精品资料欢迎下载函数综合应用题一、题目分析及题目对学生的要求： 1、求解析式：要求学生能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围；(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。2、求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求学生能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。 3、 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x 的取值范围。备选思路一：先将不等号看做等号， 求出 x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。二、函数应用题的分类：、文字题建模型：这是常规应用题，方法是所有的已知条件直接给出，从题目中可以一目了然的得到数量，根据数量关系构造函数解析式。1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为 130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5 元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2） 降价后，商家要使每星期的销售利润最大， 应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？2、某商场将进价为2000元的冰箱以 2400元售出，平均每天能售出8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施. 调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4 台（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页精品资料欢迎下载应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？3、张大爷要围成一个矩形花圃 花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32 米的篱笆恰好围成围成的花圃是如图所示的矩形ABCD 设 AB边的长为 x 米矩形 ABCD 的面积为 S平方米（1）求 S与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）（2）当 x 为何值时， S有最大值？并求出最大值（参考公式：二次函数2yaxbxc（0a） ，当2bxa时，244acbya最大 ( 小 )值) 4、某商场试销一种成本为每件60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45% ，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x（元）符合一次函数ykxb，且65x时，55y；75x时，45y（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500 元，试确定销售单价x的范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页精品资料欢迎下载4、某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件 20 元，并且每周（7 天）涨价 2 元，从第 6 周开始，保持每件 30元的稳定价格销售，直到 11 周结束，该童装不再销售。（1）请建立销售价格y（元）与周次 x 之间的函数关系；（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x 之间的关系为12)8(812xz， 1 x 11，且 x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？、表格型应用题：题目中除了文字还出现了表格，故分析数量关系时既要对文字中的数量关系进行理解，还要对表格中的数量进行分析，从而解决问题。1、茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：出厂价成本价排污处理费甲种塑料2100（元/ 吨）800（元/ 吨）200（元/ 吨）乙种塑料2400（元/ 吨） 1100（元/ 吨）100（元/ 吨）每月还需支付设备管理、维护费 20000 元（1）设该车间每月生产甲、 乙两种塑料各x吨，利润分别为1y元和2y元，分别求1y和2y与x的函数关系式（注：利润=总收入 - 总支出） ；（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700 吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？价目品种精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页精品资料欢迎下载2、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x 之间满足函数关系502600yx，去年的月销售量p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份1 月5 月销售量3.9 万台4.3 万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m，且每月的销售量都比去年12 月份下降了 1.5m% 国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13% 给予财政补贴受此政策的影响，今年 3 至 5 月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2 月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2 月份增加了 1.5 万台 若今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值（保留一位小数） （参考数据：345.831，355.916，376.083，386.164）3、某商场经营一批进价为2元的小商品，在市场营销中发现日销售单价x 元与日销售量 y 件有如下关系：x3 5 9 11 y18 14 6 2 （1）预测此商品日销售单价为11.5 元时的日销售量；（2）设经营此商品日销售利润（不考虑其他因素）为p元，根据销售规律，试求日销售利润p 元与销售单价 x 元之间的函数关系式，问日销售利润p 是否存在最大值或最小值？若有，试求出；若无，请说明理。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页精品资料欢迎下载4、某厂从 2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：(1) 请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；(2) 按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元预计生产成本每件比2004年降低多少万元 ?如果打算在 2005年把每件产品成本降低到3.2 万元， 则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01 万元） ? 5、小明代表班级参加校运会的铅球项目，他想： “怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚做了如下的探索：小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成30、45、60方向推了三次。铅球推出后沿抛物线形运动。如图，小明推铅球时的出手点距地面 2m，以铅球出手点所在竖直方向为y 轴、地平线为 x 轴建立直角坐标系，分别得到的有关数据如下表：年度2001 2002 2003 2004 投入技改资金 z( 万元) 2.5 3 4 4.5 产品成本， ( 万元件 ) 7.2 6 4.5 4 推铅球的方向与水平线的夹角304560铅球运行所得到的抛物线解析式y1 0.06(x 3)22.5 y2_(x4)23.6 y3 0.22(x3)24 估测铅球在最高点的坐标P1(3，2.5) P2 (4，3.6) P3(3，4) 铅球落点到小明站立处的水平距离9.5m _m 7.3m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页精品资料欢迎下载（1）请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填入表格中的横线上；（2）请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议。6、 “黄海”生化食品研究所欲将甲、乙、丙三种食物混合研制成100 千克食品，并规定研制成的混合食品中至少需要44 000 单位的维生素 A和 48 000 单位的维生素 B三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表所示：设取甲、乙、丙三种食物的质量分别为x 千克、 y 千克、 z 千克(1) 根据题意列出等式或不等式，并证明：y20 且 2xy40; (2) 若限定混合食品中要求含有甲种食物的质量为40千克， 试求此时制成的混合食品的总成本w的取值范围，并确定当w取最小值时，可取乙、丙两种食物的质量类别甲种食物乙种食物丙种食物维生素 A （单位 / 千克） 400 600 400 维生素 B （单位 / 千克） 800 200 400 成本（元 / 千克）9 12 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页精品资料欢迎下载、图像型应用题：此类应用题除了在文字中体现出数量关系，图形中也有数量关系，解决问题时要学会把图像中的数量关系理解成文字的数量关系，继而解决问题。 图像型应用题可分为两种：第一种，利用图形解决问题；第二种，构造适当图形解决问题。1、某跳水队员进行 10 米跳台跳水训练时， 身体（看成一点） 在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线，图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高出距水面3210米，入水处距池边的距离为4 米，同时，运动员在距水面高度为 5 米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误，(1) 求这条抛物线的解析式；(2) 在某次试跳中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米，问此次跳水会不会失误并通过计算说明理由。2、如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是 20 米，如果水位上升3米时，水面 CD的宽为 10米，（1） 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2） 现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地， 已知甲地到此桥 280千米， （桥长忽略不计） 货车以每小时 40 千米的速度开往乙地， 当行驶到 1 小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨， 造成水位以每小时0.25 米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在 CD处） ，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能， 请说明理由； 若不能，要使货车安全通过此桥， 速度应超过多少千米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页精品资料欢迎下载3、如图所示，是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A 和 A1、点 B和 B1分别关于 y 轴对称，隧道拱部分BCB1为一条抛物线，最高点C离路面 AA1的距离为 8米，点 B离路面为 6 米，隧道的宽度AA1为16米； （1）求隧道拱抛物线BCB1的函数解析式；（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽度为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为 7 米，他能否通过这个隧道？请说明理由。4、某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行销和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两方面的信息（如甲、乙两图）注：甲、乙两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本月份最低；甲图的图象是线段，乙图的图象是抛物线. 请根据图象提供的信息说明，解决下列问题：在 3 月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少？哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由 . （收益=售价-成本）BB1AA1OCyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页精品资料欢迎下载5、如上图，一单杆高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。（ 1）一身高0.7m 的小孩站在离立柱0.4m 处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离，（ 2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系上一块长为0.4 米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳子正好各为2 米，木板与地面平行，求这时木板到地面的距离。（供选用数据：8 .136.3，9 .164.3，1.239.4）6、路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一，全线共有隧道37 座，共计长达742421.2米。下图是正在修建的庙垭隧道的截面，截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道 CD 总宽度为 8 米，隧道为单行线2 车道. (1).建立恰当的平面直角坐标系,并求出隧道拱抛物线的解析式; (2）在隧道拱的两侧距地面3 米高处各安装一盏路灯，在（1）的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置 ; (3) 为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有 0.5 米。现有一辆汽车， 装载货物后， 其宽度为 4 米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否通过这个隧道？请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页精品资料欢迎下载、变换型函数应用题：图形的变换伴随着几个数量的变化，如果出现一个数量变化导致另一个数量也发生变化，这就构造出函数。从而解决问题时要学会用未知数的代数式表示数量，进而解决问题。1、如图，正方形ABCD 的边长为 5cm ，RtEFG 中， G 90，FG 4cm ，EG 3cm ，且点 B、F、C、G在直线l上， EFG 由 F、C重合的位置开始，以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所表示的方向作匀速直线运动（1）当 EFG运动时，求点 E分别运动到 CD上和 AB上的时间；（2）设 x（秒）后， EFG 与正方形 ABCD 重合部分的面积为y（cm ） ，求 y 与 x 的函数关系式；（3）在下面的直角坐标系中，画出0x2 时（2）中函数的大致图象；如果以O为圆心的圆与该图象交于点P（x，98） ，与 x 轴交于点 A、B（A在 B的左侧） ，求 PAB的度数lCDABGEFxyO2121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页精品资料欢迎下载2、如图，在 ABC中， ACB=90 AC=BC=6 ，正方形 DEFG 的边长为 2 ，其一边 EF在 BC所在的直线 L 上，开始时点 F与点 C重合，让正方形DEFG 沿直线 L 向右以每秒 1 的速度作匀速运动，最后点E与点 B重合. 请直接写出该正方形运动6 秒时与 ABC重叠部分面积的大小；设运动时间为x（秒） ，运动过程中正方形DEFG 与ABC 重叠部分的面积为y（2）. 在该正方形运动6 秒后至运动停止前这段时间内，求y 与 x 之间的函数关系式；在该正方形整个运动过程中，求当x 为何值时， y=21. A C B E D G （F）L 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页精品资料欢迎下载3、有一根直尺的短边长2 ，长边长 10 ，还有一块锐角为45的直角三角形纸板，它的斜边长 12cm.如图 12，将直尺的短边 DE 放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点 D 与点 A 重合.将直尺沿 AB 方向平移 (如图 13)，设平移的长度为 xcm(0x10)，直尺和三角形纸板的重叠部分 (图中阴影部分 )的面积为 S 2. (1)当 x=0 时(如图 12)，S=_；当 x = 10 时，S =_. (2) 当 0x4 时(如图 13)，求 S 关于 x 的函数关系式；(3)当 4x10 时，求 S 关于 x 的函数关系式， 并求出 S 的最大值 (同学可在图 14、图 15 中画草图). (图 12) (D) E F C B A A B C (图 14) A B C (图 15) x F E G A B C D (图 13) 不妨用直尺和三角板做一做模拟实验，问题就容易解决了！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页精品资料欢迎下载4、课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大初三（ 1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：方案：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1） 若 ACB=90，设 AC=x 厘米，该水槽的横截面面积为y 厘米2，请你写出 y 关于 x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围），并求出当 x 取何值时， y 的值最大，最大值又是多少？方案：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图 2） 若 ABC=120，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案中的y 的最大值比较大小假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）C A B 图 1 C A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页精品资料欢迎下载5、已知：以原点O 为圆心、 5 为半径的半圆与 y 轴交于 A、G 两点， AB 与半圆相切于点A，点 B 的坐标为（3，yB） （如图 1） ；过半圆上的点 C(xC，yC)作 y 轴的垂线， 垂足为 D；RtDOC的面积等于382Cx（1）求点 C 的坐标；（2）命题“如图2，以 y 轴为对称轴的等腰梯形MNPQ 与 M1N1P1Q1的上底和下底都分别在同一条直线上， NPMQ，PQP1Q1 ，且 NPMQ设抛物线 y=a0x2h0过点 P、Q，抛物线 y=a1x2h1过点 P1、Q1，则 h0h1”是真命题请你以 Q（3，5） 、P（4，3）和 Q1（p，5） 、P1(p+1，3)为例进行验证；当图 1 中的线段 BC 在第一象限时，作线段BC 关于 y 轴对称的线段 FE，连接 BF、CE，点T 是线段 BF 上的动点（如图 3） ；设 K 是过 T、B、C 三点的抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点，求 K的纵坐标 yK的取值范围图 1 图 2 图 3BOxyOxyTFEGyxAOCBP1Q1M1N1NMQP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页精品资料欢迎下载6、四边形 OABC 是等腰梯形， OABC。在建立如图的平面直角坐标系中，A （4，0） ，B（3，2） ，点 M 从 O 点以每秒 3 个单位的速度向终点A 运动；同时点 N 从 B 点出发以每秒 1个单位的速度向终点C 运动，过点 N 作 NP 垂直于 x 轴于 P 点连结 AC 交 NP 于 Q， 连结 MQ。（1）写出 C 点的坐标；（2）若动点 N 运动 t 秒，求 Q 点的坐标（用含t 的式子表示（3）其 AMQ 的面积 S 与时间 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围。（4）当 t 取何值时， AMQ 的面积最大；当t 为何值时， AMQ 为等腰三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页