第第 3 3 讲空间中的角及动态问题讲空间中的角及动态问题聚焦考题-2-热点考题诠释能力目标解读12341.(2015浙江,文7)如图,斜线段AB与平面所成的角为60,B为斜足,平面上的动点P满足PAB=30,则点P的轨迹是()A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支 答案解析解析关闭因为AB为定线段,PAB=30,所以在空间中直线AP是以AB为轴的圆锥面的母线所在的直线,又因为点P在平面内,所以点P的轨迹可以看成平面与圆锥面的交线.因为AB与平面所成的角为60,所以平面与圆锥的轴斜交.由平面与圆锥面的截面性质,可得点P的轨迹为椭圆. 答案解析关闭C聚焦考题-3-热点考题诠释能力目标解读12342.(2015浙江,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D平面A1BC;(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.3聚焦考题-4-热点考题诠释能力目标解读1234解:(1)设E为BC的中点,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE.因为AB=AC,所以AEBC.故AE平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,从而DEA1A且DE=A1A,所以AA1DE为平行四边形.于是A1DAE.又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题-5-热点考题诠释能力目标解读1234(2)作A1FDE,垂足为F,连接BF.因为A1E平面ABC,所以BCA1E.因为BCAE,所以BC平面AA1DE.所以BCA1F,A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.由AB=AC=2,CAB=90,得EA=EB=.由A1E平面ABC,得A1A=A1B=4,A1E=.由DE=BB1=4,DA1=EA=,DA1E=90,得A1F=.所以sinA1BF=.聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题-6-热点考题诠释能力目标解读12343.(2015天津,文17)如图,已知AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证:EF平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.聚焦考题-7-热点考题诠释能力目标解读1234(1)证明:如图,连接A1B.在A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.(2)证明:因为AB=AC,E为BC中点,所以AEBC.因为AA1平面ABC,BB1AA1,所以BB1平面ABC,从而BB1AE.又因为BCBB1=B,所以AE平面BCB1,又因为AE平面AEA1,所以平面AEA1平面BCB1.聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题-8-热点考题诠释能力目标解读1234(3)解:取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点,所以NEB1B,NE=B1B.故NEA1A,且NE=A1A.所以A1NAE,且A1N=AE.又因为AE平面BCB1,所以A1N平面BCB1,从而A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.在ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2.因为BMAA1,BM=AA1,所以A1MAB,A1M=AB,又由ABBB1,有A1MBB1.在RtA1MB1中,可得A1B1=4.在RtA1NB1中,sinA1B1N=,因此A1B1N=30.所以,直线A1B1与平面BCB1所成的角为30.聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题-9-热点考题诠释能力目标解读12344.(2014浙江,文20)如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC平面BCDE,CDE=BED=90,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(1)证明:AC平面BCDE;(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题-10-热点考题诠释能力目标解读1234(1)证明:连接BD.在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=,由AC=,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即ACBC.又平面ABC平面BCDE,从而AC平面BCDE.聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题-11-热点考题诠释能力目标解读1234(2)解:在直角梯形BCDE中,由BD=BC=,DC=2,得BDBC,又平面ABC平面BCDE,所以BD平面ABC.作EFBD,与CB延长线交于F,连接AF,则EF平面ABC.所以EAF是直线AE与平面ABC所成的角.在RtBEF中,由EB=1,EBF=,得EF=,BF=.在RtACF中,由AC=,CF=,得AF=.在RtAEF中,由EF=,AF=,得tanEAF=.所以直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.聚焦考题-12-热点考题诠释能力目标解读从近几年的浙江高考试题来看,求线线角和线面角是热点问题,其中线面角的考查常设置为解答题,一般为中低档题.二面角涉及较少,主要考查用定义法求解.立体几何中的动态问题,具有较强的灵活性,常以翻折、展开、轨迹等途径进行设置,考查转化能力和动静分析能力.高频考点-13-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四两条异面直线所成的角例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为. 答案解析解析关闭 答案解析关闭高频考点-14-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四规律方法用平移法求两条异面直线所成的角时,需注意:(1)平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.最终将空间角转化为平面角,利用解三角形的知识求解.(2)因为异面直线所成角的取值范围是090,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.14高频考点高频考点高频考点高频考点-15-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四迁移训练1(2015浙江东阳模拟,文4)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,D是CC1中点,则CA1与BD所成角的大小是()A.B.C.D. 答案解析解析关闭 答案解析关闭15高频考点高频考点高频考点高频考点-16-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四直线与平面所成的角例2(2015浙江衢州4月教学质量检测,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点,且PA=AD=2,AB=1,AC=.(1)证明:MN平面PCD;(2)求直线MN与平面PAD所成角的正切值.16高频考点高频考点高频考点高频考点-17-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(1)证明:取PD中点E,连接NE,CE.N为PA中点,NE AD.又M为BC中点,底面ABCD为平行四边形,MC AD.NE MC,即MNEC为平行四边形.MNCE.EC平面PCD,且MN平面PCD,MN平面PCD.高频考点高频考点高频考点高频考点-18-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(2)解:PA平面ABCD,PA平面PAD,平面PAD平面ABCD,过M作MFAD,则MF平面PAD,连接NF.则MNF为直线MN与平面PAD所成的角,由AB=1,AC=,AD=2,得ACCD,由ACCD=ADMF,得MF=,高频考点高频考点高频考点高频考点-19-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四在RtAMN中,AM=AN=1,得MN=.在RtMNF中,NF=,tanMNF=.故直线MN与平面PAD所成角的正切值为.高频考点高频考点高频考点高频考点-20-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四规律方法用综合法求直线与平面所成角的方法:(1)定义法利用定义法求线面角,常常利用面面垂直的性质定理,得到线面垂直,进而确定线面角中的垂足.确定好垂足,明确斜线在平面内的射线,即可确定线面角,然后通过解直角三角形求解.(2)间接法如果线面角不好确定,可考虑间接法,不用找角.其基本理论为:在构成线面角的直角三角形中,如果垂足位置不好确定,可以利用求点面距的常用方法等体积法求解垂线段的长度,然后利用sin=进行求角.高频考点-21-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四迁移训练2正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为. 答案解析解析关闭 答案解析关闭高频考点-22-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四二面角例3(2015浙江嘉兴教学测试(二),文18)如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,2AC=PC=2,ACBC,D,E,F分别为AC,AB,AP的中点,M,N分别为线段PC,PB上的动点,且有MNBC.(1)求证:MN面PAC;(2)探究:是否存在这样的动点M,使得二面角E-MN-F为直二面角?若存在,求CM的长度;若不存在,说明理由.高频考点高频考点高频考点高频考点-23-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(1)证明:PA平面ABC,PABC.又ACBC,BC面PAC.又MNBC,MN面PAC.(2)解:由条件可得,FMD即为二面角E-MN-F的平面角;若二面角E-MN-F为直二面角,则FMD=90.在直角三角形PCA中,设CM=t(0t2),则PM=2-t,在MDC中,由余弦定理可得,DM2=CM2+CD2-2CMCDcos60=t2+t;同理可得,FM2=PM2+PF2-2PMPFcos30=(2-t)2+(2-t);又由FD2=FM2+MD2,得2t2-3t+1=0,解得t=1或t=.故存在点M可使得二面角E-MN-F为直二面角,且CM的长度为1或.高频考点-24-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四规律方法求二面角的大小,关键是作出二面角的平面角,作二面角的平面角的方法如下:(1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图,AOB为二面角-l-的平面角.高频考点-25-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图,AOB为二面角-l-的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图,ABO为二面角-l-的平面角.高频考点高频考点高频考点高频考点-26-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四迁移训练3已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=,BC=2,则以BC为棱,平面BCD与平面BCA所成的二面角的余弦值为()A.B.C.0D.- 答案解析解析关闭 答案解析关闭高频考点高频考点高频考点高频考点-27-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四立体几何中的动态问题例4(1)(2015浙江第一次五校联考,文17)已知正四棱锥V-ABCD可绕着AB任意旋转,CD平面,若AB=2,VA=,则正四棱锥V-ABCD在平面内的投影面积的取值范围是.高频考点-28-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四(2)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为平面ABCD上一动点,且tanPA1A=2tanPD1D,则点P的轨迹是()A.椭圆的一段B.双曲线的一段C.抛物线的一段D.圆的一段 答案 答案关闭高频考点高频考点高频考点高频考点-29-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四解析:(1)由题意可得正四棱锥的侧面与底面所成角为,侧面上的高为2,设正四棱锥的底面与平面所成角为,当0时投影为矩形,其面积为22cos=4cos2,4;当时,投影为一个矩形和一个三角形,此时平面VAB与平面所成角为-,正四棱锥在平面上的投影面积为4cos+22cossin+3cos=2sin,2);当时投影面积为22cos=2cos,2.综上,正四棱锥V-ABCD在平面内的投影面积的取值范围是,4.(2)因为tanPA1A=2tanPD1D,所以=2,即AP=2DP.在平面ABCD中,由一动点P到两定点A,D的距离比为2,知动点P的轨迹为圆的一段弧.高频考点-30-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四规律方法1.折叠与展开问题是立体几何的一对问题,这两种方式的转变是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系.2.求最值的途径有很多,其中运用公理与定义法、利用代数知识建立函数法、由常用不等式解不等式法等都是一些常用的求最值的方法.3.对于立体几何的探究性问题一般都是条件开放性的探究题,采用的一般是执果索因的方法,假设求解的结果存在,寻找使这个结论成立的充分条件,运用方程的思想或向量的方法转化为代数问题解决.如果找到了符合题目要求的条件,则存在;如果找不到符合题目要求的条件,或出现了矛盾,则不存在.高频考点-31-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四迁移训练4(2015浙江镇海中学模拟试卷,文15)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AC1,A1B1的中点.点P在该正方体的表面上运动,则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于. 答案 答案关闭高频考点高频考点高频考点高频考点-32-命题热点答题模板热点一热点二热点三热点四解析:取BB1的中点E,CC1的中点F,连接AE,EF,FD,则有BN平面AEFD.设点M在平面AB1中的射影为O,过MO与平面AEFD平行的平面为,则能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形,其周长与矩形AEFD的周长相等.又因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,所以矩形AEFD的周长为2+.高频考点高频考点高频考点高频考点-33-命题热点答题模板例题(15分)(2015浙江金华十校下学期模拟,文17)如图,在三棱锥P-ABC中,E,D分别是棱AC,BC的中点,PB=PC=AB=4,AC=8,BC=4,PA=2.(1)求证:BC平面PED;(2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值.高频考点高频考点高频考点高频考点-34-命题热点答题模板(1)证明:AC=8,BC=4,AB=4,由勾股定理的逆定理可得ABBC.又E,D分别是棱AC,BC的中点,DEAB.DEBC.(3分)PB=PC,且D是棱BC的中点,PDBC.(5分)BC平面PED.(7分)(2)解:在PAC中,AC=8,PC=4,PA=2,由余弦定理可得cosPCA=,又E是AC的中点,由余弦定理可求得PE=2,(10分)易求得PD=DE=2,PDE是等边三角形.高频考点高频考点高频考点高频考点-35-命题热点答题模板取PD中点F,则EFPD,又BC平面PED,BCEF,EF平面PBC.ECF就是直线AC与平面PBC所成的角.(13分)sinECF=.故直线AC与平面PBC所成角的正弦值为.(15分)新题演练新题演练新题演练新题演练-36-123451.若异面直线l与m所成角为,异面直线l与n所成角为,则异面直线m与n所成角的范围是()A.B.C.D. 答案解析解析关闭 答案解析关闭新题演练新题演练新题演练新题演练-37-123452.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D. 答案 答案关闭B新题演练新题演练新题演练新题演练-38-12345解析:如图,设P0为底面ABC的中心,连接PP0,由题意知PP0为直三棱柱的高,PAP0为PA与平面ABC所成的角,SABC=()2sin60=.三棱柱的体积V=,|PP0|=.|PP0|=.又P0为底面ABC的中心,则|AP0|等于正ABC高的,又易知ABC的高为,|AP0|=1.在RtPAP0中,tanPAP0=,PAP0=.故选B.新题演练-39-123453.(2015浙江第一次五校联考,文7)如图,在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:EPAC;EPBD;EP面SBD;EP面SAC.其中恒成立的为 ()A.B.C.D. 答案解析解析关闭 答案解析关闭新题演练-40-123454.(2015浙江嘉兴教学测试(二),文15)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,底面ABCD的对角线BD在平面内,则正方体在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是. 答案解析解析关闭 答案解析关闭新题演练-41-123455.(2015浙江高三第一次五校联考,文19)如图所示,正方形ABCD所在的平面与等腰三角形ABE所在的平面互相垂直,其中BAE=120,AE=AB=4,F为线段AE的中点.(1)若H是线段BD的中点,求证:FH平面CDE;(2)若H是线段BD上的一个动点,设直线FH与平面ABCD所成角的大小为,求tan的最大值.新题演练新题演练新题演练新题演练-42-12345(1)证明:连接AC,ABCD是正方形,H是AC的中点.又F是AE的中点,FH是ACE的中位线.FHCE,而FH面CDE,CE面CDE,FH面CDE.(2)解:面ABCD面ABE,交线为AB,而DAAB,DA面ABE,作FIAB垂足为I,则有FIAD,得FI面ABCD,FIH是直线FH与平面ABCD所成的角,FI=AFsin60=,tanFHI=.易知当IHBD时,IH取到最小值,故(tanFHI)max=.