学习必备欢迎下载第一节数列的概念与简单表示法教学目标：（1）了解数列的概念，分类；（2）能根据条件数列的通项公式，类型包含数列的前几项的归纳出数列的通项公式，由前 n 项和求通项公式，由数列的递推公式求通项公式。教学方法：以学生为主体，教师点评指导，讲练结合，启发引导，自主合作探究。教学工具：投影仪，多媒体，黑板。教学过程：1数列的有关概念概念含义数列按照一定次序排列的一列数数列的项数列中的每个数数列的通项数列an 的第 n 项 an通项公式如果数列 an 的第 n项与序号 n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式前 n 项和数列an 中，Sna1a2 an叫做数列的前 n 项和2.数列的表示方法列表法列表格表示 n 与 an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值 a1和 an1f(an)或 a1，a2和 an1f(an，an1)等表示数列的方法3.an与 Sn的关系若数列 an的前 n 项和为 Sn，则 anS1，n1，SnSn1，n2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载4数列的分类单调性递增数列? nN*，an1an递减数列? nN*，an1an常数列? nN*，an1an摆动数列从第 2 项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列? nN*，存在正整数常数k，ankan考点精析：考点一由数列的前几项求数列的通项公式题组练透 1 数 列23，415，635，863，1099， 的 一 个 通 项 公 式 是_ 解析：通过观察各项，可得分母为(2n1)(2n1)，分子为2n，则 an2n2n1 2n1. 答案： an2n2n1 2n12根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，；(2)(易错题 )112，123，134，145，；(3)a，b，a，b，a，b， (其中 a，b 为实数 )；(4)9,99,999,9 999 ，. 解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an2(n1)，nN*. (2)这个数列的前4 项的绝对值都等于序号与序号加1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an(1)n1n n1，nN*. (3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是 b，所以此数列的一个通项公精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载式 ana，n为奇数，b，n为偶数 .(4)这个数列的前 4 项可以写成 101,1001,1 0001，10 0001，所以它的一个通项公式 an10n1，nN*. 谨记通法 由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想， 由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整如“题组练透”第2(2)题考点二由an与Sn的关系求通项 an重点保分型考点 师生共研典例引领 已知下面数列 an 的前 n 项和 Sn，求an 的通项公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb. 解：(1)a1S1231，当 n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于 a1也适合此等式，an4n5. (2)a1S13b，当 n2 时，anSnSn1(3nb)(3n1b)2 3n1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载当 b1 时，a1适合此等式当 b1 时，a1不适合此等式当 b1 时，an2 3n1；当 b1 时，an3b，n1，2 3n1，n2.由题悟法 已知 Sn求 an的 3 个步骤(1)先利用 a1S1求出 a1；(2)用 n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当 n2 时 an的表达式；(3)对 n1 时的结果进行检验， 看是否符合 n2 时 an的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1 与 n2 两段来写即时应用 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn. (1)若 Sn(1)n1 n，求 a5a6及 an；(2)若 Sn3n2n1，求 an. 解：(1)a5a6S6S4(6)(4)2，当 n1 时，a1S11；当 n2 时，anSnSn1(1)n1 n(1)n (n1) (1)n1 n(n1)(1)n1 (2n1)，又 a1也适合此式，所以 an(1)n1 (2n1)(2)因为当 n1 时，a1S16；当 n2 时，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)12 3n12，由于 a1不适合此式，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载所以 an6，n1，2 3n12，n2.考点三由递推关系式求数列的通项公式常考常新型考点 多角探明命题分析 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接常见的命题角度有：(1)形如 an1anf(n)，求 an；(2)形如 an1anf(n)，求 an；(3)形如 an1AanB(A0 且 A1)，求 an；(4)形如 an1AanBanC(A，B，C 为常数 )，求 an. 题点全练 角度一：形如 an1anf(n)，求 an1在数列 an中，a11，ann1nan1(n2)，求数列 an的通项公式解： ann1nan1(n2)，an1n2n1an2，a212a1. 以上(n1)个式子相乘得ana11223 n1na1n1n. 当 n1 时，a11，上式也成立 an1n. 角度二：形如 an1anf(n)，求 an2若数列 an满足： a11，an1an2n，求数列 an的通项公式解：由题意知 an1an2n，an(anan1)(an1an2) (a2a1)a12n12n2 2112n122n1. 角度三：形如 an1AanB(A0 且 A1)，求 an精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载3已知数列 an满足 a11，an13an2，求数列 an 的通项公式解： an13an2，an113(an1)，an11an13，数列 an1为等比数列，公比q3，又 a112，an12 3n1，an2 3n11. 角度四：形如 an1AanBanC(A，B，C 为常数 )，求 an4已知数列 an中，a11，an12anan2，求数列 an的通项公式解： an12anan2，a11，an0，1an11an12，即1an11an12，又 a11，则1a11，1an是以 1 为首项，12为公差的等差数列1an1a1(n1)12n212，an2n1(nN*)方法归纳 典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an1anf(n)叠加法a11， an1an2nan1anf(n)叠乘法a11，an1an2nan1AanB (A0,1，B0) 化为等比数列a11， an12an1 an1AanBanC(A，B，C 为常数 ) 化为等差数列a11， an13an2an3课堂检测1已知数列an 的前4 项为1,3,7,15，则数列 an 的一个通项公式为_答案： an2n1(nN*) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载2已知数列 an中，a11，an1an2an3，则 a5_. 答案：11613(教材习题改编 )已知数列 an的通项公式为ann2n，数列 an 仅在 n3 时取得最小的项，则实数 的取值范围是 _解析：法一：因为ann2nn2 224，由于数列 an仅在 n3 时取得最小的项，所以52n272，从而得 7na3且 a4a3， 即 5 0，故7 5. 答案： (7， 5) 4(教材习题改编 )数列an 中，已知 an(1)n na(a 为常数 )，且 a1a43a2，则 an_. 解析：由题意得 1a4a3(2a)，所以 a3，则 an(1)n n3. 答案： (1)n n3 5已知 Sn是数列 an的前 n 项和，且 Snn21，则数列 an 的通项公式是_答案： an2，n1，2n1，n26数列 an 的通项公式为 ann29n，则该数列第 _项最大答案： 4 或 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页