高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例 1.(1)求nkk12142的值 ; (2)求证 :35112nkk. 解析 :(1)因为121121)12)(12(21422nnnnn,所以122121114212nnnknk(2)因为12112121444111222nnnnn,所以35321121121513121112nnknk奇巧积累 :(1)1211212144441222nnnnn(2) 1(1) 1(1) 1() 1(21211nnnnnnnCCnn(3)2(111)1(1!11)!( !11rrrrrrnrnrnnCTrrrnr(4)25)1(123112111)11 (nnnn(5)nnnn21121)12(21(6) nnn221(7)1(21)1(2nnnnn(8) nnnnnnn2)32(12)12(1213211221(9)knnkknnnkknknk11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1! ) 1(nnnn(11)21212121222)1212(21nnnnnnn(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2) 12)(12(2) 12(21112nnnnnnnnnnnnnn(12) 111) 1(1)1(1)1)(1(11123nnnnnnnnnnnn11112111111nnnnnnn(13) 3212132122) 12(332)13(2221nnnnnnnnn(14) !)2(1!) 1(1)!2()!1(!2kkkkkk(15) )2(1)1(1nnnnn(15) 111) 11)(1122222222jijijijijijiji例 2.(1)求证 :)2() 12(2167) 12(151311222nnn(2)求证 :nn412141361161412(3)求证 :1122642) 12(531642531423121nnn(4) 求证：)112(2131211)11(2nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页解析 :(1)因为12112121)12)(12(1) 12(12nnnnn,所以)12131(211)12131(211)12(112nnini(2)111(41)1211(414136116141222nnn(3)先运用分式放缩法证明出1212642) 12(531nnn,再结合nnn221进行裂项 ,最后就可以得到答案(4)首先nnnnn12)1(21,所以容易经过裂项得到nn131211) 11(2再 证21212121222)1212(21nnnnnnn而 由 均 值 不 等 式 知 道 这 是 显 然 成 立 的 ， 所 以) 112(2131211nn例 3.求证 :35191411) 12)(1(62nnnn解析 :一方面 :因为12112121444111222nnnnn,所以35321121121513121112nnknk另一方面 :1111)1(143132111914112nnnnnn当3n时,)12)(1(61nnnnn,当1n时,2191411) 12)(1(6nnnn, 当2n时,2191411) 12)(1(6nnnn,所以综上有35191411) 12)(1(62nnnn例 4. 设函数( )lnf xxxx.数列na满足101a.1()nnaf a.设1(1)ba，整数11lnabkab.证明 :1kab. 解析 :由数学归纳法可以证明na是递增数列 ,故存在正整数km,使bam,则baakk 1,否则若)(kmbam,则由101baam知0lnlnln11baaaaammm,kmmmkkkkaaaaaaa111lnln,因为)ln(ln11bakaakmmm, 于是bababakaak)(|ln|11111例 5.已知mmmmmnSxNmn321, 1,求证 : 1)1() 1(11mnmnSmn. 解析 :首先可以证明 :nxxn1)1(nkmmmmmmmmkknnnnn111111111)1(01)2()1() 1(所以要证1)1()1(11mnmnSmn只要证 : nkmmmmmmmmmnkmnkmmkknnnnnkmkk111111111111111)1(2)1() 1(1)1()1()1(故只要证nkmmnkmnkmmkkkmkk1111111)1()1()1(,即等价于mmmmmkkkmkk111) 1()1()1(,即等价于11)11(11 ,)11 (11mmkkmkkm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页而正是成立的 ,所以原命题成立 . 例 6.已知nnna24,nnnaaaT212,求证 :23321nTTTT. 解析 :)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321nnnnnnnT所以123)2(22232234232323422234342)21 (2) 14(3422111111nnnnnnnnnnnnnnnnT12112123) 12)(122(2231nnnnn从而231211217131311231321nnnTTTT例 7.已知11x,),2( 1), 12(ZkknnZkknnxn,求证 : *)(11(21114122454432Nnnxxxxxxnn证明 : nnnnnnxxnn222141141) 12)(12(11424244122,因为12nnn,所以)1(2122214122nnnnnxxnn所以*)(11(21114122454432Nnnxxxxxxnn二、函数放缩例 8.求证：)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn. 解析 :先构造函数有xxxxx11ln1ln,从而)313121(1333ln44ln33ln22lnnnnn因为nnnn311212191817161514131213131216533323279189936365111nnnnn所以6653651333ln44ln33ln22lnnnnnnn例 9.求证 :(1)2()1(212ln33ln22ln,22nnnnnn解析 :构造函数xxxfln)(,得到22lnlnnnnn,再进行裂项) 1(1111ln222nnnnn,求和后可以得到答案函数构造形式 : 1lnxx,)2(1lnnn例 10.求证 :nnn1211)1ln(113121解析 :提示 :2ln1ln1ln1211ln)1ln(nnnnnnnnn函数构造形式 : xxxx11ln,ln当然本题的证明还可以运用积分放缩EDy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页如图 ,取函数xxf1)(, 首先 :ninABCFxS1,从而 ,)ln(ln|ln11innxxinninnin取1i有,)1ln(ln1nnn, 所以有2ln21,2ln3ln31, ,) 1ln(ln1nnn,nnnln) 1ln(11,相加后可以得到 : )1ln(113121nn另一方面ninABDExS1,从而有)ln(ln|ln11innxxiinninnin取1i有,)1ln(ln11nnn, 所以有nn1211) 1ln(,所以综上有nnn1211) 1ln(113121例 11.求证 :en)!11()!311)(! 211(和en)311()8111)(911 (2. 解析 :构造函数后即可证明例 12.求证 :32)1(1)321()211(nenn解析 :1)1(32 1) 1(lnnnnn,叠加之后就可以得到答案函数构造形式 :)0(13)1ln(1)0(132)1ln(xxxxxxx(加强命题 ) 例 13.证明 :)1*,(4)1(1ln54ln43ln32lnnNnnnnn解析 :构造函数)1(1) 1() 1ln()(xxxxf,求导 ,可以得到 : 12111)(xxxxf,令0)(xf有21x,令0)(xf有2x, 所以0)2()(fxf,所以2) 1ln(xx,令12nx有,1ln22nn所以211lnnnn,所以) 1*,(4) 1(1ln54ln43ln32lnnNnnnnn例 14. 已知112111,(1).2nnnaaann证明2nae. 解析 : nnnnnannanna)21) 1(11(21)1(11 (1, 然后两边取自然对数,可以得到nnnannaln)21) 1(11ln(ln1然后运用xx)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：nnnanna)2111(21nnnannaln)2111ln(ln21nnnna211ln2。于是nnnnnaa211lnln21，.22112211)21(111lnln)211()ln(ln11211111nnniniiininnaaiiaa即.2lnln21eaaann注：题目所给条件ln(1)xx（0x）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2nnnn来放缩：) 1(1) 1(11 (1nnannann)1)() 1(11(11nnanna.) 1(1) 1(11ln() 1ln() 1ln(1nnnnaann111) 1ln() 1ln() 1(1)1ln()1ln(212112naaiiaanniiini，即.133ln1) 1ln(2eeaann精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页例 15 已知函数)( xf是在),0(上处处可导的函数,若)()( xfxfx在0x上恒成立 . (I) 求证：函数),0()()(在xxfxg上是增函数；(II) 当)()()(:,0,0212121xxfxfxfxx证明时；(III) 已知不等式01)1ln(xxxx且在时恒成立，求证：).()2)(1(2) 1ln()1(14ln413ln312ln21*22222222Nnnnnnn解析 :(I)0)()( )( 2xxfxxfxg,所以函数),0()()(在xxfxg上是增函数(II) 因为), 0()()(在xxfxg上是增函数 ,所以)()()()(212111212111xxfxxxxfxxxxfxxf)()()()(212122212122xxfxxxxfxxxxfxxf两式相加后可以得到)()()(2121xxfxfxf(3) )()()()(212111212111nnnnxxxfxxxxxfxxxxxxfxxf)()()()(212122212122nnnnxxxfxxxxxfxxxxxxfxxf)()()()(21212121nnnnnnnnxxxfxxxxxfxxxxxxfxxf相加后可以得到: )()()()(2121nnxxxfxfxfxf所 以)l n ()(lnlnlnln2121332211nnnnxxxxxxxxxxxxxx令2)1(1nxn, 有22222222) 1ln() 1(14ln413ln312ln21nn2222222)1(13121ln) 1(1413121nnnnn) 1(1231121ln) 1(13121222)2)(1(2212111nnnnn所以).()2)(1(2) 1ln()1(14ln413ln312ln21*22222222Nnnnnnn(方法二 )21114ln)2)(1(4ln)2)(1() 1ln() 1()1ln(222nnnnnnnnn所以)2(24ln21214ln)1ln() 1(14ln413ln312ln2122222222nnnnn又1114lnn,所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln413ln312ln21*22222222Nnnnnnn例 16.已知函数.ln)(xxxf若).()(2ln)()(:,0,0bfbafbaafba证明解析 :设函数( )( )(),(0)g xfxfkxk.2021,0)(,ln1)ln(1ln)(.0),ln()(ln)(,ln)(kxkxkkxxkxxgxkxxkxxgkxxkxkxxxgxxxf则有令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页函数kkxg,2)(在）上单调递增，在2, 0(k上单调递减 . )(xg的最小值为)2(kg，即总有).2()(kgxg而, 2ln)() 2ln(ln2ln)2()2()2(kkfkkkkkkfkfkg,2ln)()(kkfxg即.2ln)()()(kkfxkfxf令,bxkax则.bak.2ln)()()()(babafbfaf).()(2ln)()(bfbafbaaf三、分式放缩姐妹不等式 :)0,0(mabmambab和)0,0(mbamambab记忆口诀 ” 小者小 ,大者大 ”解释 :看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之 . 例 19. 姐妹不等式 :12)1211()511)(311)(11(nn和121)211()611)(411)(211(nn也可以表示成为12) 12(5312642nnn和1212642) 12(531nnn解析: 利用假分数的一个性质)0, 0(mabmambab可得122563412nnnn212674523) 12(212654321nnn12)122563412(2nnn即.12)1211 ()511)(311)(11 (nn例 20.证明 :. 13)2311()711)(411)(11(3nn解析 : 运用两次次分式放缩: 1338956.232313784512nnnn(加 1) nnnn31391067.342313784512(加 2) 相乘 ,可以得到 : )13(1323875421131381057.2423137845122nnnnnnn所以有. 13)2311()711)(411)(11(3nn四、分类放缩例 21.求证 :212131211nn解析 : )21212121()4141(211121312113333n2)211(221)212121(nnnnnnn例 22. 在平面直角坐标系xoy中, y轴正半轴上的点列nA与曲线xy2（x0 ）上的点列nB满足nOBOAnn1，直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页nnBA在 x 轴上的截距为na.点nB的横坐标为nb,Nn. (1)证明na1na4，Nn; (2)证明有Nn0，使得对0nn都有nnnnbbbbbbbb1123122008n. 解析 :(1) 依题设有：10,2,0nnnnnABbbbn，由1nOBn得：2*22112,11,nnnbbbnNnn,又直线nnA B在x轴上的截距为na满足110200nnnabbnn12nnnbanb22221210,2nnnnn bn bbn b2212122241212nnnnnnnnnnbnbbabbn bn bnbnb221111221nann显然，对于1101nn，有*14,nnaanN(2)证明：设*11,nnnbcnNb，则22222222222222211111111111111111111112121112121111212121nnnncnnnnnnnnnnnnnnn2*1212210,2nnnnncnNn设*12,nnScccnN，则当*221knkN时，23111111111113421234212212nkkkkS212311112222222kkk。所以，取4009022n，对0nn都有：2008214017111012312nnnnSSbbbbbb故有nnnnbbbbbbbb1123122008n成立。例 23. 已知函数), 1()(2Rcbcbxxxf，若)( xf的定义域为 1， 0 ，值域也为 1，0. 若数列nb满足)()(*3Nnnnfbn，记数列nb的前n项和为nT，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数n都有ATn？并证明你的结论。解析 :首先求出xxxf2)(2,nnnnnnfbn12)(323nbbbbTnn131211321,214124131,2181481716151, 2121221221121111kkkkk,故当kn2时,12kTn, 因此，对任何常数A，设m是不小于 A 的最小正整数，则当222mn时,必有AmmTn1222. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页故不存在常数A 使ATn对所有2n的正整数恒成立. 例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组nnxyyx3, 0,0表示的平面区域为nD,设nD内整数坐标点的个数为na.设nnnnaaaS221111, 当2n时,求证 :3611711112321naaaan. 解析 :容易得到nan3,所以 ,要证3611711112321naaaan只要证1211721312112nSnn,因为nnnnS21221121()81716151()4131(21111212117)1(12723211121222nnTTTn,所以原命题得证. 五、迭代放缩例 25. 已知1,1411xxxxnnn,求证 :当2n时,nniix1122|2|解析 :通过迭代的方法得到1212nnx,然后相加就可以得到结论例 26. 设nnnS2!sin2!2sin2! 1sin21,求证 :对任意的正整数k,若 k n 恒有 :|Sn+kSn|0,b0,求证：.12nnnba解析 : 因为 a+b=1,a0,b0,可认为ba,21,成等差数列，设dbda21,21，从而nnnnnddba122121例 47.设Nnn,1，求证)2)(1(8)32(nnn. 解析 : 观察n)32(的结构，注意到nn)211()23(，展开得86)2)(1(8) 1(212121211)211(33221nnnnnCCCnnnn，即8)2)(1()211(nnn，得证 . 例 48.求证 :nnn2ln)211ln(2ln3ln. 解析 :参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 例 42.已知函数*( ),yf xxyNN，满足：对任意*,a babN，都有)()()()(abfbafbbfaaf；对任意*nN都有( )3ff nn. （I）试证明：)(xf为*N上的单调增函数；（II）求)28()6()1(fff；（III ）令*(3 ),nnafnN，试证明： .121111424nnnaaa解析 :本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为)()()()(abfbafbbfaaf,所以可以得到0)()()()(bfbaafba, 也就是0)()()(bfafba,不妨设ba,所以 ,可以得到)()(bfaf,也就是说)( xf为*N上的单调增函数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页(2)此问的难度较大 ,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知0)()()(bfafba,令)1 (, 1fab,则可以得到0)1 ()1()(1)(fffxf,又3)1( ff,所以由不等式可以得到3) 1 (1f,又*) 1(Nf,所以可以得到2)1 (f接下来要运用迭代的思想: 因为2) 1(f,所以3)1()2(fff,6)2() 3(fff,9)3()6(fff18)6()9(fff,27)9()18(fff,54)18()27(fff,81)27()54(fff在此比较有技巧的方法就是: 2754275481,所以可以判断55)28(f当然 ,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合有)28()6() 1(fff=662955(3)在解决na的通项公式时也会遇到困难. nnnnnnnaafffffff3),3(3)3()3(,3)3(111, 所 以 数 列*(3 ),nnafnN的 方 程 为nna32, 从 而)311(4111121nnaaa, 一方面41)311(41n,另一方面1222)21(31100nCCnnnn所以2412241)1211(41)311(41nnnnnn,所以 ,综上有121111424nnnaaa. 例 49. 已知函数 f x 的定义域为 0,1 ，且满足下列条件： 对于任意x0,1 ，总有3fx，且14f； 若12120,0,1,xxxx则有1212()3.fxxfxf x（）求 f 0 的值；（）求证： f x 4 ；（）当111(,(1,2,3,)33nnxn时，试证明：( )33f xx. 解析 : （）解：令120xx，由对于任意x0,1 ，总有3fx， (0)3f又由得(0)2(0)3,ff即(0)3;f(0)3.f（）解：任取12,0,1,x x且设12,xx则2121121()()()()3,f xf xxxf xf xx因为210xx，所以21()3f xx，即21()30,fxx12()()f xfx. 当x0,1 时，( )(1)4f xf. （）证明：先用数学归纳法证明：1111()3(*)33nnfnN（1）当 n=1 时，0011()(1)413333ff，不等式成立；（2）假设当 n=k 时，1111()3(*)33kkfkN由11111111()()()()33333333kkkkkkkffff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页111()()()6333kkkfff得111113()()69.333kkkff即当 n=k+1 时，不等式成立由（ 1） 、 （2）可知，不等式1111()333nnf对一切正整数都成立. 于是，当111(,(1,2,3,)33nnxn时，1111133333()333nnnxf，而x0,1 ，fx单调递增111()()33nnff所以，11( )()33.3nf xfx例 50. 已知：121,0niaaaa)2, 1(ni求证：222211212231112nnnnnaaaaaaaaaaaa解析 :构造对偶式：令1212132222121aaaaaaaaaaaaAnnnnn1211232232122aaaaaaaaaaaaBnnnn则12121221322322212221aaaaaaaaaaaaaaaaBAnnnnnnBAaaaaaaaannn,0)()()()(113221又)(2122jijijiaaaaaa（)2 ,1,nji12121221322322212221)(21)(21aaaaaaaaaaaaaaaaBAAnnnnnn21)()()()(41113221aaaaaaaannn十一、积分放缩利用定积分的保号性比大小保号性是指，定义在,a b上的可积函数0fx，则0bafx dx. 例 51.求证：ee. 解析 : lnlneeee， lnlnlnlneeexxdexx21lnexdxx，,xe时，21ln0xx，21ln0exdxx，lnln ee，ee. 利用定积分估计和式的上下界定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和. 例 52. 求证：111121123nn，1,nnN. 解析 : 考虑函数1fxx在区间,1i i1,2,3,in上的定积分 . 如图，显然11111iidxiix-对i求和，11111nniiiidxix111ndxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页112nx211n. 例 53. 已知,4nN n.求证：11117123210nnnn. 解析 :考虑函数11fxx在区间1,iinn1,2,3,in上的定积分 . 1ni111inn111inindxx-11nini1111niinn1111inniindxx11001ln 11dxxx7ln 210. 例 54. （2003 年全国高考江苏卷）设0a，如图，已知直线axyl :及曲线C：2xy，C上的点1Q的横坐标为1a（aa10） .从C上的点1nQn作直线平行于x轴，交直线l于点1nP，再从点1nP作直线平行于y轴，交曲线C于点1nQ.1,2,nQnn的横坐标构成数列na. （）试求1na与na的关系，并求na的通项公式；（）当21,11aa时，证明nkkkkaaa121321)(；（）当1a时，证明1211()3nkkkkaaa. 解析 :121()nnaaaa（过程略） . 证明（ II） ：由1a知21nnaa，112a，2311,416aa. 当1k时，23116kaa，1211111111()()()161632nnkkkkknkkaaaaaaa. 证明（ ） ：由1a知21kkaa. 21211()()kkkkkkaaaaaa恰表示阴影部分面积，显然12211()kkakkkaaaax dx2121111()()nnkkkkkkkkaaaaaa121kknaakx dx120ax dx311133a. 奇巧积累 : 将定积分构建的不等式略加改造即得“ 初等 ” 证明，如：111iidxix21ii；1ni111inindxx1ln 1ln 1iinn；121sinsin1 siniii1sin12sin11iiiidxx；122331111()3kkakkkkkaaaax dxaa. 十二、部分放缩 (尾式放缩 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页例 55.求证 : 74123112311311n解析 : 121123123128111231714112311231131nnn748448844721141312811例 56. 设ana211. 2,131anaa求证：. 2na解析 : ana211.131211131222nnaa又2),1(2kkkkkk（只将其中一个k变成1k，进行部分放缩） ，kkkkk111) 1(112，于是)111()3121()211(1131211222nnnan.212n例57. 设 数 列na满 足Nnnaaannn121， 当31a时 证 明 对 所 有, 1n有2)(nain；21111111)(21naaaii解析 : )(i用数学归纳法：当1n时显然成立，假设当kn时成立即2kak，则当1kn时312)2(1)2(1)(1kkkkakaaakkkk，成立。利用上述部分放缩的结论121kkaa来放缩通项，可得)1(211kkaa.2111242)1(2111111kkkkkkaaa.21211)21(1412111111niniinia注： 上述证明)(i用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：31)2)(2(1kkkkak；证明就直接使用了部分放缩的结论121kkaa十三、三角不等式的放缩例 58.求证 :)(|sin|Rxxx. 解析 :(i)当0x时,|sin|xx(ii) 当20x时,构造单位圆 ,如图所示 : 因为三角形AOB 的面积小于扇形OAB 的面积所以可以得到|sin|sinxxxx当2x时|sin|xx所以当0x时xxsin有|sin|xx(iii) 当0x时, 0x,由(ii) 可知: |sin|xx所以综上有)( |sin|Rxxx十四、使用加强命题法证明不等式(i)同侧加强对所证不等式的同一方向(可以是左侧 ,也可以是右侧)进行加强 .如要证明Axf)(,只要证明)0()(BBAxf,其中B通过寻找分析 ,归纳完成 . 例 59.求证 :对一切*)(Nnn,都有311nkkk. TPBAOyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页解析 : 111) 1(1)1(1)1()1(1) 1(11123kkkkkkkkkkkkkk21111111111) 1(1)1(1kkkkkkkkkkk11112211111kkkkkk从而31112211111513141213111111kkkkkknk当然本题还可以使用其他方法,如: kkkkkkkkkkkkkkkkk111111111) 1(1111112kk1112所以3)11 (2111121kkkkknknk. (ii) 异侧加强 (数学归纳法 ) (iii) 双向加强有些不等式 ,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时 ,不妨 ” 返璞归真 ” ,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为 : 欲证明BxfA)(,只要证明 :), 0()(BACCBxfCA. 例 60.已知数列na满足 :nnnaaaa1, 111,求证 :).2(2312nnann解析 : 21212112knnnaaaa,从而2212nnaa,所以有121) 1(2)()()(21212222212122nnaaaaaaaannnnn,所以12nan又31212112knnnaaaa,所以3212nnaa,所以有231)1(3)()()(21212222212122nnaaaaaaaannnnn所以23nan所以综上有).2(2312nnann引申 :已知数列na满足 :nnnaaaa1,111,求证 : 1211nankk. 解析 :由上可知12nan,又2321212nnn,所以3212321221211nnnnnan从而)2(1232123513111nnnnankk又当1n时,111a,所以综上有1211nankk. 同题引申 : 已知数列na,0na,01a,)(12121Nnaaannn. 记nnaaaS21,)1()1)(1(1)1)(1(11121211nnaaaaaaT.求证 :当Nn时. (1)1nnaa; (2)2nSn; (3)3nT. 解析 :(1)12211nnnaaa,猜想1na,下面用数学归纳法证明: (i)当1n时,11a,结论成立 ; (ii)假设当) 1(kkn时,1ka,则)1( 1 kkn时,21211kkkaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页从而121121nkkaaa,所以101ka所以综上有10na,故nnnnaaaa12210(2) 因 为12211nnnaaa则221221aaa,322231aaa, ,12211nnnaaa, 相 加 后 可 以 得 到 : 2111322121)(nnnnanSaaanaa,所以212nanSnn,所以2nSn(3)因为nnnnaaaa212121,从而1121nnnaaa,有nnnaaa21111,所以有2112311132222)1)(1()1(1aaaaaaaaaaannnnnnnn,从而11221113212112)1)(1()1)(1)(1(1nnnnnnaaaaaaaaa,所以222213212112)1()1)(1)(1(1nnnnnaaaaaaaa,所以31115221212111122211122222432nnnnaaaaaT所以综上有3nT. 例 61.已知数列na的首项135a,1321nnnaaa,12n，(1)证明 :对任意的0x,21121(1)3nnaxxx,12n，; (2)证明 :2121nnaaan. 解析 :(1)依题 ,容易得到nnnna321323,要证0x,21121(1)3nnaxxx,12n，, 即证222)1 (1)1(32121132)1 (111321xxxxxxnnn即证0132)1 (332122nnnxx,设xt11所以即证明) 10(01322332)(2ttttnnn从而0) 1(,即01322332nnn,这是显然成立的. 所以综上有对任意的0x,21121(1)3nnaxxx,12n，(法二 ) 21121(1)3nxxx2112111(1)3nxxx2111(1)1(1)nxxxa2)1(112xaxn2111nnnaaaxna,原不等式成立(2)由(1)知，对任意的0x，有1222221121121121(1)31(1)31(1)3nnaaaxxxxxxxxx2212221(1)333nnnxxx取22111222113311333313nnnxnnn，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页则2212111111133nnnnnnaaannn原不等式成立十四、经典题目方法探究探 究1. 已 知 函 数xxxf)1l n ()(. 若)(xf在 区 间*)(, 0Nnn上 的 最 小 值 为nb, 令nnbna)1ln(. 求证:112264212531423121nnnaaaaaaaaaaaaaaa. 证明 :首先 :可以得到nnna.先证明1212642)12(531nnn(方法一 ) 121121)2()12)(12(4532312642)12(5312222nnnnnnn所以1212642)12(531nnn(方法二 )因为12212112212,54141343,32121121nnnnnn,相乘得 : 1212642)12(5312nnn,从而1212642) 12(531nnn. (方法三 )设 A=nn2642) 12(531,B=)12(7532642nn,因为 AB,所以 A21, 求 a 的取值范围 . 解析 :函数 f (x)的定义域为 (-, 1) (1, +), 导数为axxaaxxfe)1(2)(22. () 当 0 f (0) =1, 因而这时 a 满足要求 . () 当 a2 时, f (x) 在区间(-aa2,aa2)为减函数 , 故在区间 (0, aa2) 内任取一点 , 比如取210xaa2, 就有x0(0, 1) 且 f (x0) f (0) =1, 因而这时 a 不满足要求 . () 当 a 0 时, 对于任意 x(0, 1) 恒有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页1( )e1axxf xx111xx, 这时 a 满足要求 . 综上可知 , 所求a 的取值范围为a2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页