学习必备欢迎下载抽屉原理知识要点1. 抽屉原理的一般表述(1) 假设有 3 个苹果放入2 个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2 个苹果。它的一般表述为：第一抽屉原理：(mn1)个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m1)个物体。(2) 若把 3 个苹果放入4 个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为：第二抽屉原理：(mn1)个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m1)个物体。2. 构造抽屉的方法常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。例 1 自制的一副玩具牌共计52 张( 含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1 点， 2点， 13点牌各一张 ) ，洗好后背面朝上放。一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有2 张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3 张牌的点数是相邻的( 不计颜色 ) ，那么至少要取张牌。点拨对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了113 点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。点拨对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13 各 4 张，此时再取一张，这张牌的点数是3，6，9， 12 中的一张，在已抽取的牌中必有3 张的点数相邻。解(1)13 2 127( 张) (2)9 4 137( 张) 例 2 证明： 37 人中， (1) 至少有 4 人属相相同；(2) 要保证有5 人属相相同，但不保证有6 人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？点拨可以把 12 个属相看做12 个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。解 (1)因为 3712 3 1，所以，根据第一抽屉原理，至少有314( 人) 属相相同。(2) 要保证有5 人的属相相同的最少人数为412 149(人 ) 不保证有6 人属相相同的最多人数为512 60( 人) 所以，总人数应在49 人到 60 人的范围内。例 3 有一副扑克牌共54 张，问：至少摸出多少张才能保证：(1) 其中有 4 张花色相同？ (2) 四种花色都有？点拨首先我们要弄清楚一副扑克牌有2 张王牌，四种花色，每种有13 张。 (1) 按最不利原则先取出2 张为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两次4 张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3 张，再取 1 张即可达到要求。(2) 仍需按最不利原则去取牌，先是2 张王牌，接着依次把三种花色的牌全部取出 133，这时假设仍是没有四种花色，再取1 张即可。解 (1)243 115( 张) (2)2133 142( 张) 例 4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？点拨根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6 种情况：解 借球有 6 种情况，看做6 个抽屉，所以至少要来7 名学生借球，才能保证。例 5 从前面 30 个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小数的倍数？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载点拨把 1 30 这 30 个自然数分成下面15 组： 1 ，2，4，8， 16，3 ，6，12，24， 5 ，10，20 ，7 ，14，28 ，9 ，18 ，11 ，22 ，13，26 ，15 ，30 ，1 7 ，19 ，21 ，23 ，25) ，27 ，29 ，在这 15 组中，每组中的任意两个数都存在倍数关系，故可把这15 组看做 15 个抽屉，至少要取出 16 个数才能达到题目的要求。例 6 边长为 1 的正方形中，任意给定13 个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少有4 个点，以此4 点为顶点的四边形面积不超过四分之一。解：把正方形平均分成四个相同的小正方形，每个正方形的面积为四分之一。13=43+1，13 个点至少有4 个点在同一个小正方形，以此4 点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过原正方形面积的四分之一。例 7 平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明由这些线段围成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色.解 因为有六个点，每个点都要引出五条线段，据抽屉原理，任意一点引五条线段中至少有三条线段同色，不妨设是红色 ( 如图红色线段为实线，蓝色线段为虚线) ，这时三角形a2a3a4 会出现两种颜色情况(1) 若 a2a3，a3a4， a2a4 中有任意一条线段为红的，那么这条红线段与它的两个端点与a1 引出的两条线段组成一个红三角形。(2) 若 a2a3，a3a4， a2a4 中没有一条线段是红色的，则a2a3a4 为一个蓝色三角形。综上所述，无论(1) 还是 (2) ，题目结论都成立。说明：若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系，就可以解决实际问题：结果可证明6 人之间至少有3 人互相认识或不认识。1. 要在 30 米长的水泥台上放16 盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过2 米？解：两盆 30 2=15 段， 30 米中每两米为一段的有15 段， 16 盆花至少有两盆花在一段，至少两盆之间的距离不超过2 米。3. 在一个边长为1 的正三角形内随意放置10 个点，试说明其中至少有两个点之间的距离不超过1/3 。解：把边长为一的正三角形平分成9 粉，由每个三角的边长为1/3 ，必有两点在一个三角形内，则两点的距离小于1/3 。4. 用黑、红两种颜色将一个长9、宽 3 的矩形中的边长为1 的小正方形随意涂色，试证必有两列涂色情况一样。因为涂色出现八种情况：（红红红），（蓝，蓝，蓝），（红，红，蓝），（红，蓝，红），（蓝，红，红），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（红，蓝，蓝），所以九列中一定有两列是相同的。5. 从整数 1，2，3， 199，200 中任选 101 个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数。分 数 组 1,2,4,8， 16， 128 ， 3,6,12,24,48192， 5,10,20,40200， 7,14,28,56,112，9,18,36,72,144， 11,22,44,88,176， 13,26,52,104， 15,30,60,120, 99,198， 101 ，103 ， 199 共 100 个抽屉， 任选 101 个数必有两个数在一个抽屉里，即其中的一个是另一个的倍数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载6. 在 1010 方格纸的每个方格中，任意填入1、2、3、 4 四个数之一。然后分别对每个22 方格中的四个数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？1、2、3、4 填入后，四个数的和最小为4，最大为16。4-16 之间有 13 个不同的和，22 的方格在10 10 的方格中可推出81 个和， 81 13=63，故至少有6+1=7 个和。7. 从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4，试分析之。这八个连续自然数为a，a+1，a+2，a+3，a+4， a+5，a+6，a+7，分为四组 a+4 ，a ，a+5，a+1 ，a+6 ，a+2 ， a+7，a+3，取五个数必有两个数在一个抽屉中，即差为4 8. 任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为4 的倍数。七个数中必有三对奇偶性相同，即满足a1+a2=2k1,a3+a4=2k2，a5+a6=2k3。在 k1，k2，k2三个数中又至少有两个奇偶性相同，不妨设k1，k2奇偶性相同，所以k1+k2=2m ，即 a1+a2+a3+a4=4m, 2k1+2k2=4m ，所以其中必有四个数，它们的和是4 的倍数。9. 从 3，6，9 81，84 这些数中，任意选出16 个数，其中至少有两个数的和等于90，试说明之。分数组 6,84 ，9,81 ，12,78 ， 42,48 ，3 ，45 ，共 15 个抽屉，故取16 个数必有两个数在一个抽屉中，即和为90。10. 任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10 的倍数，试说明之。按余数是2 或 5 或两个余数和为10 来构造6 个抽屉： 0 ，5 ，1,9，2,8 ，3,7 ，4,6 这样 7个数必有两个数在一个抽屉里，它们的余数之和是10 或余数相同， 从而他们本身的和或差为10 的倍数。11. 能否在 10 行 10 列的方格中的每个空格处分别填上1，2， 3 这三个数，使大正方形的每行、每列及两条对角线的各个数字和互不相同？10 个数的和最小为10，最大为 30,10-30中有 21 个数。 10 行 10 列加上两条对角线共22 个和， 则必有两条线上的和相同。所以不能。12. 能否把 17 这七个数排成一圈，使任意两个相邻数的差等于2 或 3？在这 7 个数中， 1,2,6,7都不能相邻， 要把它们隔开需要4 个数，而现在只剩下3,4,5三个数， 所以不能。13. 平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝色线段连接起来。试说明这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。14. 库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少有多少人搬运才能保证有5 人搬运的球完全一样？每人搬得可能是两篮、两排、两足、两手、篮排、篮足、篮手、排足、排手、足手10 种情况。 4 10+1=41 人15. 在一个 34 平方米的长方形盘子中，任意撒入 5 个豆， 5 个豆中距离最小的两个豆的最大距离是几米？( 这时盘子的对角线长为5 米) 将长方形分成四份，如放5 豆，必有2 个豆在一个小长方形内，一个小正方形内最大的距离是2.5 米（如 AE ），故距离最小的两个点的距离最大值是2.5 米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载16. 一个 3 行 7 列的 21 个小方格的长方形，每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。证明：不论如何涂色，一定能找到一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格具有相同的颜色。第一行有7 个方格，因为涂两种颜色，根据抽屉原理二，必有一种颜色涂了4 个或 4 个以上的方格。设第一行有四个红方格，第二行是在第一行四个红方格下面的四个方格中，如果有两个红色，那么结论已成立，否则必有三个黄方格。第三行是在第二行3 个黄方格下面的3 个方格中，至少有两个方格涂一种颜色。 如涂红色就与第一行组成符合条件的长方形，如涂黄色就与第二行组成符合条件的长方形。17. 在1 ，2， n 中，任意取10 个数，使得其中有两个数的比值不小于32，且不大于23。求 n 的最大值。由于任取10 个数中有两个数在同一个抽屉里，显然最多构造9 个抽屉这9 个抽屉中的每一个抽屉都含有1，2，3， n 中的一些数，而且这些数必须满足每两个数的比值都在和之间，这9 个抽屉，是：1 ；2，3 ；4 ，5，6 ；7 ，8，9，10 ；11 ，12，16 ；17 ，18，24，25 ；26 ，27， 38，39 ；40 ， 41， 59，60 ；61 ，62， 90，91 因此， n 的最大值是9118. 从 1， 2，3，, ， 1988，1989 这些自然数中，最多可取多少个数，其中每两个数的差不等于4? 把 1,2, ,1989 这些数分成四组公差是4 的等差的数列； 1,5,9, ,1989 共 498 个数 ; 2,6,10, 1986 共 497 个数 ; 3,7,11 1987 共 497 个数 ; 4,8,12 1988 共 497 个数 ; 我们发现 :1. 四行中每一行中任意相邻两数相差为4, 不相邻两数相差不可能是4; 2.而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4, 因为如果相差为4 的话 , 两数将被归为一行, 这显然与事实矛盾; 故选符合规定的数只要在每组里每隔一个数选一个, 每行最多可选 249 个数 ; 最终 2494=996（个）19. 四个人聚会，每人各带了两件礼品，分赠给其余三个人中的两人。试证明：四个人中至少有两对，每对是互赠过礼品的。将这四个人用4 个点表示，如果两个人之间送过礼品，就在两点之间连一条线。由于每人送出2 件礼品，共有42=8 条线，由于每人礼品都分赠给2 个人，所以每两点之间至多有1+1=2 条线。四点间，每两点连一条线，一共6 条线，现在有8 条线，说明必有两点之间连了2 条线，还有另外两点( 有一点可以与前面的点相同) 之间也连了2 条线。即为所证结论。20. 一排长椅共有90 个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有几人已经就座？由于 , 他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻, 求至少有多少人, 则有人的位置如图所示 ,( “”表示已经就座的人,“ ? ”表示空位 ): ? ? . 即有人的位置占全部人数的 1/3 ，903=30 人。即原来至少有30 人已经就座。21. 把 1， 2，3， 8，9，10 任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成一个和数。试说明其中至少有一个和数不小于17。（反证）假设任意三个相邻的数之和都小于17 即小于等于16。则 10 组之和应小于等于1610=160； 10组之和即把10 个数分别加了3 次，又因为：3（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10） =165160 所以矛盾；故假设不成立，所以其中至少有一个和不小于17。22. 某人步行10 小时，走了45 千米。已知他第一小时走了5 千米，最后一小时走了3 千米，其余每小时都走了整数千米。证明在中间8 小时当中，一定存在连续的两小时，这人至少要走10 千米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载这个人在中间的8 小时内走了45- 5- 3=37(km) 假设在中间的8 个小时内他相邻2 个小时内都走9km，8 个小时内一共有7 组相邻，其中除去这8 个小时内的前后两个小时，其他6 个小时都有2 次相邻，这 8 个小时内的路程可得：79-629=36km37km 一定存在连续的两小时，这人至少走了10 千米。23. 在 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11， 12 这 12 个自然数中，任意选取8 个不同的数，其中必有两对数，每对数的差是1。构造 6 个抽屉 1,23,45,67,89,1011,12将八个不同的数放入六个抽屉，必有两对数，每对的差是1。24. 有红、黄、蓝、绿四色的小球各10 个，混合放在一个布袋里。一次摸出8个小球，其中至少有几个小球的颜色是相同的。把红黄蓝绿四个小球看成四个抽屉，一次摸出八个小球放在抽屉里，84=2，其中至少有2 个小球颜色相同。25. 数学奥林匹克竞赛，全世界52 个国家的308 名选手参加了竞赛。按组委会规定，每个国家的选手不得超过 6 名，至少有几个国家派6 名选手参赛。每个国家最多派出的运动员不超过6 人，假设52 个国家每个国家都派了5 名，则剩下308-52 5=48（名）运动员。因为每个国家派出的运动员不超过6 名，所以只好把48 名运动员平均分到 48 个国家中去，也就是说，至少有48 个国家派满了6 名运动员。26. 某中学有十位老师，每位至少与另外九位中的七位认识，我们必可从中找出几位，他们彼此认识。用 a(1),a(2),.,a(10)表示 10 个人； a(1) 不认识的至多2 人, 认识的人不少于7 个, 不妨假定a(1) 认识 a(2) ；a(1) 、a(2) 中至少有一个人不认识的人至多4 人，不妨假定a(1) 、a(2) 都认识 a(3) ；a(1) 、a(2) 、a(3) 至少有一个人不认识人的至多6 人, 不妨假定a(1) 、a(2) 、 a(3) 都认识 a(4) ；则 a(1) 、a(2) 、a(3) 、 a(4) 互相认识； 我们必可从中找出4 位，他们彼此认识。27. 袋子里有4 种不同颜色的小球，每次摸出2 个。要保证有10 次所摸出的结果是一样的，至少要摸几次。把 1种不同的结果看成1 个抽屉，至少要摸出910+1=91（次 )28. 某班有 27 名同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。在9 个横排中，至多有几排同学所戴的帽子的颜色顺序不同。每排三人，每排戴帽子的可能有8 种 ，所以 27 人排成九个横排，必有两个横排所戴帽子顺序相同，帽子颜色顺序不同的有:9-2=7排29. 在平面内有1994 条互不平行的直线。求证：一定有两条直线它们的夹角不大于1994180度。如果平面内有3 条互不平行的线，那么，要将最小的两条线的夹角为最大，就必须先让两条互相垂直，夹角为 90，然后再让另外一条线过交点，平分夹角，角度为45， 4530180度，所以我们就说：平面里有3 条互不平行的直线, 求证一定有两条直线的夹角不大于30180度，同理，可得平面里有1994 条互不平行的直线，求证一定有两条直线的夹角不大于1994180度。30. 设自然数n 具有以下性质：从前n 个自然数中任取21 个，其中必有两个数的差是5。这样的n 中最大是几？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载设计 20 个抽屉，且抽屉中两个数字之差为5：1,62,73,8 35,40 ，n 的最大值为40。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页