4.5 4.5 三角形的中位三角形的中位线线DAB CE 五一放假的时候，小许去乡下老家玩，发现村五一放假的时候，小许去乡下老家玩，发现村头有一大水塘，于是小许拿一根皮尺去测量这水塘头有一大水塘，于是小许拿一根皮尺去测量这水塘两端点两端点AB之间的距离可当他将皮尺的一端系在之间的距离可当他将皮尺的一端系在A处时发现皮尺短了，拉不到处时发现皮尺短了，拉不到B处，怎样才能既测出处，怎样才能既测出AB间的距离又快捷方便呢？小许没辙了，聪明的你间的距离又快捷方便呢？小许没辙了，聪明的你有办法解小明的难题吗？有办法解小明的难题吗？情景引入情景引入 任意画一个任意画一个ABC,然后分别取然后分别取AB,AC的中点的中点D,E，连接，连接DE合作学习合作学习ABCDEDE是三角形ABC的中位线思考：什么叫做三角形的中位线呢？ABCDEDE是三角形ABC的中位线中位线 什么叫三什么叫三什么叫三什么叫三角形的中位角形的中位角形的中位角形的中位线呢？线呢？线呢？线呢？连结三角形两边中点的线段连结三角形两边中点的线段叫叫三角形的中位线三角形的中位线三角形有三角形有三条三条中位线中位线因为因为D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点的中点三角形的三角形的中位线中位线和三角形的和三角形的中线中线不同不同同理同理DFDF、EFEF也为也为ABCABC的中位线的中位线EDFACB所以所以 DEDE为为 ABCABC的中位线的中位线 注意注意获取新知获取新知EDACB探索新知探索新知观察、测量你所画的中位线观察、测量你所画的中位线DE，猜想中位线，猜想中位线DE与与BC有什么关有什么关系？系？数量上数量上：位置上：位置上：DE= BCDE BC已知：如图，已知：如图，D、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC的中点的中点.求证：求证：DEBC，CEDBA猜想结论猜想结论温馨提示：位置上？数量上？温馨提示：位置上？数量上？ 三角形的中位线平行于第三边，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半并且等于第三边的一半. .（或（或 ）CEDFBA你还能不同你还能不同你还能不同你还能不同的方法加以的方法加以的方法加以的方法加以证明吗证明吗证明吗证明吗? ?证证明：明：如如图图，以点，以点E为为旋旋转转中心，把中心，把ADE绕绕点点E， ，按按顺时针顺时针方向旋方向旋转转180，得到，得到CFE， ，则D， ，E， ，F同在一直同在一直线上上DE=EF， ，且且ADE CFE。 。ADE=F，AD=CF，ABCF。又又BD=AD=CF，四边形四边形BCFD是平行四边形（一组对边平是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），行且相等的四边形是平行四边形），DFBC（根据什么？），（根据什么？）， CEDFBA过过点点C作作AB的的平平行行线线交交DE的的延延长长线于线于F AD=FC又又DB=AD，DB FC 四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形 CF AB，A= ECF又又AE=EC，AED= CEF ADECFE ABCEDF如图，延长如图，延长DE至至F,使使EF=DE连接连接CD、AF、CFAE=EC DE=EF四边形四边形ADCF是是 平行四边形平行四边形A AC CED DF FG GB B证法四：如图，过证法四：如图，过E作作AB的平行线交的平行线交BC于于F，自，自A作作BC的平行线交的平行线交FE于于GAGBCEAG=ECF 又又 AE=EC, AEG=CEFAEGCEFAG=FC，GE=EF又又ABGF，AGBF四边形四边形ABFG是平行四边形是平行四边形BF=AG=FC，AB=GF又又D为为AB中点，中点，E为为GF中点，中点，DB EF四边形四边形DBFE是平行四边形是平行四边形DEBF，即，即DEBC，DE=BF=FC即即DE=1/2BC返回DAB CE 五一放假的时候，小许去乡下老家玩，发现村五一放假的时候，小许去乡下老家玩，发现村头有一大水塘，于是小许拿一根皮尺去测量这水塘头有一大水塘，于是小许拿一根皮尺去测量这水塘两端点两端点AB之间的距离可当他将皮尺的一端系在之间的距离可当他将皮尺的一端系在A处时发现皮尺短了，拉不到处时发现皮尺短了，拉不到B处，怎样才能既测出处，怎样才能既测出AB间的距离又快捷方便呢？小许没辙了，聪明的你间的距离又快捷方便呢？小许没辙了，聪明的你有办法解小明的难题吗？有办法解小明的难题吗？回归情境回归情境例题讲解例题讲解已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，中，E、F、G、 H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点的中点.求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.ABCDEFGH分析分析分析分析 ： 由由由由E,F,G,HE,F,G,HE,F,G,HE,F,G,H分别是四边形分别是四边形分别是四边形分别是四边形ABCDABCDABCDABCD各各各各边的中点边的中点边的中点边的中点, , , ,联想到应用联想到应用联想到应用联想到应用三角形的中位线三角形的中位线三角形的中位线三角形的中位线 定理定理定理定理来证明来证明来证明来证明. . . .证明证明: 连结连结AC. EF是是ABC的中位线的中位线,EF AC (三角形的中位线平行于三角形的中位线平行于第三边第三边,并且等于张三边的一半并且等于张三边的一半) = 四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形 (一组对边平行并且一组对边平行并且相等的四边形是增行四边形相等的四边形是增行四边形). = EF HGABCDEFGH 已知已知: : 如图如图,DE,EF,DE,EF是是ABCABC的两条中位线的两条中位线. . DBCFEA求证求证: :四边形四边形BFEDBFED是平行四边形是平行四边形. .分析分析分析分析 ：两组对边分别：两组对边分别：两组对边分别：两组对边分别平行的四边形是平行平行的四边形是平行平行的四边形是平行平行的四边形是平行四边形四边形四边形四边形. . . .巩固练习巩固练习课堂小结课堂小结1.连结三角形两边中点的线段叫连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形的中位线2.2.三角形的中位线平行于第三边，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半并且等于第三边的一半. .