第4 4课时几何计算问题1.复习巩固正弦定理、余弦定理.2.能用正弦定理、余弦定理计算三角形的面积等.1.正弦定理 A.1B.2C.4D.无法确定答案:A2.余弦定理 【做一做2】边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是().A.90 B.120C.135D.150答案:B3.几何计算问题在ABC中,边BC,CA,AB上的高分别记为ha,hb,hc,则(1)ha=bsin C=csin B;(2)hb=csin A=asin C;(3)hc=asin B=bsin A;知识拓展三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外,常见的公式还有:(1)P=a+b+c(P为三角形的周长);(2)A+B+C=;(5)S=2R2sin Asin Bsin C(R是三角形外接圆的半径); 【做一做3】在ABC中,a=4,b=2,C=45,则ABC的面积S=.1.三角形中的常用结论剖析在ABC中,边、角之间的关系有以下常用结论:(1)a+bc,b+ca,c+ab.(2)a-bc,b-ca,a-cbABsin Asin B.(5)a=bA=B.(6)A为锐角cos A0a2b2+c2;A为钝角cos Ab2+c2;A为直角cos A=0a2=b2+c2.(7)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.2.解三角形剖析解三角形有四种情况,如下表所示:题型一题型二题型三题型四求三角形的面积【例1】在ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S.(1)已知a=3 cm,c=4 cm,B=30;(2)已知A=75,C=45,b=4 cm.(2)要求三角形的面积,需知道三角形的两边及其夹角.题型一题型二题型三题型四反思求三角形的面积,常结合正弦定理、余弦定理,只要求得三角形中的两边及其夹角即可求出面积.在三角形中,当涉及两边的和、两边的积或两边的平方和或三角形的面积时,常用余弦定理解答.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】设ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且(1)当A=30时,求a的值;(2)当ABC的面积为3时,求a+c的值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四三角形中的计算问题【例2】在ABC中,若c=4,b=7,BC边上的中线AD的长为 ,求边长a.分析可设CD=DB=x,则a=2x,在ACD和ACB中,ACB是公共角,使用两次余弦定理,便可求出x.题型一题型二题型三题型四解AD是BC边上的中线,可设CD=DB=x,则CB=a=2x.题型一题型二题型三题型四反思1.有关长度问题,要有方程意识.设未知数,列方程求解是经常用到的方法.列方程时,要注意一些隐含关系的应用.2.要灵活运用正、余弦定理及三角形面积公式.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=5,AC=9,BCA=30,ADB=45,求BD的长.解在ABC中,AB=5,AC=9,BCA=30.题型一题型二题型三题型四三角形的综合问题【例3】在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知c=2,C(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求ABC的面积.分析(1)利用余弦定理和面积公式列关于a,b的方程组求解;(2)先利用正弦定理得a与b的关系,再利用余弦定理得a与b的另一个关系,列方程组求解a,b,进而求面积.题型一题型二题型三题型四解(1)由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4.解得a=2,b=2.题型一题型二题型三题型四(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,即sin Bcos A=2sin Acos A.当cos A0时,得sin B=2sin A,由正弦定理得b=2a.反思解决三角形的综合问题,除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外,一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识.因此,掌握正、余弦定理、三角函数的公式和性质是解题的关键.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为ABC的面积,满足(1)求角C的大小;(2)求sin A+sin B的最大值.题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:忽视三角形中角的取值范围致错【例4】在ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,ABC的面积为S,若a=4,b=5,S=题型一题型二题型三题型四C=60或C=120.当C=60时,c2=a2+b2-ab=21;当C=120时,c2=a2+b2+ab=61.