名师精编优秀资料线性代数知识点总结第二章矩阵及其运算第一节 矩阵定义由mn个 数1 , 2 ,;1 , 2 ,ijaim jn排 成 的m行n列 的 数 表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为 m行 n列矩阵。简称mn矩阵，记作111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa，简记为m nijijm nAAaa，,mnA这个数称为的元素 简称为元。说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于n 的矩阵 A。 记作： An。行(列 )矩阵： 只有一行 (列 )的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵： 两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵： AB同型 ,且对应元素相等。记作：AB零矩阵： 元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵： 不在主对角线上的元素都是零。单位阵： 主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作： En(不引起混淆时，也可表示为 E )（课本 P29P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。第二节 矩阵的运算矩阵的加法设有两个m n矩阵ijijAaBb和，那么矩阵A与B的和记作AB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页名师精编优秀资料规定为111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本 P33）矩阵加法的运算规律1 ABBA；2ABCABC1112121222113,()nnijijm nm nmmmnaaaaaaAaAaaaa设矩阵记，A称为矩阵A的负矩阵40,AAABAB 。 （课本 P33）数与矩阵相乘,AAA数 与矩阵 的乘积记作或规定为111212122211,nnmmmnaaaaaaAAAAAaaa数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律（设AB、为m n矩阵，,为数）1AA；2AAA；3ABAB。 （课本 P33）矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页名师精编优秀资料矩阵与矩阵相乘设(b )ijB是一个m s矩阵，(b )ijB是一个s n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m n矩阵( c)ijC，其中12121 122jjiiisijijissjsjbba aaa ba ba bb1sikkjka b，1,2,;1,2,im jn，并把此乘积记作CAB注意1。A 与 B 能相乘的条件是：A 的列数 B的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，ABBA，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。3。对于 n 阶方阵 A 和 B，若 AB=BA，则称 A与 B 是可交换的。矩阵乘法的运算规律1AB CA BC；2ABA BAB3 A BCABAC，BC ABACA4m nn nm mm nm nAEEAA5若 A是 n 阶方阵，则称Ak为 A的 k 次幂， 即kkAA AA个， 并且mkm kA AA，kmmkAA,m k为正整数。规定： A0 E 注意矩阵不满足交换律，即ABBA，kkkABA B（但也有例外） （课本 P36）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页名师精编优秀资料纯量阵矩 阵0E0称 为 纯 量 阵 ， 作 用 是 将 图 形 放 大倍 。 且 有()(E )E AAA，A 为 n 阶方阵时，有()( E )nnnnnEAAA，表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。（课本 P36）转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A，如122458A，142528TA。转置矩阵的运算性质1TTAA；2TTTABAB；3TTAA；4TTTABB A。 （课本 P39）方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作A或det A（记住这个符号）注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而 n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。运算性质1TAA；2nAA；(3) ABA BB ABA（课本 P40）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页名师精编优秀资料对称阵设 A 为 n 阶方阵，如果满足A=AT，即,1,2,ijjiaai jn那么 A 称为对称阵。说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果TAA则称矩阵A为反对称的。即反对称矩阵A=（aij）中的元素满足aij aji，i，j=1，2，n伴随矩阵行 列 式A的 各 个 元 素 的 代 数 余 子 式ijA所 构 成 的 如 下 矩 阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵 A 的伴随矩阵。性质AAA AA E（易忘知识点 ） （课本 P？）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。第三节逆矩阵定义对于 n 阶矩阵 A，如果有一个n 阶矩阵 B,使得 ABBAE则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。1AA的逆矩阵记作，1AB即。说明1 A ，B 互为逆阵，A = B-12只对方阵定义逆阵。3.若 A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。定理 1 矩阵 A 可逆的充分必要条件是0A，并且当A可逆时，有1*1AAA（重要 ）（证明见课本P？）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页名师精编优秀资料奇异矩阵与非奇异矩阵当0A时，A称为奇异矩阵，当0A时，A称为非奇异矩阵。即0AAA可逆为非奇异矩阵。推论若(A=E)ABE 或B，则1BA（证明见课本P？）求逆矩阵方法*1(1)| 021(3)|AAAAAA先求并判断当时逆阵存在；（ ）求；求。更好的求逆矩阵的方法-chapter3 初等变换法（A,E) 逆矩阵的运算性质1111,AAAA若 可逆 则亦可逆 且1112,0,AAAA若 可逆 数则可逆 且。1113,A BABABB A若为同阶方阵且均可逆则亦可逆 且()。 （以上证明见课本 P43）114,TTTAAAA若 可逆 则亦可逆且。115,AAA若 可逆 则有。总结逆矩阵的计算方法1 待定系数法；12AAA利用公式；3 初等变换法下一章介绍第四节矩阵分块法矩阵分块将矩阵A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页名师精编优秀资料分块矩阵的运算规则加法A 与 B 同型，且A、B的分块方法相同，则A 与 B的和定义为对应子块相加。数乘()ijAA。转置112111121312222122231323,TTTTTTTAAAAAAAAAAAAAA设则。(先外转再内转) 乘法首 先AB有 意 义 ， 其 次A的 列 的 分 法 与B的 行 的 分 法 相 同 。,Am lBln设 为矩阵为矩阵 分块成1212,(),()tnBBAA AABB即列向量组即行向量组，1212,iiitjjtjAAABBB其中的列数分别等于的行数那么1111rssrCCABCC，11, ;1,tijikkjkCA Bis jr其中。结论分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。分块对角阵（准对角矩阵）设 A 为 n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，即12sAAAA，1,2,iA is其中都是方阵， 则有：121)sAA AA。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页名师精编优秀资料122)0,isAAAAAA若每个则 可逆 且有，1111121,2,isAAisAdiagAAA可逆可逆且（diag（A）表示对角阵A）（课本 P？）有用的结论TA AO,AOP?设则（证明见课本）线性方程组的分块表示线性方程组1111221121 122222m11m22m.nnnnnnna xa xa xba xa xa xbaxaxaxb，111112112221222212.A(),.nnijnmmmmnmxbaaabxbaaabaxbBxbaaab记，其中 A 为系数矩阵， x 称为未知数向量，b 称为常数向量，B 称为增广矩阵。增广矩阵可以分块表示为：12( , )(,., )nBA bBa aab或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页