学习必备欢迎下载勾股定理及其逆定理复习典型例题1.勾股定理： 直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方。 （即： a2+b2=c2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c 有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如：C，但 不要认为最大边一定是C）（2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2=a2+b2，则 ABC 是以 C 为直角的三角形。 （若 c2a2+b2则 ABC 是以 C 为钝角的三角形，若 c2a2+b2则 ABC是以 C 为锐角三角形）二、例题分析例 1、 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是3x， 4x，根据题意得：（ 3x）2+（4x）2=202化简得x2=16；直角三角形的面积=21 3x 4x=6x2=96 注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。例 2、等边三角形的边长为2，求它的面积。解：如图，等边ABC ，作 AD BC 于 D 则： BD=21BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）BD=1 在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2BD2=41=3 AD=3SABC=21BC AD=3ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为43a例3、直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：)2(5) 1(125222yxyx由（ 1）得： x+y=7，（ x+y）2=49， x2+2xy+y2=49 (3) (3) (2) ，得： xy=12 直角三角形的面积是21xy=21 12=6（cm2）例 4、在锐角 ABC 中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围。分析 ：显然第三边b acb+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求ABC 为直角三角形时第三边的值。解：设第三边为c，并设 ABC 是直角三角形当 第三边是斜边时，c2=b2+a2， c=10当 第 三 边 不 是 斜 边 时 ， 则 斜 边 一 定 是b，b2=a2+c2，c=22（即8） ABC 为锐角三角形所以点A 应当绕着点B 旋转，使ABC 成为锐角（如图） ，但当移动到点A2位置时 ACB成为直角。故点A应当在A1和A2间移动，此时22AC10注：此题易忽视或中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑。例 5、 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、 8，15， 17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、 8， 39， 40 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2a2=（ca） （c+a）来判断。例如：对于选择支D，82（40+39）（4039） ，以 8，39， 40 为边长不能组成直角三角形。答案： A 例 6、四边形 ABCD 中， B=90 ，AB=3 ，BC=4 ，CD=12 ，AD=13 ，求四边形ABCD3ABC31A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载的面积。解 ：连结AC B=90 ， AB=3 ， BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC2+CD2=169， AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90 （勾股定理逆定理） S四边形ABCD=SABC+SACD=21AB BC+21ACCD=36 本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例 7、 若直角三角形的三边长分别是n+1， n+2，n+3，求 n。分析：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解 ：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2=（ n+3）2化简得： n2=4 n= 2，但当 n= 2 时， n+1= 10， n=2 三、练习题1、等腰三角形的两边长为4 和 2，则底边上的高是_ ，面积是 _ 。2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为_。3、一个直角三角形一条直角边为16cm，它所对的角为60 ，则斜边上的高为_ 。4、四个三角形的边长分别是3，4，5 4，7，8217,24,25321,421,521其中是直角三角形的是（）A、B、C、D、5、如果线段a、 b、c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（）A、 1：2：4 B、 ！ ： 3： 5 C、 3： 4： 7 D、 5： 12： 13 6、已知：如图，四边形ABCD 中， AB=20 ，BC=15 ，CD=7 ，AD=24 ， B=90 ，求证： A+ C=180 。ABCDABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载7、已知直角三角形中，两边的长为3、 4，求第三边长。8、 ABC 中， C=90 ，a=5， cb=1，求 b，c 的长。9、如图：ABC 中， AD 是角平分线，AD=BD ， AB=2AC 。求证： ACB 是直角三角形。三、练习题解答1、15，152、6，8， 10 3、8cm4、D 5、D 6、本题类似于例6，需连结AC 证出 ACD 也是直角三角形，从而 1+ 2=90 ， 3+ 4=90 ， DAB+ DCB=180 ABCDABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载7、解：设第三边长为x, 当 第三边是斜边时：x2=32+42=25，即 x=5 当 第三边不是斜边时，则斜边长为4： x2=42 32，即 x=78、此题类似于例3 解：根据题意得：125)(222bcbcbcbca125bcbc1213bc9、证明：作DE AB 于 E AD=BD,DE AB 2AE=AB （等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合） DEA=90（垂直的定义）又 AB=2AC AE=AC AD 是角平分线 1=2 在 ACD 和 AED 中ADADAEAC21 ACD AED （SAS） C= AED=90 （全等三角形对应角相等） ACB 是直角三角形ABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页