圆章 节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长 的点的集合；2、 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长 的点的集合；3、 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长 的点的集合轨迹形式的概念：1、 圆：到定点的距离等于定 长的点的 轨迹就是以定点 为圆 心，定长为 半径的 圆；（ 补充） 2、垂直平分 线 ：到 线段两端距离相等的点的轨迹是 这条 线段的垂直平分 线（也叫中垂线）；3、角的平分 线：到角两边距离相等的点的轨迹是 这 个角的平分 线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直 线且到 这条直 线 的距离等于定 长 的两条直 线；5、到两条平行 线距离相等的点的轨迹是：平行于 这 两条平行 线且到两条直 线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内点在圆内；drC2、点在圆上点在圆上；drB3、点在圆外点在圆外；drA三、直线与圆 的位置关系1、直线与圆相离无交点 ；dr2、直线与圆相切有一个交点；dr3、直线与圆相交有两个交点；drdrd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点；dRr外切（图 2）有一个交点；dRr相交（图 3）有两个交点；RrdRr内切（图 4）有一个交点；dRr内含（图 5）无交点；dRrrddCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2? 1rRd? 3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对 的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧；（ 2）弦的垂直平分 线经过圆 心，并且平分弦所 对的两条弧；（ 3）平分弦所对 的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2推 3 定理：此定理中共 5 个 结论 中，只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论 ，即：是直径弧弧弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD中任意 2 个条件推出其他3 个结论 。推论 2： 圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中，OABCD 弧弧ACBD例题 1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是（）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（）A过弦的中点的直线平分弦所对的弧B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度AB 是_cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是48cm，那么油? 2rRd? 4rRd? 5rRdOEDCBAOCDAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页的最大深度为_cm.3、如图，已知在中，弦，且，垂足为，于，于.OCDABCDABHABOEECDOFF（ 1）求证：四边形是正方形 .OEHF（ 2）若，求圆心到弦和的距离 .3CH9DHOABCD4、已知： ABC 内接于 O，AB=AC ，半径 OB=5cm ，圆心 O 到 BC 的距离为3cm，求 AB 的长5、如图， F 是以 O 为圆心， BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点， AD BC 于 D，求证： AD=BF.21例题 3、度数问题1、已知：在中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径.Ocm12ABOABABAOB2、已知： O 的半径，弦 AB、AC 的长分别是、.求的度数。1OA23BAC例题 4、相交问题如图，已知O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点E，AE=6cm ，EB=2cm， BED=30 ，求 CD 的长 .例题 5、平行问题在直径为50cm 的 O 中，弦 AB=40cm ，弦 CD=48cm ，且 ABCD，求： AB 与 CD 之间的距离 .例题 6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：.ba,22baBDAD例题 7、平行与相似已知：如图，是的直径，是弦，于ABOCD于CDAEECDBF.求证：.FFDECABDCEO?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4六、圆心角定理圆 心角定理：同 圆或等 圆中，相等的 圆心角所 对的弦相等，所 对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1 推 3定理，即上述四个 结论 中，只要知道其中的1 个相等，则 可以推出其它的3 个结论 ，即： ； ；AOBDOEABDE； 弧弧OCOFBABD七、圆周角定理1、 圆周角定理：同弧所 对的圆 周角等于它所 对 的圆心的角的一半。即： 和是弧所对的圆 心角和 圆周角AOBACBAB2AOBACB2、 圆周角定理的推 论 ：推论 1：同弧或等弧所 对的圆周角相等；同 圆 或等 圆中，相等的 圆周角所 对的弧是等弧；即：在中，、都是所 对的圆周角OCDCD推论 2：半 圆或直径所 对的圆周角是直角； 圆 周角是直角所 对 的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径或OAB90C是直径90CAB推论 3：若三角形一 边上的中 线等于 这边 的一半，那么 这 个三角形是直角三角形。即：在中，ABCOCOAOB是直角三角形或ABC90C注：此推论实 是初二年 级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜 边上的中线等于斜 边的一半的逆定理。【例 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19 所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？【例 2】如图，已知O中， AB为直径， AB=10cm ，弦 AC=6cm ，ACB的平分线交FEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页O 于 D ，求 BC 、AD和 BD的长【例 3】如图所示，已知AB为O 的直径， AC为弦， OD BC ，交AC于 D ，BC=4cm （ 1）求证： AC OD ；（2）求 OD的长；（3）若 2sinA 1=0，求O 的直径【例 4】四边形ABCD 中，AB DC ， BC=b ，AB=AC=AD=a ，如图，求BD的长【例 5】如图 1，AB是半O 的直径，过A、B两点作半O的弦，当两弦交点恰好落在半O上 C点时，则有AC ACBC BC=AB2（ 1）如图 2，若两弦交于点P在半O 内，则 AP ACBP BD=AB2是否成立？请说明理由（ 2）如图 3，若两弦 AC 、BD的延长线交于P点，则 AB2=参照（ 1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性八、圆内接四 边形圆的内接四 边形定理：圆的内接四 边形的 对角互 补，外角等于它的内 对角。即：在 中，O 四边形是内接四 边形ABCD180CBAD180BDDAEC例 1、如图 7-107 ，O 中，两弦AB CD ， M是 AB的中点，过M点作弦 DE 求证： E，M ，O ， C四点共圆EDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6九、切线的性 质与判定定理（ 1）切 线的判定定理： 过 半径外端且垂直于半径的直线 是切 线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且过 半径外端MNOAMNOA是的切 线MNO（ 2）性 质定理：切线垂直于 过切点的半径（如上 图 ）推论 1： 过圆 心垂直于切 线的直 线 必过切点。推论 2： 过切点垂直于切线的直 线 必过圆 心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即： 过圆 心； 过切点； 垂直切 线 ，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长 定理切线长 定理：从圆外一点引 圆的两条切 线，它们的切 线长 相等，这点和 圆心的 连线 平分两条切 线的夹角。即： 、是的两条切 线PAPBPAPB平分POBPA利用切线性质计算线段的长度例 1： 如图，已知： AB是O 的直径， P为延长线上的一点，PC切O 于 C，CD AB 于 D，又 PC=4 ，O 的半径为 3求： OD的长利用切线性质计算角的度数例 2： 如图，已知： AB是O 的直径， CD切O 于 C，AE CD于 E，BC的延长线与AE的延长线交于F，且AF=BF 求：A的度数NMAOPBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页利用切线性质证明角相等例 3： 如图，已知： AB为O 的直径，过A作弦 AC 、AD ，并延长与过B的切线交于M 、N求证：MCN= MDN 利用切线性质证线段相等例 4： 如图，已知： AB是O 直径， CO AB ， CD切O 于 D，AD交 CO于 E求证： CD=CE 利用切线性质证两直线垂直例 5： 如图，已知： ABC 中， AB=AC ，以 AB为直径作 O ，交BC于 D，DE切O 于 D，交 AC于 E求证：DE AC 十一、圆幂 定理（ 1） 相交弦定理 ： 圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘 积 相等。PODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8即：在中， 弦、相交于点，OABCDPPA PBPC PD（ 2）推 论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中， 直径，OABCD2CEAE BE（ 3） 切割 线定理 ：从 圆外一点引 圆的切 线 和割 线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条 线段长的比例中 项。即：在中，是切 线，是割 线OPAPB2PAPC PB（ 4） 割线定理 ：从 圆外一点引 圆的两条割 线， 这 一点到每条割线与圆的交点的两条 线段长的积 相等（如上图）。即：在中，、是割 线OPBPEPC PBPD PE例1. 如图 1，正方形ABCD的边长为 1，以 BC为直径。在正方形内作半圆O ，过 A作半圆切线，切点为F，交 CD于 E，求 DE ：AE的值。例2. O 中的两条弦AB与 CD相交于 E，若 AE 6cm，BE 2cm，CD 7cm，那么 CE _cm。图2例3. 如图 3，P是O 外一点， PC切O 于点 C，PAB是O 的割线，交O于 A、B两点，如果PA ：PB1：4，PC 12cm，O 的半径为 10cm，则圆心O到 AB的距离是 _cm。图3例4. 如图 4，AB为O 的直径，过B点作O 的切线 BC ，OC交O 于点 E，AE的延长线交BC于点 D， （1）求证：OEDCBADECBPAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页；（ 2）若 AB BC 2厘米，求CE 、CD的长。图4例5. 如图 5，PA、PC切O 于 A、C，PDB为割线。求证：AD BCCD AB图5例6. 如图 6，在直角三角形ABC中， A 90，以 AB边为直径作 O ，交斜边BC于点 D，过 D点作O 的切线交 AC于 E。图6求证： BC 2OE 。十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两 圆圆 心的 连线 垂直并且平分 这 两个 圆的的公共弦。如图：垂直平分。12OOAB即： 、 相交于、两点1O2OAB垂直平分12O OAB十三、圆的公切 线两圆公切 线长 的计算公式：（ 1）公切 线长 ：中，；12Rt O O C22221122ABCOOOCO（ 2）外公切线长 ：是半径之差；内公切 线长 ：是半径之和。2CO2CO十四、圆内正多 边形的 计算（ 1）正三角形在中是正三角形，有关 计算在中进行：OABCRt BOD:1:3: 2OD BD OB；BAO1O2CO2O1BADCBAOECBADO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10（ 2）正四 边形同理，四边形的有关 计算在中进行，：Rt OAE:1:1:2OEAE OA（ 3）正六 边形同理，六边形的有关 计算在中进行，.Rt OAB:1:3:2AB OB OA十五、扇形、圆柱和 圆锥 的相关 计 算公式1、扇形：（1）弧 长公式：；180n Rl（ 2）扇形面积公式：213602n RSlR：圆 心角：扇形多对应 的圆的半径：扇形弧长：扇形面积nRlS2、 圆柱：（ 1） 圆柱侧面展开 图=2SSS侧表底222rhr（ 2） 圆柱的体 积 ：2Vr h3 .圆锥侧 面展开 图（ 1）=SSS侧表底2Rrr（ 2） 圆锥 的体 积 ：213Vr hBAOSlBAO? ? ? ? ? ? ?C1D1DCBAB1RrCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页