学习必备欢迎下载8.7 圆锥曲线的综合问题知识梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的. 具体来说，有以下三方面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口. （2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识. （3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题.在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量” ，不仅有大小还有符号. 点击双基1.（ 20XX 年春季北京，5）设 abc0， “ac0”是“曲线ax2+by2=c 为椭圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析： ac0曲线 ax2+by2=c 为椭圆 . 反之成立 . 答案： B 2.到两定点A（0，0） ，B（3，4）距离之和为5 的点的轨迹是A.椭圆B.AB 所在直线C.线段 AB D. 无轨迹解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=34x，其中 0x3. 答案： C 3.若点（ x， y）在椭圆4x2+y2=4 上，则2xy的最小值为A.1 B. 1 C.323D. 以上都不对解析：2xy的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率 .显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x2）代入椭圆方程（4+k2）x24k2x+4k2 4=0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载令=0，k=323. kmin=323. 答案： C 4.（ 20XX 年春季上海，7）双曲线9x216y2=1 的焦距是 _. 解析：将双曲线方程化为标准方程得912x1612y=1.a2=91， b2=161，c2=a2+b2=91+161=14425. c=125，2c=65. 答案：655.（ 20XX 年春季北京）若直线mx+ny3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点，则m、n 满足的关系式为 _；以（ m，n）为点 P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x+32y=1的公共点有 _个. 解析：将直线mx+ny3=0 变形代入圆方程x2+y2=3，消去 x，得（m2+n2）y26ny+93m2=0. 令0 得 m2+n23. 又 m、n 不同时为零，0m2+n23. 由 0m2+n23，可知 |n|3，|m|3，再由椭圆方程a=7，b=3可知公共点有2 个. 答案： 0m2+n20，b0） ，且交抛物线y2=2px（p0）于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点 . x yOMNa b l（1）写出直线l 的截距式方程；（2）证明：11y+21y=b1；（3）当 a=2p 时，求 MON 的大小 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载剖析：易知直线l 的方程为ax+by=1，欲证11y+21y=b1，即求2121yyyy的值，为此只需求直线 l 与抛物线y2=2px 交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得11y+21y=b1.由OMON=0 易得 MON=90.亦可由 kOMkON=1 求得 MON=90. （1）解：直线l 的截距式方程为ax+by=1. （2）证明：由及y2=2px 消去 x 可得 by2+2pay 2pab=0. 点 M、N 的纵坐标y1、y2为的两个根，故y1+y2=bpa2， y1y2=2pa. 所以11y+21y=2121yyyy=pabpa22=b1. （3）解：设直线OM、ON 的斜率分别为k1、 k2，则 k1=11xy，k2=22xy. 当 a=2p 时，由（ 2）知， y1y2=2pa=4p2，由 y12=2px1，y22=2px2，相乘得（ y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=22214)(pyy=2224)4(pp=4p2，因此 k1k2=2121xxyy=2244pp=1. 所以 OMON，即 MON =90. 评述： 本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力 . 【例 2】 （20XX 年黄冈高三调研考题）已知椭圆C 的方程为22ax+22by=1（ab0） ，双曲线22ax22by=1 的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C 的右焦点F 作直线 l，使 ll1，又 l与 l2交于 P 点，设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为A、B.（如下图）xyOA B F P lll21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载（1）当 l1与 l2夹角为 60，双曲线的焦距为4 时，求椭圆C 的方程；（2）当FA=AP时，求 的最大值 . 剖析： （ 1）求椭圆方程即求a、b 的值，由l1与 l2的夹角为60易得ab=33，由双曲线的距离为4 易得 a2+b2=4，进而可求得a、b. （2）由FA=AP，欲求 的最大值，需求A、P 的坐标，而P 是 l 与 l1的交点，故需求 l 的方程 .将 l 与 l2的方程联立可求得P 的坐标，进而可求得点A 的坐标 .将 A 的坐标代入椭圆方程可求得 的最大值 . 解： （1）双曲线的渐近线为y=abx，两渐近线夹角为60，又ab1k0k（ 1，1） ，方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆；1k3k20k（3， 1） ，方程所表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆；1k=3k20k=1，表示的是一个圆； （1k） （ 3k2）0k（，3）（ 1，3） ，表示的是双曲线；k=1，k=3，表示的是两条平行直线；k=3，表示的图形不存在. （2）由（ k2+k6） （6k2k1）0（k+3） （k2） （3k+1） （2k1）b0）.设斜率为k 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B两点， AB 的中点为M.证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上. （3）利用（ 2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. （1）解：设椭圆的标准方程为22ax+22by=1，ab0，a2=b2+4，即椭圆的方程为422bx+22by=1. 点（ 2，2）在椭圆上，则消去 y，整理得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载442b+22b=1. 解得 b2=4 或 b2=2（舍） . 由此得 a2=8，即椭圆的标准方程为82x+42y=1. （2）证明：设直线l 的方程为y=kx+m，与椭圆 C 的交点 A（x1，y1） 、B（x2， y2） ，y=kx+m，22ax+22by=1. 解得（ b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2a2b2=0. 0， m2b2+a2k2，即222kabm0）的准线与x 轴交于 M点，过点M 作直线 l 交抛物线于A、 B 两点 . （1）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于 N（x0， 0） ，求证： x03p；（2）若直线l 的斜率依次为p，p2，p3，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为 N1，N2，N3，当0p0，得 0k21. 令 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，则 x1+x2=2242kppk，y1+y2=k（x1+x2+2p）=kp4，AB 中点坐标为（222kpkp，kp2）. AB 垂直平分线为ykp2=k1（x222kpkp）. 令 y=0，得 x0=222kppk=p+22kp. 由上可知 0k2p+2p=3p. x03p. （2）解： l 的斜率依次为p，p2，p3，时， AB 中垂线与x 轴交点依次为N1，N2，N3，（ 0p1）. 点 Nn的坐标为（ p+122np，0） . |NnNn+1|=|（p+122np）（ p+122np）|=122)1(2npp，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载|11nnNN=)1(2212ppn，所求的值为)1(212p p3+p4+p21=)1()1(2)1(2193pppp. 【例 2】 （ 20XX 年南京市模拟题）已知双曲线C：22ax22by=1（a0， b0） ，B 是右顶点， F 是右焦点，点A 在 x 轴正半轴上，且满足|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，过F作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P. x y OP A B DE F l（1）求证：PAOP=PAFP；（2）若 l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C 的离心率e的取值范围 . （1）证法一：x y OP A B DE F ll：y=ba（xc）. y=ba（xc） ，y=abx. 解得 P（ca2，cab）. |OA|、|OB|、|OF|成等比数列，A（ca2，0）. PA=（0，cab） ，OP=（ca2，cab） ，FP=（cb2，cab） . PAOP=222cba，PAFP=222cba. PAOP=PAFP. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载证法二：同上得P（ca2，cab）. P Ax 轴，PAOPPAFP=PAOF=0. PAOP=PAFP. y=ba（xc） ，b2x2a2y2=a2b2. b2x224ba（x c）2=a2b2，即（ b224ba）x2+224bacx（224bca+a2b2）=0. x1x2=24222224)(babbabca0，b4a4，即 b2a2，c2a2a2. e22，即 e2. （2）解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页