第五章曲线运动第五节圆周运动第六节向心加速度二. 知识要点：1. 认识匀速圆周运动的概念，理解线速度的概念，知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度；理解角速度和周期的概念，会用它们的公式进行计算。理解线速度、角速度、周期之间的关系： v=r=2rT。理解匀速圆周运动是变速运动。2. 理解速度变化量和向心加速度的概念，知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。能够运用向心加速度公式求解有关问题。3. 运用极限法理解线速度的瞬时性。掌握运用圆周运动的特点如何去分析有关问题。体会有了线速度后。为什么还要引入角速度。运用数学知识推导角速度的单位。三. 重难点解析：1. 线速度（1）定义：质点沿圆周运动通过的弧长l 与所用时间t 之比叫做线速度。它描述质点沿圆周运动的快慢。（2）大小：tlv单位： m/s （3）方向：质点在某点的线速度方向沿着圆周上该点的切线方向。2. 匀速圆周运动（1）定义：物体沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动叫匀速圆周运动。（2）因线速度方向不断发生变化，故匀速圆周运动是变速运动，这里的“匀速”是指速率不变。3. 角速度（1）定义： 在匀速圆周运动中，连接质点和圆心的半径转过的角度与所用时间的比值，就是指点的角速度。描述质点转过圆心角的快慢。匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。（2）大小：t，单位： rads 4. 周期 T、频率 f 和转速 n 定义：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用T 表示，单位为秒（s） 。做圆周运动的物体运动一秒，所转过圆周的次数叫做频率，用 f 表示，单位为赫兹 （Hz） 。1 Hz=11S。做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做转速。用 n 表示，单位为转每秒（ rs） ，或转每分（ rmin） 。周期频率和转速都是描述物体做圆周运动快慢的物理量。5. 描述圆周运动各物理量的关系（1）线速度和角速度间的关系。v= r 。（2）线速度与周期的关系。Trv2。（3）角速度与周期的关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页T2。（4）考虑频率f 则有：f2，v=2fr 。（5）而频率f 与 n 的关系为f=n。以上各物理量关系有：v= r=2 fr=2 nr。6. 两个有用的结论（1）在同一个转盘上的角速度相同。（2）同一个轮子的边缘上，线速度相同，传动中线速度相同。7. 匀速圆周运动向心加速度（1）定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心，称作向心加速度。描述线速度改变的快慢。（2）公式：rva2=2r=rT224=42n2r=42f2r= v。（3）方向：总是沿着半径指向圆心。（4）向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动。【典型例题】例 1 如图所示为录音机在工作时的示意图，轮子 1 是主动轮， 轮子 2 为从动轮， 轮 1 和轮2 就是磁带盒内的两个转盘，空带一边半径为r1=0.5 cm，满带一边半径为r2=3cm，已知主动轮转速不变，恒为nl=36rmin，试求：（1）从动轮2 的转速变化范围；（2）磁带运动的速度变化范围。解析： 本题应抓住主动轮（r1）的角速度恒定不变这一特征，再根据同一时刻两轮磁带走动的线速度相等，从磁带转动时半径的变化来求解。（1）因为 v=r ，且两轮边缘上各点的线速变相等，所以 r26022n=r16021n，即 n2=21rrn1当 r2=3cm 时，从动轮2 的转速最小，nmin=min/3635.0r=6r min.当磁带走完即r2=0.5cm，r1=3cm 时，从动轮2 的转速最大，为n2max=21rrn1=min/365.03r=216rmin，故从动轮2 的转速变化范围是6rmin216rmin。（2）由 v=r12nl得知： r1=0.5cm 时，v1=0.5 10-2 26036m/s=0.019m/s r1=3cm 时， v2=3 10-2 26036=0.113ms。故磁带运动的速度变化范围是0.0 l 9ms0.1 1 3 ms。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页例 2 一半径为 R 的雨伞绕柄以角速度匀速旋转，如图所示，伞边缘距地面高h，甩出的水滴在地面上形成一个圆，求此圆半径r 为多少 ? 解析： 雨滴飞出的速度大小为v=R，雨滴做平抛运动。在竖直方向上有h=221gt在水平方向上有S=vt 由几何关系知，雨滴半径r=22sR解以上几式得r=Rgh221点评：雨滴离开伞边缘后沿切线方向水平抛出，做平抛运动， 特别注意不是沿半径飞出，其间距关系见俯视图.。值得注意的是把立体图转化为平面图这个思想很重要，有助于我们弄清各物理量间的几何关系。例 3 一质点沿着半径r=1 m 的圆周以n=2rs 的转速匀速转动，如图。试求：（1）从 A 点开始计时，经过41s 的时间质点速度的变化；（2）质点的向心加速度的大小。解析： 求出41s 的时间连接质点的半径转过的角度是多少? 求出质点在A 点和41s 末线速度的大小和方向。 由矢量减法作出矢量三角形。 明确边角关系，解三角形求得v 的大小和方向。 根据rvan2或 an=2r 求出向心加速度的大小。答案： （ 1） v=22 m/s 方向与 OA 连线成 45o角指向圆心O（2） a=l6 2 例 4 如图所示，一个球绕中心轴线OO的角速度做匀速圆周转动，则（）A. a、 b 两点线速度相同B. a、 b 两点角速度相同精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页C. 若=30o，则 a、b 两点的速度之比va：vb=3：2 D. 若 =30o，则 a、b 两点的向心加速度之比aa：ab=3：2 解析： 由于 a、b 两点在同一球上，因此a、b 两点的角速度相同，选项B 正确 .而据v= r. 可知 vavb， 选项 A 错误 .由几何关系有ra=rb cos ， 当 =30 o时，ra=23rb， 则 va： vb=3：2，选项 C 正确，由a=2r，可知 aa：ab=ra：rb=3： 2，选项 D 正确。例 5 如图所示，定滑轮的半径r=2cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a=2m/s2做匀加速运动，在重物由静止下落距离为1 m 的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度=rads，向心加速度a= m/s2。 （滑轮质量不计）解析： 根据机械能守恒有mgh=221mv，v=2ms。显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2m/s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角速度为=rv=02.02rad/s=100rads，向心加速度为a=2r=1002 0.02m/s2=200ms2【模拟试题】1. 质点做匀速圆周运动，则（）A. 在任何相等时间里，质点的位移都相等B. 在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等C. 在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同D. 在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等2. 机械手表的分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为（）A. min6059B. 1 min C. 5960min D. 6061min 3. 如图所示的皮带传动装置中，右边两轮是连在一起同轴转动，图中三轮半径的关系为：r1=2r2，r3=1.5r1，A、B、C 三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A、B、C 三点的线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页速度之比为。角速度之比为。周期之比为。4. 如图所示是生产流水线上的皮带传输装置，传输带上等间距地放着很多半成品产品。A轮处装有光电计数器，它可以记录通过A 处的产品数目。已知测得轮A、 B 的半径分别为rA=20cm， rB=l0cm，相邻两产品距离为30cm，lmin 内有 41 个产品通过A 处，求：（1）产品随传输带移动的速度大小；（2）A、B 轮轮缘上的两点P、 Q 及 A 轮半径中点M 的线速度和角速度大小，并在图中画出线速度方向；（3）如果 A 轮是通过摩擦带动C 轮转动，且rC=5 cm，在图中描出C 轮的转动方向，求出 C 轮的角速度（假设轮不打滑）。5. 如图所示，直径为 d 的纸制圆筒以角速度绕垂直纸面的轴O 匀速运动（图示为截面） 。从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆周上留下a、 b 两个弹孔，已知aO 与 bO 夹角为 ，求子弹的速度。6. 如图所示， M、N 是两个共轴圆筒横截面，外筒半径为R，内筒半径比R 小得多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同的角速度 绕其中心轴线（图中垂直于纸面）作匀速转动。设从M 筒内部可以通过狭缝s（与 M 筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v1和 v2的微粒，从s 处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N 筒后就附着在N 筒上 .如果 R、v1和 v2都不变，而取某一合适的值，则（）A. 有可能使微粒落在筒上的位置都在a 处一条与s缝平行的窄条上B. 有可能使微粒落在N 筒上的位置都在某处，如b 处一条与缝s 平行的窄条上C. 有可能使微粒落在N 筒上的位置分别在某两处，如b 处和 c 处与 s 缝平行的窄条上D. 只要时间足够长，N 筒上到处都落微粒7. 关于向心加速度，下列说法正确的是（）A. 它是描述角速度变化快慢的物理量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页B. 它是描述线速度大小变化快慢的物理量C. 它是描述线速度方向变化快慢的物理量D. 它是描述角速度方向变化快慢的物理量8. 一质点做匀速圆周运动的半径约为地球的半径，R=R 地 6400km，它的线速度大小是v=l00m/s ，将这个匀速圆周运动看成是匀速直线运动你认为可以吗？试论证之。9. 如图所示为质点P、Q 做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线.表示质点 P 的图线是双曲线，表示质点Q 的图线是过原点的一条直线。由图线可知（）A. 质点 P 线速度大小不变B. 质点 P 的角速度大小不变C. 质点 Q 的角速度随半径变化D. 质点 Q 的线速度大小不变10. 如图所示，圆轨道AB 是在竖直平面内的41圆周，在 B 点轨道的切线是水平的，一质点自 A 点从静止开始下滑，不计摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B 点时的加速度大小为，滑过 B 点时的加速度大小为。11. 如图所示， 一质量为 m 的砂袋用长为l 的绳子拴住悬挂在O 点，被拳击运动员水平击中后，荡起的最大高度是h.求砂袋刚被击中后的瞬间，砂袋的向心加速度是多大? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页【试题答案】1. 解析： 质点做匀速圆周运动时，相等时间内通过的圆弧长度相等，即路程相等，B 项正确，此时半径所转过的角度也相等，D 项正确。但由于位移是矢量，在相等时间里，质点位移大小相等， 方向却不一定相同，因此位移不一定相同，而平均速度也是矢量，虽然大小相等，但方向不尽相同，故A、C 错误。本题选B、D。2. 解析： 先求出分针与秒针的角速度：分=36002rads，秒=602rad s 设两次重合时间间隔为t，则有分=分t，秒=秒t，秒一 分=2 ，即 t=分秒2=5960（min）故选项 C 正确3. 解析： 因为 A、B 两轮由不打滑的皮带相连，所以相等时间内A、B 两点转过的弧长相等。即 vA=vB.由 v=r 知BA=12rr=21。又 B、C 是同轴转动，相等时间转过的角度相等，即B=A，由 v=r 知，CBvv=32rr=115.121rr=31所以 vA：vB： vC=1：1：3， A：B：C=l：2： 2 再根据 T= 等得TA： TB：TC=1：21：21=2： 1：1 4. 解析： 首先明确产品与传送带保持相对静止的条件下，产品速度的大小就等于传送带上每一点速度的大小，在传送带不打滑的条件下，传送带上各点运动速度的大小都等于A、B 轮缘上点的线速度的大小。由传送带相邻产品的间距及单位时间内通过A 处的产品的个数可以确定出皮带上点的速度，进而知道A、B 轮缘上的两点P、Q 线速度的大小，然后由线速度与角速度的关系，求出A、B 两轮的角速度及A 轮半径中点M 的线速度及C 轮的角速度 .由题意知， 1分钟内有41 个产品通过A 处，说明 1分钟内传输带上的每点运动的路程为两产品间距的40 倍。设传输带运动速度大小为v，则（1）v=ts=6030.040m/s=0.2m/s （2）vP=vQ=0.2ms。A 轮半径上的M 点与 P 点的角速度相等，故vM=21vP=21 0.2ms=0.1m/s P=M=APrv=2.02.0rads=lrads， Q=2P=2rads （3）C 轮的转动方向如图所示，如果两轮间不打滑，则它们的接触处是相对静止的，即它们轮缘的线速度大小是相等的，所以CrC=ArA。C 轮的角速度C=CArrA=05.02.01rads=4rads 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页答案： （1） 0.2m/s （2） vP=vQ=0.2m/s， vM=0.1m/s MWP=1 rad s Q=2rads （ 3）C=4rads 5. 解析： 设子弹速度为v，则子弹穿过筒的时间t=vd此时间内筒转过的角度=据 =t，得一 =vd，则子弹速度v=d本题中若无角度的限制，则在时间t 内转过的角度=2n+一 =（ 2n+1）一 =2n十 一 =（2n+1）一 则子弹速度v=)(12( nd（n=0，1，2，）6. 解析： 因 M、N 的角速度相同，故在任意一段时间内，N 筒与 s 缝在同一径向连线上的 a 点必定与s 缝一起转过同样大小的角度，且粒子历时皆为vR，于是这些在不同时刻从 s缝射出、 速率为 v 的粒子一定落在N 筒上比 a点落后相同角度t= vR的位置上， 即落在一条与s 缝平行的窄条上，不会各处散落，故排除D。题设中未限制的大小，而圆周上各点转过的角度又具有周期性（周期为2 ） 。只要 满足 1vR=2n，2vR=2m （m、n 为任意整数） ，则两种粒子落在N 筒上的位置都在a 处的一条与s 缝平行的窄条上，A 正确。若 满足 1vR=2 n+2vR，则均可以到达b，故 B 正确。若速度为v1和 v2的粒子到达N 上的角度差不是2的整数倍，则它们不能到达同一窄条上而分开，故C 正确。7. 解析： 从匀速圆周运动的特点入手思考。匀速圆周运动其角速度大小不变，角速度的方向是不变的。 线速度方向总是与半径垂直，半径转过多少度， 线速度的方向就改变多少度。答案： C 8. 解析： 应从两个方面论述题中的看法：（1）求出质点的向心加速度，研究其大小是否可以忽略。（ 2）分析在不太大的空间内（如几百千米）速度方向变化的大小。答案： 在不太大的空间范围内可以看成匀速直线运动。9. A 10. 解析： 小球由 A 点到 B 点所做的运动是圆周运动的一部分，因而小球刚要到达B 点时的运动为圆周运动，其加速度为向心加速度，大小为：a1=Rv2，从 A 到 B，由机械能守恒精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页定律有：mgh=221mv，gRv2，故a1=Rv2=2g 小球滑过B 点后做平抛运动，只受重力，加速度大小为g 答案： 2g；g 11. 解析： 由机械能守恒得最低点速度ghv2向心加速度rva2a=lgh2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页