学习必备欢迎下载数学基础知识与典型例题复习第二章函数映射映射：设非空数集A，B，若对集合 A 中任一元素 a，在集合 B 中有唯一元素b 与之对应，则称从 A 到 B 的对应为映射，记为 f：AB，f 表示对应法则， b=f(a)。若 A 中不同元素的象也不同， 且 B 中每一个元素都有原象与之对应,则称从 A 到 B 的映射为一一映射。例 1.若4,3 ,2 ,1A，,cbaB,则 A到 B的映射有个， B 到 A 的映射有个；若3 ,2 , 1A，,cbaB, 则 A到 B 的一一映射有个。例 2. 设集合 A 和集合 B 都是自然数集合N，映射BAf :把集合A 中的元素n映射到集合 B 中的元素nn2，则在映射f下，象 20 的原象是 ( ) （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 函数1.函数定义：函数就是定义在非空数集 A，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C=f(x)|xA 为值域。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则 . 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。3. 函数定义域的求法： 列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域 .常涉及到的依据为：分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等 . 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。 函数对应法则通常表现为表格， 解析式和图象。例 3.已知扇形的周长为20，半径为r，扇形面积 为 S ， 则)(rfS； 定义 域为。例 4. 求函数2143)(2xxxxf的定义域 . 例 5. 若函数)(xfy的定义域为 1,1，求函数)41(xfy)41(xf的定义域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载函数4.函数值域的求法：配方法(二次或四次 )；判别式法；反函数法（反解法） ；换元法（代数换元法） ；不等式法；单调函数法 . 注:求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性， 基本不等式及几何意义， 间接法的途径为函数与方程的思想， 表现为法，反函数法等，在高等数学范围内， 用导数法求某些函数最值（极值）更加方便 . 常用函数的值域， 这是求其他复杂函数值域的基础。函数), 0(Rxkbkxy的值域为R;二次函数), 0(2Rxacbxaxy当0a时值域是24,)4acba,当0a时值域是(,abac442；反比例函数)0,0(xkxky的值域为0|yy； 指 数 函 数), 1, 0(Rxaaayx且的 值 域 为R；对数函数xyalog)0, 1,0(xaa且的值域为 R；函 数sin,cos()yx yx xR的 值 域 为 -1 ， 1 ； 函 数2kx,tanxy,cot x y),(Zkkx的值域为 R；例 6.已 知221( )12 ,( )xg xx fg xx(x 0), 求1()2f. 例 7. 求函数24 1yxx的值域 . 例 8. 下列函数中值域为，0的是( ) (A) xy215(B) xy131(C) 121xy(D) xy21单调性函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间， 也可能没有单调区间，如果函数在区间（ 0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在0112（ ， ）（，）上为减函例 9. 讨论函数21)(xxf的单调性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载数. 单调性单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间， 单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法： 定义法（作差比较和作商比较） ；图象法；单调性的运算性质（实质上是不等式性质） ；复合函数单调性判断法则;导数法（适用于多项式函数）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。例 10. 函数112xy在定义域上的单调性为( ) （A）在1 ,上是增函数，在, 1上是增函数;（B）减函数 ;（C）在1 ,上是减函数，在, 1上是减函数 ;（D）增函数例 11.已知函数 f (x), g (x)在 R 上是增函数，求证：f g (x)在 R 上也是增函数。奇偶性1. 偶函数：)()(xfxf.设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点 . 偶函数的判定： 两个条件同时满足定义域一定要关于y轴对称，例如：12xy在) 1, 1上不 是偶 函 数 . 满 足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf. 2. 奇函数：)()(xfxf.设（ba,）为奇函数上一点，则（ba,）也是图象上一点 . 奇函数的判定： 两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：3xy在) 1, 1上 不 是 奇 函 数 . 满 足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf. 注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时， 应在化简解析式后进例 12.判断下列函数的奇偶性：xxxxf11)1()(, 2211)(xxxf, 22(0)( )(0)xxxfxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载行，同时灵活运用定义域的变形，如( )( ) 0fxf x，()1( )fxf x（ f(x)0）反函数1.反 函 数 定 义 ： 只 有 满 足xy唯一，函数)( xfy才有反函数 . 例如：2yx无反函数.函数)(xfy的反函数记为)(1yfx， 习 惯 上 记 为)(1xfy. 2.求反函数的步骤 :将)(xfy看成关于x的方程 ,解出)(1yfx，若有两解，要注意解的选择；将yx,互换，得)(1xfy；写出反函数的定义域（即)(xfy的值域） 。3.在同一坐标系，函数)(xfy与它的反函数)(1xfy的图象关于xy对称. 注：一般地，1(3)(3)fxf x的反函数 . 1(3)fx是先( )f x的反函数，在左移三个单位 . 例 13.求函数211xy（ 1x 0）的反函数例 14.已知23( )1xf xx，函数y=g(x)图象与1(1)yfx的图象关于直线y= x 对称，求g(11)的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载(3)f x是先左移三个单位，在( )f x 的反函数 . 反函数4.单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数. 如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数. 设函数y = f（x）定义域，值域分别为 X、Y. 如果 y = f（x）在 X上是增（减）函数，那么反函数1( )yfx在 Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同 . 一般地， 如果函数)(xfy有反函数，且( )f ab，那么abf)(1. 这就是说点（ba,） 在函数)(xfy图象上，那么点（ab,）在函数)(1xfy的图象上 . 注:1.函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与 f(x)性质紧密相连， 如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x) 的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。2.设函数f(x)定义域为A，值域为C ， 则 f-1f(x)= x,(xA) ff-1(x)= x,(x C)例 15. 若函数( )yf x的图象经过)1,0(， 那么(4)yf x的反函数图象经过点 ( ) (A) 1,4(B)4, 1(C)1, 4(D)4, 1(例 16. 设124xxxf， 则01f_. 例17. 函数),(1Rxmxy与)(2Rnnxy互为反函数的充要条件是_. 例 18. 若点)41,2(既在函数baxy2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=_，b=_指数函数与对数函1. 指数函数：xay（0,1aa） ，定义域 R，值域为（, 0）.当1a，指数函数：xay在定义域上为增函数；当 01a，指数函数：xay在定义域上为减函数.当1a时，xay的a值 越 大 ， 越 靠 近 y 轴 ； 当例 19.函数12xay(0a，且1a)的图象必经过点 ( ) (A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2) 例 20. )223(log29log2log3777精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载数01a时，则相反 . 指数函数与对数函数2. 对 数 函 数 ： 如 果a（0,1aa）的b次幂等于N， 就是Nab，数b就叫做以a为 底 的N的 对 数 ， 记 作bNalog（0,1aa，负数和零没有对数）；其中a叫底数，N 叫真数 . 对数运算：1211log231log ()logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog1loglog. loglog(0,0,0,1,0,1,0,1,anaaaaaanaanaaNbababcaaananM NMNMMNNMnMMMnaNNNabcaaaaaMNaabbcca换底公式：推论：以上2,.,01)naa且例如：2log2log(2logaaaxxx中 x0 而2logxa中 xR）. 例 21.设),0(,zyx且zyx643, 求证:zyx1211;比较zyx6 ,4 ,3的大小 . 例 22.已知3log1)(xxf，2log2)(xxg, 试比较)()(xgxf和的大小。例 23. 求函数)183(log221xxy的单调减区间，并用单调定义给予证明。例 24. 求下列函数的定义域、值域：41212xy; )54(log231xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载xay（0,1aa） 与xyalog互为反函数 . 当1a时，xyalog的a值越大，越靠近x轴；当 01a时，则相反 . 图象变换y = f （x）（轴对称xfyyy =f（x）（轴对称xfyxy =f（x）（原点对称xfyy=f(x)y=f(| x|), 把轴上方的图象保留， 轴下方的图象关于轴对称y=f(x)y=| f( x)| 把轴右边的图象保留， 然后将轴右边部分关于轴对称。（注意：它是一个偶函数）伸缩变换： y=f(x)y=f( x), y=f( x) y=Af( x+) 具体参照三角函数的图象变换。注: 一个重要结论： 若 f(ax)f(a+x) ，则函数 y=f( x) 的图像关于直线 x=a 对称；例 25.讨论函数273xxy的图象与xy1的图象的关系。一次函数与二次函数1.一元一次函数：)0(abaxy，当0a时，是增函数；当0a时，是减函数；2.一元二次函数：一般式 :)0(2acbxaxy；对称轴方程是2bxa；顶点为24(,)24bacbaa；两点式：)(21xxxxay；对称轴方程是；与x轴的交点为；顶点式：hkxay2)(；对称轴方程是；顶点为；一元二次函数的单调性：当0a时：为增函数；为减函数；当0a时：为增函数；为减函数；二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为hkxay2)(的形式，()、若顶点的横坐标在给定的区间上，则当0a时：在顶点处取得最小值，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当0a时：在顶点处取得最大值， 最小值在距离对称轴较远的端点处取得；()若顶点的横坐标不在给定的区间上，则当0a时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得， 最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当0a时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；一次函数与二次函数二次方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程0)(2cbxaxxf的两根为21,xx；则：根的情况12xxk12xxk21xkx等价命题在区间),(k上有两根在区间),(k上有两根在区间),(k或),(k上有一根充要条件02()0bkaafk 。02()0bkaafk 。af(k)0 另外:二次方程 f(x)=0 的一根小于 p，另一根大于 q(pq)( )0( )0af paf q。二次方程 f(x)=0 在区间 (p,q)内只有一根f(p)f(q)0，或0)(0)(qfapf（检验）或0)(0)(pfaqf（检验） 。若在闭区间,nm讨论方程0)(xf有实数解的情况，可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，得出结果，在令nx和mx检查端点的情况。注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。特别指出 ,分段函数也是重要的函数模型。一次函数与二次函数例 26. 当 0x1 时，函数 y=ax+a1 的值有正值也有负值， 则实数 a 的取值范围是（）(A)a1 (C)a1 (D)21a1 例 27.已知函数1)()(32xaaaxxf在1,(上递增，则a的取值范围是( ) （A）3a（B）33a（C）03a（D）30a例 28. 已知二次函数cxbaaxxf)()(22的图像开口向上，且1)0(f，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载0)1 (f，则实数 b取值范围是 ( ) (A) 43,(B) )0 ,43(C) ),0(D) )1,(例29.设函数0, 10,00,1)(xxxxf，则方程)()12(1xfxx的解为.数学基础知识与典型例题 (第二章函数 )答案例 1. 43, 34 ,6; 例 2. C 例 3.(10)r r,(0,10)对于实际问题，在求出函数解析式后，此时的定义域要根据实际意义来确定。例 4. 解：解析式有意义的充要条件是：23404112031xxxxxxx或且3314xxx或或 函数2143)(2xxxxf的定义域为 x|3314xxx或或 例 5. 解：要使函数有意义 , 必须:15311334441354411444xxxxx)41(xfy)41(xf的定义域是3 3,4 4. 例 6.解一: 令1 2tx, 则12tx, 2222(1)1324( )(1)124tttf tttt13 114()15121 14f解二：令1122x则14x2211 ()14()1512()4f例 7. 解：设1tx则 t0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载x=1 t2代入得 y=f (t )=2(1 t2)+4t= 2t2+4t+2= 2(t 1)2+4 t0y4所求值域为,4例 8. B 例 9. 解：定义域x| 1x1,在 1,1上任取 x1,x2且 x1x2则211()1f xx,222()1f xx1()f x22212()11f xxx=22122212(1)(1)11xxxx=2221212122221212()()1111xxxxxxxxxx12xx210xx,另外，恒有2212110xx若 1x1x20 则 x1+x20 则1()f x2()0f x,1()f x2()f x若 x10 则1()f x2()0f x,1()f x2()f x 在1，0 上 f ( x) 为增函数，在 0 ，1 上为减函数。例 10. C 例 11. 证：任取12,x xR且 x1 x2g (x) 在 R 上是增函数 ,g (x1) g (x2), 又f (x) 在 R 上是增函数 ,f g (x1) f g (x2)而且 x1 0 时, x0 有 f ( x) = x2x = (x x2); 当 x0 有 f ( x) = x x2 = (x2+x)()0()()0()()(22xfxxxxxxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载此函数为奇函数 . 例 13.解：1x 0,0 x2 1 ,01 x2 1, 0 21x 1 , 0 y 1 由：211xy解得：22yyx(1x 0 ) 211xy( 1 x 0)的反函数是：22xxy( 0 x 1 ) 例 14.解:利用数形对应的关系，可知y=g(x)是 y=f-1(x+1)的反函数，从而化 g(x)问题为已知 f(x)。1(1)yfx1( )xfy( )1xf y1(1)yfx的反函数为( )1yf x即( )( )1g xf x g(11)=f(11)-1=23评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当 f(x)存在反函数时，若b=f(a)，则 a=f-1(b). 例 15. B 例 16. 1 例 17. m=2,n=12例 18. a=127，b=107解：由已知)41, 2(在反函数的图象上，则)2,41(必在原函数的图象上所以原函数经过点)41, 2(和)2,41(则baba41222241，所以14122baba，解得127107ab例 19.D 例 20.解：原式01log9)223(2log7237例 21.证明：设346xyzk, , ,(0,)x y z,1k取对数得 :lglg 3kx,lglg 4ky,lglg 6kz, 11lg 3lg 42lg 3lg 42lg 32lg 2lg 612lg2lg2lg2lglgxykkkkkz64lglg34lg 64lg818134lg()lg0lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 4kxykk,34xy, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载又9lglg46lg36lg641646lg ()lg0lg4lg6lg 2lg 6lg 2lg 6kyzkk, zy64,346xyz例 22. 解：3( )( )log4xxf xg x当143314xxx或01013014xxx时( )( )f xg x当34143xx即时()()fxgx当04133014xxx或01314xxx时( )( )fxg x综上所述：4(0,1)( ,)3x时( )( )f xg x；43x时( )( )f xg x;4(1, )3x时( )( )fxg x例 23. 解：定义域2318063xxxx或,单调减区间是),6(. 设1212,(6,)x xxx且则211112log (318)yxx,221222log (318)yxx211(318)xx222(318)xx=2121()(3)xxxx,又216xx, 210xx,213 0xx222318xx211318xx, 又底数1012,210yy,21yy函数)183(log221xxy在(6,)上是减函数 . 例 24解:要使函数有意义，则须：211204x即：21211xx11x ,210x从而2211x, 2111242x, 21110244x,102y,定义域为 -1,1，值域为21,0要使函数有意义，则须：5105405422xxxxx由51x,在此区间内9)54(max2xx, 20459xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载从而21133log (45)log 92xx即：值域为2y , 定义域为 -1,5，值域为),2例 25.解:372xyx3611322xxx可由1yx的图象向左平移两个单位得12yx的图象，再向上平移三个单位得132yx的图象。例 26.D 例 27. D 例 28. D 例 29. x=0，2 或41712、当你承认“自己有缺点”时，你就“疯狂地改正它”吧！“我的缺点越多，我成为伟人的可能性就越大！赶紧开始数一数你的缺点吧！ ”是什么诞生了一个伟大的人物？我认为是“自卑”诞生了一个伟大的人物！ 一个平常人在“战胜自卑”的过程中，获得了“炼狱”般的熬炼，从而炼出了自己非凡的“火眼金晴” 。姚明，被国际传媒称为“中国巨人时代的代言人”，他“战胜自卑”的过程，值得中国人自豪，值得中国人反省怎样才能让自己变成巨人？怎样才能让自己成为国家的骄傲？姚明自幼体弱多病，得过肾炎，左耳失聪，反应迟钝，两脚是不适合跑跳的“刀削脚（平脚） ”, 这些都是打篮球的致命弱点和缺陷。但他父亲问姚明：“告诉我，你喜欢篮球吗？”“喜欢啊，我喜欢球场的感觉，喜欢球迷的呼喊”他父亲说：“够了，儿子，只要喜欢，你就安心练球吧，你一定会比别人有出息的! ”姚明从此开始了常人难以想像的艰苦训练，虚心地从别人的嘲笑中总结经验，扬长避短，先入选中国篮球明星队，22 岁入选了全球最有影响力的NBA 明星联队。要知道一代篮球巨星是怎样炼成的，我跟大家分享两个最令我佩服的情景：第一个：他以队友为超越的目标，从最弱变成了最强姚明刚进NBA时, 他被称为最瘦弱的“杆”，因为他只能推 45 磅的哑铃，而他的队友可以推100 磅，5 年后，姚明推哑铃的重量超过了120 磅。由最弱变成了最强，只因他5 年来都在别人训练结束后，多加练几个小时的力量训练，并且从不间断。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载第二个：他反复审视自己的错误， 疯狂地调整缺点每一次比赛和训练，姚明的教练都会录像， 把他所有的失误镜头都剪下来，录到一张光盘里。 姚明每次都会仔细反复看，记自己犯下的每一个细小错误，然后一次又一次在训练中调整，直到把正确的动作转变成自己身体的一部分， 转化成自己的本能， 于是，姚明取得了令人不可思议的进步。一个人的缺陷，有时就是上苍让你成功的信息和暗示。一个人的弱点，可以成为你消沉胆怯的原因，也可以成为你一生中最大的激励因素。弱点的背后隐藏着，而且是“深深地”隐藏着巨大的潜力，一旦被改正，你的弱点就成为震撼世界的优点！所以，从今天开始，为你的弱点欢呼和庆祝吧！克服弱点最好的方法，就是用行动来超越它，战胜它，你从此开始变得强大，甚至伟大。当一个人真正要争得尊严， 弥补身体上的缺陷时， 人的潜能才会真正开始苏醒，自身惊人的品格，才会一点点地展现在世人面前。痛苦是锻造自己最好的机会！Whatpains us trainsus! 不要害怕失败。摔倒多少次不要紧，要紧的是你能多少次爬起来。Dont be afraidof failing.It doesntmatter howmanytimes you falldown.All that matters is howmanytimes you keep gettingup. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页