学习必备欢迎下载直线与方程专题复习一、知识归类1. 直线的倾斜角与斜率（ 1）直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是（)900. （ 2）直线倾斜角的范围是 . （ 3）直线过)(,(),(21222111xxyxPyxP两点的斜率公式为：k . 2. 两直线垂直与平行的判定（ 1）对于不重合的两条直线21,ll，其斜率分别为21,kk， ，则有：21/ll；21ll . （ 2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 . 3. 直线方程的几种形式名称方程形式适用条件点斜式不表示的直线斜截式不表示的直线两点式不表示的直线截距式不表示和的直线一般式)0(022BAcByAx注意： 求直线方程时，要灵活选用多种形式. 4. 几个距离公式（ 1）两点),(),(222111yxPyxP之间的距离公式是：|21PP . （ 2）点),(00yxP到直线0:cByAxl的距离公式是：d . （ 3）两条平行线0:,0:21cByAxlcByAxl间的距离公式是：d . 二、典型例题题型一：直线的倾斜角与斜率问题例 1 已知坐标平面内三点) 13,2(),1 , 1(),1 , 1(CBA. （ 1）求直线ACBCAB、的斜率和倾斜角. （2）若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载变式训练 1、直线 xcos 3y20 的倾斜角的范围是 ( ) A.6，22，56 B.0，656， C.0，56 D.6，562、 直线 l 经过点 A(1， 2) ， 在 x 轴上的截距的取值范围是 ( 3， 3)， 则其斜率 k 的取值范围是 ( ) A1k15Bk1 或 k12C k15或 k1 D k12或 k1 本题小结： 数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点. 当直线绕定点由与x轴平行（或重合）位置按逆时针方向旋转到与y轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到（即斜率不存在） ；按顺时针方向旋转到与y轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到（即斜率不存在）. 这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围. 题型二：直线的平行与垂直问题例 2 已知直线l的方程为01243yx，求下列直线l的方程 , l满足（1）过点)3 , 1(，且与l平行；（2）过)3, 1(，且与l垂直 . 变式训练 1、已知直线 xa2y60 与直线 (a2) x3ay2a0 平行，则 a 的值为 ( ) A0 或 3 或1 B0 或 3 C3 或1 D0 或1 2、已知过点 A( 2，m )和点 B( m ，4) 的直线为 l1，直线 2xy10 为 l2，直线 xny10 为l3，若 l1l2，l2l3，则实数 m n 的值为 ( ) A10 B2 C0 D8 本题小结： 与直线0CByAx平行的直线方程可设为01CByAx， 再由其他条件列方程求出1C；与直线0CByAx垂直的直线方程可设为02CAyBx，再由其他条件求出2C. 题型三：直线的交点、距离问题例 3 已知直线l经过点A)4,2(, 且被平行直线01:01:21yxlyxl与所截得的线段的中点M在直线03yx上，求直线l的方程 . 变式训练、 已知点 P(2，1)，试求过点 P且与原点的距离最大的直线l 的方程，并求出原点到直线的最大距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载本题小结： 解此类题目常用的方法是待定系数法，然后由题意列出方程求参数；也可综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线的特征，然后由已知条件写出直线的方程. 题型四：直线方程的应用例 4 已知直线0355:ayaxl. （1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围 . 变式训练、 已知直线l：(2ab)x(ab)yab0 及点P(3，4) (1) 证明直线l过某定点，并求该定点的坐标 (2) 当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程(1) 证明直线 l 的方程可化为 a(2xy1)b( xy1)0，由2xy10，xy10，得x2，y3，直线l 恒过定点 ( 2，3)(2) 设直线 l 恒过定点 A(2，3)，当直线 l 垂直于直线 PA时，点 P到直线 l 的距离最大又直线 PA的斜率 kPA433215，直线l 的斜率 kl5.故直线 l 的方程为 y35( x2)，即 5xy70.本题小结： 含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可研究直线过定点. 【检测反馈】1.若直线过点),32, 4(),2, 1(则此直线的倾斜角是（）. （ A）030（B）045（C）060（D）0902. 过点)1 , 1(E和)0, 1(F的直线与过点)0 ,2(kM和点)4,0(kN直线的位置关系是（）（ A）平行（ B）重合（ C ）平行或重合（D）相交或重合3. 过点)3 , 1(且垂直于直线032yx的直线方程为（）. (A)012yx (B) 052yx (C) 052yx (D) 072yx4. 已知点),1 ,3(),2, 1(BA则到BA,两点距离相等的点的坐标满足的条件是（）. （A）524yx（B）524yx（C）52yx（D）52yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载5. 直线), 0,0(0:,0:21babaaybxlbyaxl在同一直角坐标系中的图形大致是（）. 6. 直 线l被 两 直 线0653:, 064:21yxlyxl截 得 线 段 的 中 点 是 原 点O， 则 直 线l的 方 程为 . 7. 已知,0a若平面内三点),3(),2(), 1(32aCaBaA共线，则a= . 8. 过点),4,1 (A且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（）. （A）1 条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条9. 已知直线l过点) 1 , 1(P，且被平行直线01343yx与0743yx截得的线段长为24，求直线l的方程 . 10、在直线l：3xy10 上求一点P，使得P到A(4 ， 1) 和B(0 ，4)的距离之差最大解：设点 B关于 l 的对称点为 B， 连接 AB 并延长交 l 于 P，此时的 P满足| PA | | PB | 的值最大设 B的坐标为 ( a，b) ，则 kBB kl1，即b4a 31. a3b120. 又由于线段 BB 的中点坐标为a2，b42，且在直线 l 上，3a2b4210，即 3ab60. 联立，解得a3，b3，B(3，3)A OOxy1l2l2l1lxyB Oxy1l2lC yxO2l1lD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载于是 AB 的方程为y131x434，即 2xy90.解3xy10，2xy90，得x2，y5，即 l 与 AB 的交点坐标为 P(2，5)总结、反思：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页