知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模 )平面向量是自由向量零向量长度为 0 的向量；其方向是任意的记作 0单位向量长度等于1 个单位的向量非零向量a 的单位向量为a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0 与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为0知识点二向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律： abba；(2)结合律： (ab)ca(bc)减法求 a与 b 的相反向量 b 的和的运算叫做 a 与 b 的差a ba(b)数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)| a| | |a|；(2)当 0 时， a 的方向与a 的方向相同；当 |CD|，且AB与CD同向，则 ABCD；若 |a|b|，则 a，b 的长度相等且方向相同或相反；由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行，其中正确说法的个数是()A1 B 2 C3 D4答案A解析 两向量不能比较大小，故不正确；a 与 b 长度相等，但方向不定，故不正确；规定 0与任意向量平行，故不正确2已知 D 是 ABC 的边 AB 的中点，则向量CD等于 ()A BC12BAB BC12ABC.BC12BAD.BC12BA答案A解析因为 CDCBBD，CB BC，BD12BA，所以 CD BC12BA.3已知向量a(2,3)，b (2， 3)，则下列结论正确的是()A向量 a的终点坐标为(2,3)B向量 a 的起点坐标为 (2,3)C向量 a 与 b 互为相反向量D向量 a与 b 关于原点对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页答案C4(2018 年 6 月学考 )已知向量a(x,1)，b(2， 3)，若 ab，则实数x 的值是 ()A23B.23C32D.32答案A5.如图， D，E，F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则 AFBD等于 ()A.FDB.FCC.FED.BE答案D6下列式子中，不能化简为AD的是 ()A(ABCD)BCB(ADMB)(BCCM)C.OCOA CDD.MBADBM答案D解析A 中， (ABCD)BC ACCDAD；B 中， (ADMB) (BC CM)AD(MBBC CM)AD(MCCM)AD；C 中， OCOACD ACCDAD；D 中， MBADBMAD2MB，故选 D.7在平行四边形ABCD 中，点 E 为 CD 的中点， ABa，ADb，则 BE等于 ()A12abB12abC.12abD.12ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页答案B解析由题意可得 BEBAADDE a b12ab12a.8已知点 A 2，12，B12，32，则与向量 AB同方向的单位向量是()A.35，45B.35，45C.45，35D.45，35答案B解析 AB 32，2 ，|AB|3222252.与向量 AB同方向的单位向量为AB|AB|2532，2 35，45.9若向量 a(3,4)，且存在实数x，y，使得 axe1ye2，则 e1，e2可以是 ()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,3)，e2 (2， 6)Ce1(1,2)，e2 (3， 1)De112，1 ， e2(1， 2)答案C解析根据平面向量基本定理知e1，e2不共线对于 A， e1为零向量， e1，e2共线；对于 B， e2 2e1，e1，e2共线；对于 C， e1 (1,2)，e2(3， 1)，1( 1)23 50，e1与 e2不共线，即该选项正确；对于 D， e2 2e1， e1， e2共线10已知 a (1,2 sin x)，b(2，cos x)，c (1,2)，(ab)c，则锐角x 等于 ()A45 B30 C15 D60精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页答案A解析由题意得ab(1,2sin xcos x)，再由 (ab)c 可得 2(1)(2sin x cos x)0，化简可得sin xcos x，tan x1，锐角 x 为 45.二、填空题11已知 e1(2,1)，e2(1,3) ，a(1,2)，若 a1e12e2，则实数对 (1，2)为_答案(1,1)解析 a1e12e2(212，132)，又 a(1,2)，1212，2 132，解得1 1，21，实数对 (1，2)(1,1)12已知四边形ABCD 是边长为 1 的菱形， BAD60 ，则 |DCBC|_.答案3解析 四边形 ABCD 是边长为 1 的菱形，BAD 60 ， ADC120 ，在 ACD 中，由余弦定理得ACAD2CD22AD CDcosADC3.|DCBC|DCAD|AC|3.13在边长为1 的正方形ABCD 中，设 ABa，BC b，ACc，则 |b ac|_.答案2解析 在边长为1 的正方形ABCD 中，设ABa，BCb，ACc，|a|1，ab c，|bac|baab|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页|2a|2|a|2.14已知向量 OA (k,12)，OB(4,5)，OC(10,8)，若 A，B，C 三点共线，则k_.答案18解析BCOCOB (6,3)，AC OCOA(10k， 4)A，B，C 三点共线， BCAC，24 3(10k)0，解得 k18.15.如图，在 ABC 中， AN13NC，P 是 BN 上的一点，若 APmAB29AC，则实数 m 的值为_答案19解析 B，P，N 三点共线，存在实数 使得 AP AB(1 )AN AB14AC.又APmAB29AC，AB，AC不共线， m，1429，解得 m19.三、解答题16已知平面内三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数 m，n 的值；(2)若 (a kc)(2ba)，求实数k 的值；(3)设 d (x， y)满足 (dc)(ab)，且 |dc|1，求向量d.解(1)ambnc，(3,2) (m4n,2mn)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页m4n3，2mn2，解得m59，n89.(2) (a kc)(2ba)，又 akc(34k,2k)，2ba (5,2)，2(34k)5(2k)0，即 k1613.(3) dc(x4， y1)，ab(2,4)，又(dc)(ab)，|dc|1，4 x4 2 y1 0，x42 y121，解得x455，y12 55或x 455，y 1255，d455，1255或 d 455，12 55.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页