第一章复述和复变函数1.5 连续若函数)(xf在0z的领域内（包括0z本身）已经单值确定，并且)()(0lim0zfzfzz，则称 f(z) 在0z点连续。1.6 导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件(i) xu、yu、xv、yv在点不仅存在而且连续。(ii)C-R条 件 在 该 点 成 立 。 C-R条 件 为yyxuxyxvyyxvxyxu),(),(),(),(1.7 解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。解析的必要条件：函数f(z)=u+iv在点 z 的领域内 (i) xu、yu、xv、yv存在。(ii)C-R 条件在该点成立。解析的充分条件： 函数 f(z)=u+iv 在领域内 (i) xu、yu、xv、yv不仅存在而且连续。(ii)C-R 条件在该点成立。1.8 解析函数和调和函数的关系拉普拉斯方程的解都是调和函数：22xu+22yu=0 由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。 但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足CR 条件。当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的 u(x,y)时，如何求 v(x,y)? 通过 C R 条件列微分方程第二章复变函数的积分2.2 解析函数的积分柯西定理： 若函数 f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与 B 的那些曲线来讲，积分BAdzzf)(的值均相等。柯西定理推论： 若函数 f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。Cdzzf0)(二连区域的柯西定理：若 f(z) 在二连区域D解析， 边界连续， 则 f(z)沿外境界线 (逆时针方向 )的积分等于f(z)沿内境界线 (逆时针方向)的积分。n+1 连区域柯西定理：niiiedzzfdzzfdzzfdzzf)(.)()()(21推论： 在 f(z) 的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。2.3 柯西公式若 f(z)在单连有界区域D 内解析， 在闭区域D 的边界连续， 则对于区域D 的任何一个内点 a，有dzazzfiaf)(21)(其中是境界线。2.5 柯西导数公式dzfinzfCnn1)()()(2!)(第三章级数3.2 复变函数项级数外尔斯特拉斯定理： 如果级数0)(kkzu在境界上一致收敛，那么(i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii) 由它们的 m 阶导数组成的级数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页0)()(kmkzu在区域内也收敛，而且它们的和等于 F(m)(z)。3.3 幂级数阿贝尔 (Abel)定理： 如果幂级数0)(kkkazc在点 z0处收敛，则在任一圆|z-a|=p|z0-a|，0p1 内，幂级数一致收敛，并且绝对收敛。达朗贝尔 (D Alembert) 判别法 :对于幂级数，计算下列极限|)(|)(|lim11kkkkkazcazc(i)当极限值小于1 时，幂级数在点z 处绝对收敛 (ii) 当极限值大于1 时，幂级数在点z处发散 (iii) 当极限值等于1 时，敛散性不能判断。柯西判别法：计算极限kkkkazc|)(|lim当极限值小于1 时，幂级数在点z 处绝对收敛;而当极限值大于1 时， 幂级数在点z 处发散；极限值等于1 时，不能判断3.4 解析函数与幂级数定理 ：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。Taylor 级数 ：0)()(!)()(nnnaznafzf.!.! 212nzzzenz.)!12(-1).! 5! 3sin12n53nzzzzzn.)!2(.! 4!21cos242nzzzzn.1(-1).32)1ln(1n32nzzzzzn3.5 解析函数与双边幂级数定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析函数。环形区域内的解析函数可展成双边幂级数kkkazczf)()(dafick)()(21称为 Laurant 系数3.8 孤立奇点非孤立奇点 ：若函数 f(z)在 z=a 点的无论多么小的领域内，总有除z=a 以外的奇点，则z=a 是 f(z)的非孤立奇点。孤立奇点 ： 若函数在z=a 不可导 (或无定义 )，而在去心领域0|z-a|解析，则 z=a 是 f(z)的一个孤立奇点。3.9 奇点分类有限远奇点极限性质洛朗级数可去奇点limf(z)= 有限值不含负幂项极点limf(z)= 含有限个负幂项本性奇点limf(z)= 无定值含无限个负幂项无穷远点极限性质洛朗级数可去奇点limf(z)= 有限值不含正幂项极点limf(z)= 含有限个正幂项本性奇点limf(z)= 无定值含无限个正幂项第四章留数4.1 柯西公式的另一种形式一阶极点留数： 若 g(z)在单连区域D 内解析，a 在 D 内，在 D 内作一环绕点a 的围线 C。令 f(z)=g(z)/(z-a) 则有：Casfidzzf)(Re2)()()(lim)(Rezfazasfaz一阶极点留数的一种算法: 如果)()()(zzzf那么)()()(Resaaaf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页m 阶极点的留数公式|)()()!1(1)(Re11azmmmzfazdzdmasf4.2 用级数分析来分析留数定理kkkazczf)()(则有 Res1)(caf多连区域的柯西定理:如果在围线C 的内部包含 n 个孤立奇点， 利用多连区域的柯西定理就有nkkCasfidzzf1)(Re2)(4.3 无限远点的留数1)(21)(Recdzzfisf定理 1：如果当z时，若zf(z)0,则Resf()=0 定理 2：0)(Re)Resf(a1ksfnk4.4 留数定理计算型积分第一种类型：20)sin,(cosdR型积分令iezizdzd/)(21cos1zz)(21sin1zz1|20)()sin,(coszdzzfdR在单位圆内各个奇点的留数之和第二种类型：dxxf)(型积分注意，需要满足条件0)(limzzzfidxxf2)(在上半平面的奇点留数之和（界限上的乘以0.5）第三种类型：dxexfimx)(型积分注意需要符合条件0)(limzzfi2)(dxexfimxf(z)eimz在上半平面的奇点留数之和4.7 围线积分方法泊松积分：abaxeabxdxe4/02221cos菲涅尔积分：221sincos0202dxxdxx第六章积分变换6.1 傅里叶级数三角函数系的正交性2周期 - 展开定理：10)sincos()(mmmmxDmxCCxfdfC)(210dmfCmcos)(1dmfDmsin)(1任意周期2l- 展开定理：10)sincos()(mmmxlmDxlmCCxflldflC)(210llmdlmflCcos)(1llmdlmflDsin)(16.2 傅立叶积分0sin)(cos)()(dkkxkDkxkCxfdkfkDdkfkCsin)(1)(cos)(1)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页C(k)是偶函数， D(k) 是奇函数傅里叶公式令)()(21)(kiDkCkf则dkekfxfikx)()(defkfik)(21)()()()()(1kfFxfxfFkf6.3 傅立叶变换线性定理22112211fFCfFCfCfCF导数定理)()(xfikFxfF)()()(xfFikdxxfdFnnn积分定理)(1)(0xfFikdfFxx延迟定理)()(00xfFexxfFikx相似定理)(1)(akfaaxfF卷积定理)()(2)()(2121kfkfdxffF6.4 拉普拉斯变幻dtetppt0)()(注意当 t1 时)()42cos(2)(2/3xOmxnxJmM 阶贝塞尔方程的本征问题0)()()(22RmddRdd自然边界条件0|)(00k边界条件：0)()(bRddR本征函数：)()(nmnJR本征值：0)()(bJbJmm的解正交性：bjmnmdJJ00)()(模：bnmndJN022)()()(1 ()(22222bJbmbJabnmnnm展开定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页1)()(nnmnJffbnmnndJfNf02)()(1贝塞尔函数的性质母函数：mmmzzxzxJe)()1(2加法公式：kkmkmbJaJbaJ)()()(平面波用柱面波展开公式mimmmikreikrJe)(cosmimmmikrekrJe)1)(sinmimmikrekrJe)(sin积分表达式dxmdexJimixm)sincos(2121)(sin围线积分表达式dzzeixJvmzzxm1)1(221)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页