关系是A.aB.a 与相交C.a 与不相交D.a答案： C 2.a、b 是两条异面直线，A 是不在 a、b 上的点，则下列结论成立的是A.过 A 有且只有一个平面平行于a、b B.过 A 至少有一个平面平行于a、bC.过 A 有无数个平面平行于a、b D.过 A 且平行 a、b 的平面可能不存在解析：过点A 可作直线a a，b b，则 a b=A. a、 b可确定一个平面，记为. 如果 a，b ，则 a，b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载由于平面 可能过直线a、b 之一，因此，过A且平行于a、b 的平面可能不存在. 答案： D 3.（20XX 年全国， 16）已知 a、b 为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、 b在 上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点. 在上面结论中，正确结论的编号是_.（写出所有正确结论的编号）解析： A1D 与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相平行；AB1与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相垂直；DD1与 BC1在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点. ABCDBCD1111答案：4.已知 Rt ABC 的直角顶点C 在平面 内，斜边AB，AB=26，AC、BC 分别和平面 成 45和 30角，则 AB 到平面 的距离为 _. 解析：分别过A、B 向平面 引垂线 AA、 BB，垂足分别为A、 B. AABBC设 AA=BB=x，则 AC2=（45sinx）2=2x2，BC2=（30sinx）2=4x2. 又 AC2+BC2=AB2， 6x2=（ 26）2，x=2. 答案： 2 4.如下图，两条线段AB、CD 所在的直线是异面直线，CD平面 ，AB，M、 N 分别是 AC、BD 的中点，且AC 是 AB、CD 的公垂线段 . ABBCDEMN（1）求证： MN；（2）若 AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN 的长 . （1）证明：过B 作 BB ，垂足为B，连结CB、 DB，设 E 为 BD 的中点，连结 NE、CE，则 NEBB且 NE=21BB，又 AC=BB，MCNE，即四边形MCEN 为平行四边形（矩形）. MNCE.又 CE，MN， MN. （2）解：由（ 1）知 MN=CE，AB=CB=a=CD，BD=22BBBD=22bc，CE=)(41222bca=2224141cba，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载即线段 MN 的长为2224141cba. 5.如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， AB=a. AADDBBCC11111MNOO（1）求证：平面AD1B1平面 C1DB；（2）求证： A1C平面 AD1B1；（3）求平面 AB1D1与平面 BC1D 之间的距离 . （1）证明： D1B1DB， D1B1平面 C1DB. 同理， AB1平面 C1DB. 又 D1B1AB1=B1，平面 AD1B1平面 C1DB. （2）证明： A1C1D1B1，而 A1C1为 A1C 在平面 A1B1C1D1上的射影， A1C1D1B1. 同理， A1CAB1，D1B1AB1=B1. A1C平面 AD1B1. （3）解：设 A1C平面 AB1D1=M，A1C平面 BC1D=N， O1、O 分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD 的中心 . 则 MAO1，NC1O，且 AO1C1O，MN 的长等于平面AD1B1与平面 C1DB 的距离，即MN=A1M=NC=31A1C=33a. 5.如下图，四棱锥PABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA底面 ABCD，侧面 PBC 内有 BEPC 于 E，且 BE=36a，试在 AB 上找一点F，使 EF平面 PAD. ABCDEPGF解：在面PCD 内作 EG PD 于 G，连结 AG. PA平面 ABCD，CDAD，CDPD.CDEG. 又 ABCD， EGAB. 若有 EF平面 PAD，则 EFAG，四边形AFEG 为平行四边形，得EG=AF. CE=22)36(aa=33a ， PBC为 直 角 三 角 形 ， BC2=CE CPCP=3a ，ABAF=CDEG=PCPE=aaa3333=32. 故得 AFFB=21 时， EF平面 PAD. 6.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M、N 分别为 AB、PD 上的点，且MBAM=NPDN，求证：直线MN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载平面 PBC. ABCDMNPQR分析：要证直线MN平面 PBC，只需证明MN平面 PBC 内的一条直线或MN 所在的某个平面平面PBC. 证法一：过N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意得NRNRDC=NPDN=MBAM= MBMBAB=MBMBDCNR=MB. NRDCAB，四边形MNRB 是平行四边形 .MNRB.又 RB平面 PBC，直线 MN平面 PBC. 证法二：过N 作 NQAD 交 PA 于点 Q，连结 QM，MBAM=NPDN=QPAQ， QMPB.又 NQ ADBC，平面MQN平面 PBC.直线 MN平面 PBC. 证法三：过N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意有ABBM=PDPN=DCNR，NR=MB，BR=BM+MN+ NR=MN.MNRB.又 RB平面 PBC，直线MN平面 PBC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页