平面直角坐标系二、知识要点梳理知识点一：有序数对比如教室中座位的位置，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后顺序影响座位的位置，因此用有顺序的两个数a 与 b 组成有序数时，记作(a ，b) ，表示一个物体的位置。我们把这种有顺序的两个数a 与 b 组成的数对叫做有序数对，记作: (a,b)要点诠释：对“有序”要准确理解，即两个数的位置不能随意交换，(a ，b) 与(b ，a)顺序不同，含义就不同，表示不同位置。知识点二：平面直角坐标系以及坐标的概念1. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴， 习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y 轴或纵轴， 取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图 1) 。注：我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相垂直的，且有公共原点，通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。2. 点的坐标点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法，是今后研究函数的基础。在平面直角坐标系中，要想表示一个点的具体位置，就要用它的坐标来表示，要想写出一个点的坐标，应过这个点A分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足M在 x 轴上的坐标是a，垂足N在 y 轴上的坐标是b，我们说点A的横坐标是a，纵坐标是b，那么有序数对（a,b ）叫做点 A的坐标 . 记作 :A(a,b).用(a ，b) 来表示，需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面，所以这是一对有序数。注：写点的坐标时，横坐标写在前面，纵坐标写在后面。横、纵坐标的位置不能颠倒。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页由点的坐标的意义可知：点P(a，b) 中， |a| 表示点到y 轴的距离； |b| 表示点到x 轴的距离。知识点三：点坐标的特征l. 四个象限内点坐标的特征：两条坐标轴将平面分成个区域称为象限，按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象限，如图 2这四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（ - ，+），（ - ，- ），（ +，- ）2. 数轴上点坐标的特征：x 轴上的点的纵坐标为0，可表示为（ a,0 ）；y 轴上的点的横坐标为0，可表示为 (0,b)注意： x 轴， y 轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上。坐标轴上的点不属于任何一个象限，这一点要特别注意。3. 象限的角平分线上点坐标的特征：第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a ， a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a ，-a) 注： 若点 P(a，b)在第一、三象限的角平分线上，则ab；若点 P(a，b) 在第二、四象限的角平分线上，则a b。4. 对称点坐标的特征：P(a，b) 关于 x 轴对称的点的坐标为 (a,-b)；P(a，b) 关于 y 轴对称的点的坐标为 (-a,b)；P(a，b) 关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)5. 平行于坐标轴的直线上的点：平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相同；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相同。6. 各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律：象限横纵坐标符号 (a ，b) 图象第一象限( ， )a 0，b0 第二象限( ， )a 0，b0 第三象限( ， )a 0，b0 第四象限( ， )a 0，b0 x 轴上正半轴 ( ， 0) 负半轴 ( ， 0) y 轴上正半轴 (0 ， ) 负半轴 (0 ， ) 原点(0,0) 五、 特殊位置点的特殊坐标：知识点四：简单应用l. 用坐标表示地理位置根据已知条件， 建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，一般地只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起。利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况，也就是绘制平面图的过程：（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴， y 轴的正方向；（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称要点诠释：坐标轴上点 P（x，y）连线平行于坐标轴的点点 P（x，y）在各象限的坐标特点象限角平分线上的点X 轴Y 轴原点平行 X 轴平行 Y 轴第 一象限第 二象限第 三象限第 四象限第一、三象限第二、四象限(x,0) (0,y)(0,0)纵 坐 标 相同 横 坐 标不同横 坐 标 相同 纵 坐 标不同x0 y0x0 y0x0 y0 x0 y0 (m,m)(m,-m) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页在建立平面直角坐标系时，我们一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等。在具体问题中要注意分析题目，灵活运用。 而建立平面直角坐标系的方法是不唯一的。2. 用坐标表示平移（1）点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x ，y) 向右或向左平移a 个单位长度，可以得到对应点(xa，y) 或(x a， y) ；将点 (x ，y) 向上或向下平移b 个单位长度，可以得到对应点(x ，yb)或 (x ，y b) 。由上可归纳为：在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；在坐标系内， 平移的点的坐标规律：沿 x 轴平移纵坐标不变, 沿 y 轴平移横坐标不变（2）图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右或向左平移a 个单位长度； 如果把各个点的纵坐标都加上或减去一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上或向下平移了a 个单位长度。注：平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决。注意平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化 . 三、规律方法指导学习本章首先要理解好有序数对的概念，也就是在这里的数不但表示大小，还表示方向并且它的位置也是不能改变的其次，平面直角坐标系的引入，它是帮助我们研究事物的位置关系的一个工具，那么， 对于点坐标的特征要熟练掌握，这样对于解题和应用都有很大帮助 最后就是应用平面直角坐标系解决实际问题，尤其是平移图形，这里学生一定要画平面直角坐标系，体会数形结合在数学中的作用，这是利用左右脑学习的最好方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页