学习必备欢迎下载第十讲列方程解应用题小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩， 管理员叔叔开心的答道： “头数加只数， 只数减头数， 头数乘只数， 只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？呵呵！认真学习今天的好方法，你就可以准确、快速的解答出上面的问题了！内容概述在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础，通过分析题里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。但是，两种解答方法的解题思路却不同。由于数量关系的多样性和叙述方式的不同，用算术方法解答应用题，时常要用逆向思考，列式比较困难，解法的变化也比较多。用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母表示未知数，可以使未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量关系，正确解决问题。特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。列方程解应用题的一般步骤是：审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；合理设未知数x，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数），间接设未知数；依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；解方程；将结果代入原题检验。概括成五个字就是： “审、设、列、解、验”. 列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不变量”找等量关系。一些基本概念：（1）像 4x+2=9 这样的的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x 的指数为1 的方程叫做一元一次方程；（2）像 2x+y=8 这样的的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1 的方程叫做二元一次方程；把两个二元一次方程用“”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个方程才能求出唯一解. 如果有更多的未知数，可借助今天学习的解题思路来类推出解法. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载类型：列简易方程解应用题【例 1】 （清华附中培训试题） （难度系数：）解下列方程：（1）357xx（2）452xx（3）12(3)7xx（4）132(23)5(2)xx（5）5118()2352xx（6）1123xx（7）527xyxy（8）2311329xyxy分析：（1）375,22,21.1xxxxx移项得：注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；化简得：等式两边同时除以可得：把代入原式满足等式 .以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生答案要检验. （2）2541 .xxx，（3）1 627 7730.xxxx，（4）134652 194719 7 41234.xxxxxxxx， - =，（5）51115410410 1104()410.35236333333xxxxxxxxxx，（6）3126 33263.xxxxx（）-，请教师强调学生在解答时要注意：移项变号、同类放在等式一边、（4）中去括号时每一项都要发生相应变化、（6）中每一项都同时扩大6 倍、 （5）中可以先简化运算的一定要先化简。（7）法 1：加减消元法（8）512722121323xyxyxyxy （ ）（ ）（ ）式- （ ）式可得：，代入（ ）式可得：，所以23111329212153,1 .13xyxyyyxxy （ ） （ ）（ ） 3-（ ） 2可得： 5，将其代入（ 1）式可得：所以可得：法 2：代入法 . 建议教师将（ 7） 、 （8）贯穿起来，让学生深刻体会：（ 1）代入法，以及代入法在什么情况下好用；（2）加减消元法，其本质是找（制造）到一个未知数的系数相等，再利用等式加减得到结果. 【例 2】 （清华附中培训试题） （难度系数：）汽车以每小时72 公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4 秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？（声音的速度以340 米/秒计算）分析： 72 千米 /小时 =72000 米 /3600 秒=2 米/秒，设听到回音时汽车离山谷x 米，根据题意可得：3404=2x+24，解得 x=676（米） .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载【例 3】 （小数报数学竞赛初赛）（难度系数：）用绳子测井深，绳子两折时,余 60 厘米 ,绳子三折时,差 40 厘米，求绳长和井深？分析：法 1：设井深是x 厘米，则有： 2x+602=3x-40 3 ，井深 x=240（厘米），绳长 600 厘米；法 2：设绳长是y 厘米，则有：11y-60=y+40,y=60024023解得绳长（厘米），井深厘米 .【例 4】 （奥数网习题库） （难度系数：）箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3 倍多两个，每次从箱子里取出7 个白球， 15 个红球如果经过若干次以后，箱子里只剩下3 个白球， 53 个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个? 分析：设取球的次数为x 次那么原有的白球数为（3+7x） ，红球数为（ 53+15x） 再根据题中的第一个条件： 53+15x=3（ 3+7x）+2，解得 x=7，所以原有红球158 个，原有白球52 个，红球比白球多106 个此题用逆向思维较难求解，但是用方程则思路非常清晰简单【例 5】 （奥数网习题库） （难度系数：）小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？分析：设动物园有x 只猩猩，依题意有： （x+x）+（ x-x ）+xx+xx=100，即 2x+0+ x x+1=100，亦即x（ x+2）=99，又整数，只有唯一解=9【例 6】 （华杯赛复赛） （难度系数：）从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20 千米，下坡时每小时行驶35 千米。车从甲地开往乙地需9 小时，从乙地到甲地需 7.5 小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？分析：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，依题意得解得 x140，y=70，所以甲、乙两地间的公路有210 千米，从甲地到乙地须行驶140 千米的上坡路. 【例 7】 （华杯赛决赛） （难度系数：）幼儿园有三个班，甲班比乙班多4 人，乙班比丙班多4人. 老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3 个枣， 乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3 个枣，乙班比丙班总共多分了5 个枣，三个班总共分了多少个枣？分析：法1：设甲班有x 人，则乙班有（x4）人，丙班有（x8）人；甲班每人分得y 个枣，则乙班每人分得（ y+3）个，丁班每人分得（y+8）个那么有甲班共分得xy 个枣，乙班共分得(x-4)(y+3)枣，丙精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载班共分得 (x-8)(y+8)个枣8)8)(8(3)3)(4(yxxyyxxy，整理有7943yxyx，解得1219yx因此，甲班小孩19 人，每个小孩分枣12 个；乙班小孩15 人，每个小孩分枣15 个；丙班小孩11 人，每个小孩分枣20 个 1912+1515+1120673( 个) ，所以，三班共分673 个枣法 2：先看甲、丙两班，有甲班x 人比丙班x 人少分 8x 颗枣，而甲班共分得枣比丙班多8 个，所以甲班多出的 8 人共分得8x+8 颗枣，即每人分得x+1 颗枣那有94418xxxxxx丙班乙班甲班每人枣数人数再看乙、丙班，乙班x 人比丙班x 人少分 5x 颗枣，而乙班共分得的枣比丙班多5 个枣，所以乙班多出的 4 人共分得5x+x 颗枣，即每人分得(5x+5) 4 颗枣有 (5x+5) 4x+4，解得 x11因此，甲班小孩 19 人，每个小孩分枣12 个；乙班小孩15 人，每个小孩分枣15 个；丙班小孩11 人，每个小孩分枣20个 1912+1515+1120673( 个) ，所以三班共分673 个枣类型：引入参数列方程解应用题对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。【例 8】 （ 101 中学分班考试试题）（难度系数：）五年级二班数学考试的平均分数是85 分，其中32的人得 80 分以上（含80 分），他们的平均分数是90 分。求低于80 分的人的平均分。分析：设该班级有a名同学，低于 80分的人的平均分为x， 则得方程 : 21859033aaax,解得 x=75. 【例 9】 （华杯赛决赛） （难度系数：）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送， 甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班的学生开始步行，车到中途某处， 让甲班的学生下车步行，车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫，两班学生正好同时到达。已知学生步行速度为每小时4千米， 载学生时车速为每小时40 千米，空车时速度为每小时50 千米。求甲班学生应步行全程的几分之几?（学生上下车时间不计）888455xyzxyzxyz人数每人枣数共分枣数甲班乙班丙班精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载分析 ：因为每班步行和坐车的行程总和一样长，又同时出发，同时到达， 所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都相等。也就是说图上乙步行的距离b 千米和甲步行的距离a 千米相等。而根据题意我们又可以找到下列等量关系：乙班步行 b千米 ( 也就是 a 千米 ) 所用的时间等于汽车送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。然后根据等量关系列方程解答即可。设全程为x 千米，甲、乙两班分别步行a、b 千米，根据题意得：24050417xaxaaax解得：所以甲班步行了全程的17.由上例可以看出，列方程解应用题并不一定只设一个未知数，根据解题的需要，我们有时可以多设几个字母来代替数，帮助我们理清题目中复杂的数量关系，以便我们能够很快的找到解决问题的途径。【例 10】（小学奥林匹克决赛）（难度系数：）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为 10 和 12，已知梯形的上底是下底长的32。那么余下的阴影部分的面积是多少？分析：设上底为a2，那么下底为a3，则上下两个三角形的高分别为aah1022101，aah832122，梯形的高是aaahh1881021，其面积为45218)32(aaa，阴影部分面积为23121045。类型：列不定方程解应用题有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的，对于这部分内容我们是要和数论中的数的整除性问题结合起来。但注意到题目对解的要求，有时只需要其中一些或个别解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载【例 11】（奥数网习题库） （难度系数：）有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8 千克油，小的能装 5 千克油， 44 千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？分析：设有大油桶x 个，小油桶y 个。由题意8x+5y=44 ，知 8x44，所以 x0、1、2、3、4、5。相应的将 x 的所有可能值代入方程，可得x3 时，y=4 . 此题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5 整除的数的特点，便可轻松求解. 【例 12】（迎春杯预赛 试题） （难度系数：）小华和小强各用6 角 4 分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5 分一支和7 分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多小华比小强多买来铅笔支分析： 设买 5 分一支的铅笔支，7 分一支的铅笔n 支。则 ：5+7=64， 64 7n 是 5 的倍数用n=0，1，2，3，4，5，6，7，8 代入检验，只有n=2， 7满足这一要求，得出相应的=10，3即小华买铅笔 lO+212 支，小强买铅笔7+3=10 支，小华比小强多买2 支【例 13】（奥数网习题库）（难度系数：）小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9 分，套中小猴得 5 分，套中小狗得2 分。小明共套了10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得 61 分。问：小明至多套中小鸡几次？分析：设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，则套中小狗（10-x-y ）次。根据得 61 分可列方程：9x+5y+2（10-x-y ）=61，化简后得7x=413y。显然 y 越小， x 越大。将y=1 代入得 7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得 x=5，所以小明至多套中小鸡5 次 . 附加题目【附 1】 （101 测试题）（难度系数：）甲、乙、丙、丁四人共做零件270 个。如果甲多做10 个，乙少做 10 个，丙的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个？分析 :设四人做的零件数恰好都为x，根据题意可得：（x-10）+（x+10） +（x2）+（x2）=270 ，解得 x=60 ，丙实际做了602=30（个）.【附 2】 （迎春杯刊赛） （难度系数：）有甲乙丙三个人，当甲的年龄是乙的2 倍时；丙是22 岁，当乙的年龄是丙的2 倍，甲是31 岁；当甲60 岁时，丙是多少岁? 分析：设丙22 岁时，乙的年龄是x 岁，当时甲的年龄就是2x 岁那么甲是3l 岁时，乙是 (31-x)岁，丙是22+（31-2x） =53-2x 岁，且有： 31-x=2 （53-2x） ，解得 x=25，所以乙25 岁时，甲50 岁，丙 22 岁那么甲 60 岁时，丙32 岁利用方程解年龄问题设定乙的年龄之后，我们可以把各个时期甲、乙、丙的年龄都用含有x 的式子表达出来，继而很方便地建立等量关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载【附 3】 （奥数网习题库） （难度系数：）有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8 个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6 个给丙堆，乙、丙两堆石子个数就也相等了；此时又从丙堆中取 2 个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍，问：原来甲堆有多少个石子? 分析： 设甲堆原来有x 个石子， 那么甲堆取出8 个给乙后， 甲乙两堆都是 (x-8) 个石子； 然后乙取6 个给丙，乙丙的石子数都变成了x-8-6=x-14 ；再从丙堆取2 个给甲堆，那么甲堆变为x-8+2=x-6 ，丙堆变为x-14-2=x-16 ，此时有关系：x-6=2（ x-16） ，解得 x=26题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x 的式子表示出来，最后建立等量关系. 【附 4】 （人大附中分班考试试题）（难度系数：）如右图，沿着边长为90 米的正方形，按逆时针方向，甲从A 出发，每分钟走65 米，乙从 B 出发，每分钟走72 米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。设追上甲时乙走了x 分。依题意，甲在乙前方390=270（米） ，故有 72x65x+270.解得： x=2707，在这段时间内乙走了：2701722777()77米，由于正方形边长为90 米，共四条边，故由111277730907747 290 77777（+ ）+，可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA 边上 . 【附 5】（第十一届迎春杯决赛）（难度系数：）小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前1/3 时间乘车，后2/3 时间步行结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多2 小时已知小明步行每小时行5 千米，乘车每小时行15 千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米?分析：设小明家到奶奶家的路程为x 千米，而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是y 小时，那么根据题意有：11xx22y251512x=y 15y533x=150y=18.解得，用方程解题关键在于未知数设定的合理性，解答中的一个路程未知数，一个时间未知数，恰好能够把题目中的所有关系都利用到【附 6】 （奥数网习题库） （难度系数：）有甲、乙、丙、丁4 个人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，21 和 17，这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是多少？分析：设甲、乙、丙、丁4 个人的年龄分别为a、b、c、d，那么有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载29323321317345(1)31a 12b 9c 3d 2121 3 18abcdbcdaacdbabdcabcd把四个式子加起来得到：再将上面方程组里面的每个式子后与（ ）式相减分别得到：=， = ， = ， =，所以年龄最大与最小的差值为- =（岁）【附 7】 （首师大附入学测试题）（难度系数：）某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4 分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6 分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4 分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6 分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6 分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。设汽车站每隔x 分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得：122212124()4,5x 4.6()5VVV XVVVVV X可得，进而可得=【附 8】 （北大附中培训试题） （难度系数：）小萌在邮局寄了3 种信，平信每封8 分，航空信每封1 角，挂号信每封2 角，她共用了1 元 2 角 2 分。那么小萌寄的这3 种信的总和最少是多少封？分析：平信每封8 分，航空信分封1 角=10 分，挂号信每封2 角=20 分。共用了1 元 2 角 2 分=122 分。设小萌发了平信X 封，航空信Y 封，挂号信Z 封。得方程： 8X+10Y+20Z=122 ，要使这3 种信的总和最少，则挂号信应最多；再则航空信也尽可能多。因总钱数的个位是2，则平信最少是4 封。 84=32 分。其余信的总钱数为122-32=90 分。 90/20=4 10。则挂号信4 封，航空信10/10=1 封。 4+4+1=9 封。【附 9】 （迎春杯决赛 试题） （难度系数：）某校师生为贫困地区捐款1995 元这个学校共有35 名教师， 14 个教学班各班学生人数相同且多于30 人不超过 45 人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐 款多少 元？分析： 设每班有a(30 a45) 名学生，每人平均捐款x 元(x 是整数 ) ，依题意有 ：x(14a+35)=1995 于是14a+35|1995 又 3l a45，所以 469 14a+35665，而 1995=35719，在 469 与 665 之间它的约数仅有 665，故 14a+35=665，x=3， 平均每人捐款3 元【附 10】 （奥数网习题库） （难度系数：）甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18 的倍数，乙搬的砖数是 23 的倍数，两人共搬了300 块砖。问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载分析：设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块，那么18x+23y=300 ，观察发现18x 和 300 都是 6 的倍数，所以 y 也是 6 的倍数， y=6 时 18x=162 x=9， y=12 时 18x=24 x=4/3 矛盾，所以甲搬了162 块，乙搬了138块，甲比乙多24 块。练习十请你用方程法解答下列问题！1一个数的4 倍加上 3 乘以 0.7 的积，和是216，则这个数是多少？分析：方程法，设这个数为x， 4x+30.7 216，x1.1 2某校有学生465 人，其中女生的23比男生的45少 20 人，那么男生比女生少多少人? 分析：设女生为x 人，那么男生为（465-x）人，根据题意有：24(465)2035xx，解得 x=240，所以女生有 240 人，男生有225 人，男生比女生少15 人3某班原分成两个小组活动，第一组26 人，第二组22 人，根据学校活动器材的数量，要将一组人数调整为二组人数的一半，应从一组调多少人到二组去？分析：设应从第一组调x 人到第二组去，根据题意可得：26-x= （26+22） 3 ，解得 x=10 . 4 现有一笔钱，都是硬币。其中2 分硬币比5 分硬币多 24 个。按钱数算，5 分的钱数比2 分的钱数多3角，还有53 个 1 分硬币，这笔钱一共有多少分？分析：设5 分硬币有x个，则2 分硬币有（ 24+x）个，依据5 分的钱数 =2 分的钱数 +3 角，可得方程30)24(25xx，解得26x，则 2 分英镑有 24+26=50 个，共有5 26+2 50+1 53=283 （分）。5甲、乙、丙共有100 本课外书甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数也都是 1乙有书 _本分析： 设乙有课外书X 本，依题意甲有课外书(5X+1) 本，丙有课外书5(5x+1)+1=25x+6( 本 ) ，于是有(5x+1)+X+(25x+6)=100，即 3lx=93 解得， X=3，于是乙有课外书3本精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载6如图，已知CD=5 ，DE=7 ，EF=15，FG=6直线 AB,将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是 65那么三角形ADG面积是多少 ?分析：不妨设ADE 的面积 =a ，因为 DE：EG = 7： （15+6）=1：3，所以AGE 的面积 =3a ；不妨设 CEB 的面积 =4b ，因为CE ：EF = （5+7） ：15 =4：5 ，所以BEF的面积 =5b ；根据题意可得：a+4b=38 ，3a+ 5b=65，解得： a=10 ， b=7 ；那么三角形ADG 面积 =ADE+AGE=4a=40 。7设 A和 B都是自然数，并且满足：11A+3B=3317，那么， A+B= 。分析： 把等式的左边通分，比较左右两边的分子，得3A+11B=17 。故 B=1，A=2，A+B=3 年薪 40 万的面试题小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M 月 N 日， 2 人都不知道张老师的生日是下列10 组中的哪一天，张老师把M 值告诉了小明，把N 值告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是哪一天吗？3 月 4 日、 3 月 5 日 、 3 月 8 日 、6 月 4 日、 6 月 7 日 、9 月 1 日 、9 月 5 日 、12 月 1 日 、12 月2 日、12 月 8 日 ；小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了小明说：哦，那我也知道了请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天？答案： 9 月 1 日精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页