称球问题专题介绍称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。经典例题例 1 有 4 堆外表上一样的球， 每堆 4 个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重 10 克，次品球每个重11 克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4 个球，这 10 个球一起放到天平上去称，总重量比100 克多几克，第几堆就是次品球。例 2 有 27 个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。解 ：第一次：把27 个球分为三堆，每堆9 个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆 3 个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。第三次：从第二次找出的较轻的一堆3 个球中取出 2 个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。例 3 把 10 个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。解：把 10 个球分成 3 个、3 个、 3 个、1 个四组，将四组球及其重量分别用A、B、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 39 页 - - - - - - - - - C、D表示。把 A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则（1）若 A=B ，则 A、B中都是正品，再称B、C。如 B=C ，显然 D中的那个球是次品；如 BC ，则次品在 C中且次品比正品轻，再在C中取出 2 个球来称，便可得出结论。如BC，仿照 BC的情况也可得出结论。（2）若 AB，则 C、D中都是正品，再称B、C，则有 B=C ，或 BC （BC不可能，为什么？）如B=C ，则次品在 A 中且次品比正品重，再在A中取出 2 个球来称，便可得出结论；如BC，仿前也可得出结论。（3）若 AB，类似于 AB 的情况，可分析得出结论。练习有 12 个外表上一样的球，其中只有一个是次品，用天平只称三次，你能找出次品吗？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 39 页 - - - - - - - - - 循环小数循环小数一、把循环小数的小数部分化成分数的规则纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是 9，9 的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9 的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0 的个数与不循环部分的位数相同。二、分数转化成循环小数的判断方法：一个最简分数，如果分母中既含有质因数2 和 5，又含有 2 和 5 以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。一个最简分数， 如果分母中只含有2 和 5 以外的质因数， 那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：简单方程简单方程代数式 ：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或者数字。方程： 含有未知数的等式叫方程。列方程： 把两个或几个相等的代数式用等号连起来。列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。等式性质： 等式两边同时加上或减去一个数，等式不变；等式两边同时乘以或除以一个数（除0），等式不变。移项： 把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边；移项规则： 先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。加去括号规则：在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则添、去括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“”号，添、去括号，括号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“”的，都按有“ +”处理。移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。乘法分配率： a(b+c)=ab+ac 解方程步骤 ：去分母；去括号；移项；合并同类项；求解；方程组： 几个二元一次方程组成的一组方程。解方程组的步骤：消元；按一元一次方程步骤。消元的方法： 加减消元；代入消元。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：浓度与配比浓度与配比经验总结： 在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。基本公式：溶液重量=溶质重量 +溶剂重量；溶质重量 =溶液重量浓度；浓度= 100%= 100%理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。经验总结： 在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：时钟问题快慢表问题时钟问题快慢表问题基本思路：1、按照行程问题中的思维方法解题；2、不同的表当成速度不同的运动物体；3、路程的单位是分格（表一周为60 分格）；4、时间是标准表所经过的时间；5、合理利用行程问题中的比例关系；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：逻辑推理问题逻辑推理基本方法简介：条件分析假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a 是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a 一定是奇数。条件分析列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如 A和 B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。逻辑计算： 在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 39 页 - - - - - - - - - 年奥数知识讲解：综合行程问题综合行程基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系 . 基本公式：路程 =速度时间；路程时间=速度；路程速度=时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间路程差速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程=（船速 +水速）顺水时间逆水行程 =（船速 -水速）逆水时间顺水速度 =船速 +水速逆水速度 =船速 -水速静水速度 =（顺水速度 +逆水速度）2水速=（顺水速度 -逆水速度）2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：完全平方数完全平方数完全平方数特征：1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4. 约数个数为奇数；反之成立。5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式： X2-Y2=（X-Y）（ X+Y ）完全平方和公式：（X+Y ）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：分数与百分数的应用分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“ 1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“ 1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法： 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法： 为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C 、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：余数及其应用余数及其应用基本概念： 对任意自然数a、b、q、r，如果使得ab=qr，且0rm ，那么必有一个抽屉至少有: k=n/m +1个物体：当n不能被 m整除时。k=n/m 个物体：当n能被 m整除时。理解知识点： X 表示不超过 X 的最大整数。例4.351=4 ；0.321=0 ；2.9999=2 ；关键问题： 构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：平均数问题平均数基本公式：平均数=总数量总份数总数量 =平均数总份数总份数 =总数量平均数平均数 =基准数每一个数与基准数差的和总份数基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算. 基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：盈亏问题盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同， 造成结果的差异， 由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量基本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：植树问题总结植树问题基本类型：在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式：棵数=段数 1 棵距段数 =总长棵数=段数 1 棵距段数 =总长棵数=段数棵距段数 =总长关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：年龄问题的三大特征年龄问题： 已知两人的年龄， 求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键。例：父亲今年54 岁，儿子今年18 岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7 倍？ 父子年龄的差是多少？54 18 = 36 （岁） 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍？7 - 1 = 6 几年前儿子多少岁？366 = 6 （岁） 几年前父亲年龄是儿子年龄的7 倍？18 6 = 12 (年) 答：12 年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年级奥数专题讲解：利润与折扣 专题介绍 工厂和商店有时减价出售商品，通常我们把它称为“打折扣”出售，几折就是百分之几十。利润问题也是一种常见的百分数应用题，商店出售商品总是期望获得利润，一般情况下，商品从厂家购进的价格称为本价，商家在成本价的基础上提高价格出售，所赚的钱称为利润，利润与成本的百分比称之为利润率。期望利润=成本价期望利润率。 经典例题 例 1、某商店将某种DVD按进价提高35% 后，打出“九折优惠酬宾，外送50 元出租车费”的广告，结果每台仍旧获利208 元，那么每台DVD的进价是多少元？（B级）解： 定价是进价的1+35% 打九折后，实际售价是进价的135% 90%=121.5%每台 DVD的实际盈利： 208+50=258（元）每台 DVD的进价 258（ 121.5%-1）=1200（元）答：每台 DVD的进价是 1200 元例 2：一种服装，甲店比乙店的进货便宜10% 甲店按照 20% 的利润定价，乙店按照15% 的利润定价， 甲店比乙店的出厂价便宜11.2 元，问甲店的进货价是多少元？ （B级）分析：解：设乙店的成本价为1 （1+15% ）是乙店的定价名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 39 页 - - - - - - - - - （1-10%）（ 1+20% ）是甲店的定价（1+15% ）- （1-10%）（ 1+20% ）=7% 11.27%=160 （元）160（ 1-10%）=144（元）答：甲店的进货价为144 元。例 3、原来将一批水果按100% 的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得不按 38% 的利润重新定价，这样出售了其中的40% ，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果。结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？（B级）分析：要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几，则需要求出第二次是按百分之几的利润定价。解：设第二次降价是按x% 的利润定价的。38% 40% x% （ 1-40%）=30.2% X%=25% （1+25% ）（ 1+100% ）=62.5% 答：第二次降价后的价格是原来价格的62.5% 练习 ：1、某商品按每个7 元的利润卖出13 个的钱，与按每个11 元的利润卖出12 个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 39 页 - - - - - - - - - 2、租用仓库堆放3 吨货物，每月租金7000 元。这些货物原计划要销售3 个月，由于降低了价格，结果2 个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了1000 元。问：每千克货物的价格降低了多少元？3、张先生向商店订购了每件定价100 元的某种商品80 件。张先生对商店经理说：“如果你肯减价， 那么每减价 1 元，我就多订购4 件。”商店经理算了一下， 若减价 5，则由于张先生多订购， 获得的利润反而比原来多100 元。 问：这种商品的成本是多少元？4、某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20 元。从产地到商店的距离是 400 千米，运费为每吨货物每运1 千米收 1.50 元。如果在运输及销售过程中的损耗是 10，商店要想实现25的利润率，零售价应是每千克多少元？5、小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价2 元 3 个，白球原价3 元 5个。新年优惠，两种球都按1 元 2 个卖，结果小明少花了8 元钱。问：小明共买了多少个球？6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40 万元，每年需付利息5 万元。甲种贷款年利率为 12，乙种贷款年利率为14。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？7、商店进了一批钢笔，用零售价10 元卖出 20 支与用零售价11 元卖出 15 支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元？8、某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80。妈妈第一天买了2个，第二天买了3 个，第三天买了5 个，共花了 38 元。若这 10 个蜜瓜都在第三天买，则能少花多少钱？9、商店以每双13 元购进一批凉鞋，售价为14.8 元，卖到还剩5 双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利88 元。问：这批凉鞋共多少双？10、体育用品商店用3000 元购进 50 个足球和 40 个篮球。 零售时足球加价9，篮球加价 11，全部卖出后获利润298 元。问：每个足球和篮球的进价是多少元？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：不定方程不定方程一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规方法： 观察法、试验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知识点： 列方程、数的整除、大小比较；解不定方程的步骤：1、列方程； 2、消元； 3、写出表达式；4、确定范围； 5、确定特征； 6、确定答案；技巧总结： A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉范围大的未知数；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：经济问题经济问题利润的百分数 =（卖价 - 成本）成本 100% ；卖价=成本（ 1+利润的百分数）；成本=卖价（ 1+利润的百分数）；商品的定价按照期望的利润来确定；定价=成本（ 1+期望利润的百分数）；本金：储蓄的金额；利率：利息和本金的比；利息=本金利率期数；含税价格 =不含税价格（1+增值税税率）；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：时钟问题钟面追及时钟问题钟面追及基本思路： 封闭曲线上的追及问题。关键问题 ：确定分针与时针的初始位置；确定分针与时针的路程差；基本方法：分格方法：时钟的钟面圆周被均匀分成60 小格，每小格我们称为1 分格。分针每小时走60 分格，即一周；而时针只走5 分格，故分针每分钟走1 分格，时针每分钟走 1 12 分格。度数方法：从角度观点看， 钟面圆周一周是360，分针每分钟转360/60 度，即 6，时针每分钟转 360/12*60 度，即 1/2 度。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：几何面积几何面积基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。常用方法：1. 连辅助线方法2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。4. 利用特殊规律等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4 等于等腰直角三角形的面积）梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。圆的面积占外接正方形面积的78.5%。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：工程问题工程问题基本公式：工作总量 =工作效率工作时间工作效率 =工作总量工作时间工作时间 =工作总量工作效率基本思路：假设工作总量为“ 1”（和总工作量无关）；假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间. 关键问题： 确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。经验简评： 合久必分，分久必合。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：比和比例比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性质：两个外项积等于两个内项积( 交叉相乘 )，ad=bc。正比例：若 A 扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A 与 B成正比。反比例：若 A 扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A 与 B成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：分数大小的比较分数大小的比较基本方法：通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法： 当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1 进行比较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0 比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：余数问题余数、同余与周期一、同余的定义：若两个整数a、b 除以 m的余数相同，则称a、b 对于模 m同余。已知三个整数a、b、m ，如果 m|a-b ，就称 a、b 对于模 m同余，记作 ab(modm)，读作 a 同余于 b 模 m 。二、同余的性质：自身性： aa(mod m)；对称性：若ab(mod m) ，则 ba(mod m) ；传递性：若ab(mod m) ，bc(mod m) ，则 a c(mod m)；和差性：若 ab(mod m)，cd(mod m)，则 a+cb+d(mod m)，a-cb -d(mod m) ；相乘性：若a b(mod m)，cd(mod m) ，则 ac b d(mod m)；乘方性：若ab(mod m) ，则 anbn(mod m) ；同倍性 : 若 a b(mod m) ，整数c，则 ac b c(modm c) ；三、关于乘方的预备知识：若 A=a b，则 MA=Mab=（ Ma ）b 若 B=c+d则 MB=Mc+d=McMd四、被 3、9、11 除后的余数特征：一个自然数M ，n 表示 M的各个数位上数字的和，则M n(mod 9) 或（ mod 3）；一个自然数M ，X表示 M的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M的各个偶数数位上数字的和，则M Y -X 或 M 11- （X-Y）(mod 11) ；五、费尔马小定理：如果 p 是质数（素数）， a 是自然数，且a 不能被 p 整除，则 ap-11(mod p) 。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 31 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a 。2、常用符号：整除符号“ | ”，不能整除符号“ ”；因为符号“”，所以的符号“”；二、整除判断方法：1. 能被 2、5 整除：末位上的数字能被2、5 整除。2. 能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被4、25 整除。 3. 能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被8、125 整除。4. 能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被3、9 整除。5. 能被 7 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2 倍后能被 7 整除。6. 能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11 整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11 整除。7. 能被 13 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9 倍后能被 13 整除。三、整除的性质：1. 如果 a、b 能被 c 整除，那么（ a+b）与（ a-b ）也能被 c 整除。2. 如果 a 能被 b 整除， c 是整数，那么a 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么a 也能被 c 整除。4. 如果 a 能被 b、c 整除，那么a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 32 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：质数与合数质数与合数质数：一个数除了1 和它本身之外， 没有别的约数， 这个数叫做质数， 也叫做素数。合数：一个数除了1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N= ，其中 a1、a2、a3an 都是合数 N的质因数，且 a1a2a3 an。求约数个数的公式： P=(r1+1) (r2+1) (r3+1) (rn+1)互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 33 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：二进制及其应用二进制及其应用十进制： 用 09 十个数字表示，逢10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的 2 表示 20，百位上的2表示 200。所以234=200+30+4=2 102+310+4。=An 10n-1+An- 110n-2+An- 210n-3+An- 310n-4+An- 410n-5+An- 610n-7+A3 102+A2 101+A1 100注意： N0=； N =N（其中 N是任意自然数）二进制： 用 01 两个数字表示，逢2 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义。（2）= An2n -1+An- 12n-2+An- 22n-3+An- 32n-4+An- 42n-5+An- 62n-7 +A3 22+A2 21+A1 20注意： An 不是 0 就是 1。十进制化成二进制：根据二进制满2 进 1 的特点，用 2 连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2 的 n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 34 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：定义新运算定义新运算基本概念 ：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路 ： 严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入， 转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题 ：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项 ：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 35 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：周期循环数周期循环与数表规律周期现象 ：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期： 我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题 ：确定循环周期。闰年： 一年有 366 天；年份能被 4 整除；如果年份能被100 整除，则年份必须能被400 整除；平年：一年有 365 天。年份不能被4 整除；如果年份能被100 整除，但不能被400 整除；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 36 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：牛吃草问题牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量 =（较长时间长时间牛头数- 较短时间短时间牛头数）（长时间- 短时间）；总草量 =较长时间长时间牛头数- 较长时间生长量；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 37 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题基本概念： 鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式 ：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题： 找出总量的差与单位量的差。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 38 页，共 39 页 - - - - - - - - - 六年奥数知识讲解：归一问题特点归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个 “单一量” ，题目一般用 “照这样的速度” 等词语来表示。关键问题： 根据题目中的条件确定并求出单一量；复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。由上所述， 解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中 “照这样计算” 、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 39 页，共 39 页 - - - - - - - - -