1 / 7 经济数学基础（ 08 春）线性代数部分期末复习指导线性代数部分第二章，矩阵考试要求： 了解矩阵概念，理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件，了解矩阵秩的概念； 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质； 了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质 理解矩阵初等行变换的概念，熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵重点：矩阵概念，矩阵可逆与逆矩阵概念，矩阵可逆的条件，矩阵秩的概念及求法；矩阵的运算和矩阵的求逆，矩阵的初等行变换。典型例题一、单项选择题1设 A 为23矩阵， B 为32矩阵，则下列运算中（）可以进行 . AAB BABT CA+B DBAT 答案:A 2设BA,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）A. TTT)(BAABB.TTT)(ABABC.1T11T)()(BAABD.T111T)()(BAAB答案： B 3设BA ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（）A. 若 AB = I，则必有 A = I 或 B = IB.TTT)(BAABC. 秩)(BA秩)(A秩)(BD.111)(ABAB答案： D 4设BA ,均为 n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（）ABAB BBAAB CIAA DIA1答案 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 / 7 5设A是可逆矩阵，且AABI，则A1（）.A. BB. 1BC. IB D. ()IAB1答案 C 6设)21(A，)31(B， I 是单位矩阵，则IBAT（）A6231 B6321 C5322 D5232答案 D7设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算，那么（）成立.AAB = AC，A 0，则 B = C BAB = AC，A可逆，则 B = C CA 可逆，则 AB = BA DAB = 0，则有 A = 0，或 B = 0 答案： B 二、填空题1两个矩阵BA ,既可相加又可相乘的充分必要条件是. 答案：同阶矩阵2若矩阵 A = 21，B = 12，则 ATB=答案24123设13230201aA，当 a时， A是对称矩阵 . 答案：0a4当 a 时，矩阵aA131可逆. 答案：3a5设BA ,为两个已知矩阵，且BI可逆，则方程XBXA的解X答案：ABI1)(6设A为n阶可逆矩阵，则 r (A)=答案： n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 / 7 7若矩阵 A =330204212，则 r(A) = 答案： 2 2.计算题（1）设矩阵 A =022011，B =210321，计算 (BA)-1解 因为 BA=210321022011=2435 (BAI )=1024111110240135542011112521023101（2）设矩阵843722310A， I 是 3阶单位矩阵，求1)(AI解：由矩阵减法运算得943732311843722310100010001AI利用初等行变换得113100237010349001113100011210010301113100011210001111110233010301001111100132010301001111精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 / 7 即()IA1132301111（3）设矩阵112,322121011BA，求BA1解：利用初等行变换得102340011110001011100322010121001011146100135010001011146100011110001011146100135010134001即1461351341A由矩阵乘法得7641121461351341BA第三章 线性方程组考试要求： 了解线性方程组的有关概念，熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解； 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理重点： 线性方程组有解判定定理、线性方程组解的表示及求解非齐次线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下：AX = b有唯一解的充分必要条件是秩(A) = 秩(A) = n；AX = b有无穷多解的充分必要条件是秩(A) = 秩(A) n；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 / 7 AX = b无解的充分必要条件是秩 (A) 秩(A)相应的齐次线性方程组AX = 0 的解的情况为：AX = 0只有零解的充分必要条件是秩(A) = n； AX = 0有非零解的充分必要条件是秩(A) n典型例题：一、单项选择题1若线性方程组的增广矩阵为41221A，则当（）时线性方程组有无穷多解A1B1 C2 D21(答案 D) 2若非齐次线性方程组AmnX=b的( )，那么该方程组无解A秩(A) nB秩(A)m C秩(A）秩 (A)D秩(A）= 秩(A) (答案 C) 3线性方程组012121xxxx解的情况是（）A. 无解B. 只有 0 解C. 有唯一解D. 有无穷多解答案 A 4 线性方程组 AX0只有零解，则AXb b()0（ ）.A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解答案 B 5设线性方程组AX=b 中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（）A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解答案 B 6设线性方程组bAX有唯一解，则相应的齐次方程组OAX（）A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定答案 C 二、填空题1若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组 AX = b答案：无解2若线性方程组002121xxxx有非零解，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 / 7 答案：-13设齐次线性方程组01nnmXA，且秩 (A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于答案：rn4齐次线性方程组0AX的系数矩阵为000020103211A则此方程组的一般解为 .5线性方程组AXb的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为110000012401021dA则当d时，方程组AXb有无穷多解 . 答案：1d三.计算题1求解线性方程组的一般解0232022023432143214321xxxxxxxxxxxx解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形010030101031020031101231311031101231232121211231010030108001一般解为03834241xxxxx(4x 是自由未知量 )2求当取何值时，线性方程组1479637222432143214321xxxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 / 7 有解，在有解的情况下求方程组的一般解解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形1000010511102121119102220105111021211114796371221211所以，当1时，方程组有解，且有无穷多解，00000105111084901答案：43243151110498xxxxxx其中43, xx是自由未知量3求当取何值时，线性方程组432143214321114724212xxxxxxxxxxxx解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形273503735024121114712412111112500003735024121当5时，方程组有解，且方程组的一般解为432431575353565154xxxxxx其中43, xx为自由未知量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页