21.3实际问题与一元二次方程第 1 课时用一元二次方程解决传播问题1列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步骤是：审题 ，弄清已知量、_未知量 _；设未知数 ，并用含有 _未知数 _的代数式表示其他数量关系；根据题目中的 _等量关系 _，列一元二次方程；解方程，求出 _未知数 _的值； 检验解是否符合问题的 _实际意义 _； 写出答案2一个两位数 ，个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为_10ba_，若交换两个数位上的数字，则得到的新两位数为_10ab_知识点 1：倍数传播问题1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出小分支的个数为x，则依题意可列方程为_1xx291_2某生物实验室需培育一群有益菌现有60 个活体样本 ，经过两轮培植后，总和达24000 个 ，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？解： (1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x 个有益菌 ， 根据题意得60(1x)224000，解得x119， x2 21(不合题意 ，舍去 )，则每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19 个有益菌(2)60(119)360 203480000(个)，则经过三轮培植后共有480000 个有益菌知识点 2：握手问题3(2014天津 )要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场根据场地和时间等条件 ，赛程计划安排7 天，每天安排4 场比赛 ，设比赛组织者应邀请x 个队参赛 ，则 x满足的关系式为( B) A.12x(x 1)28B.12x(x 1)28 Cx(x 1)28 D x(x1)28 4在某次聚会上 ，每两人都握了一次手，所有人共握手210 次，设有 x 人参加这次聚会， 则依题意可列出方程为_x（x1）2 210_5在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78 份合同 ，问有多少家公司出席了这次交易会？解：设有 x 家公司出席了这次交易会，根据题意得12x(x 1)78，解得 x113，x212(不合题意 ，舍去 )，故有 13 家公司出席了这次交易会知识点 3：数字问题6两个连续偶数的和为14，积为 48，则这两个连续偶数是_6 和 8_7已知一个两位数比它的个位上的数的平方小6，个位上的数与十位上的数的和是13，求这个两位数解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(13x)，由题意得10(13x)x6x2，整理得 x29x 1360，解得 x18，x2 17(不合题意 ，舍去 )，13x5，则这个两位数是58 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 132 件，如果全组有x 名同学 ， 则根据题意列出的方程是( B) Ax(x1)132 Bx(x 1)132 Cx(x 1)1322 Dx(x 1) 1322 9某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线 ，则这个航空公司共有飞机场( C) A4 个B5 个C6 个D 7个10如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3 3个位置相邻的9 个数(如 6，7，8，13，14，15，20，21，22)若圈出的9 个数中 ，最大数与最小数的积为192，则这 9 个数的和为 ( D) 日一二三四五六1 2 3 45 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31 A.32B126C135D144 11一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数，若设较长的直角边长为x，则根据题意列出的方程为_x2(x1)2(x1)2_12某剧场共有1050 个座位 ，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少17， 求每行的座位数解：设每行的座位数为x 个 ，由题意得x(x17)1050，解得 x125，x2 42(不合题 意，舍去 )，则每行的座位数是25 个13有人利用手机发微信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条微信，经过两轮微信的发送 ，共有 56 人手机上获得同一条微信，则每轮一个人要向几个人发送微信？解：设每轮一个人要向x 个人发微信 ，由题意得 x(x 1)56，解得 x1 7，x2 8(不合题意 ，舍去 )，则每轮一个人要向7 个人发送微信14有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解： (1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人 ，则 1xx(x 1)64，解得 x17，x2 9(不合题意 ，舍去 )，即每轮传染中平均一个人传染7 个人(2)647448(人) 15读诗词解题： (通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x3，由题意得10(x3)xx2，解得 x15，x26.当 x5 时，周瑜的年龄为25 岁，非而立之年 ，不合题意 ，舍去；当 x6 时， 周瑜的年龄为36 岁， 符合题意 ，则周瑜去世时的年龄为36 岁16(1)n 边形 (n3)其中一个顶点的对角线有_(n3)_条；(2)一个凸多边形共有14 条对角线 ， 它是几边形？(3)是否存在有21 条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由解：(2)设这个凸多边形是n 边形 ， 由题意得n（ n3）214， 解得 n17，n2 4(舍去 )，则这个多边形是七边形(3)不存在理由：假设存在n 边形有21 条对角线 ， 由题意得n（n3）2 21，解得 n3 1772，因为多边形的边数为正整数，但3 1772不是正整数 ，故不合题意 ，所以不存在有21 条对角线的凸多边形名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 2 课时用一元二次方程解决增降率问题1若设每次的平均增长(或降低 )率为 x，增长 (或降低 )前的数量为a，则第一次增长 (或降低 )后的数量为_a(1 x)_ ， 第二次增长( 或降低)后的数量为_a(1 x)(1 x)_ ， 即_a(1 x)2_2某商品进价为a 元 ，售价为 b 元，则利润为 _(b a)_元，若一天的销售量为c，则总利润为 _(ba)c_元知识点 1：平均变化率问题1(2014昆明 )某果园2011 年水果产量为100 吨，2013 年水果产量为144 吨，求该果园水果产量的年平均增长率设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( D) A144(1x)2100B100(1 x)2144 C144(1x)2100 D100(1x)2144 2经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从 50 吨下降到40.5 吨 ，则平均每年下降的百分率是( A) A10%B15%C20%D25%3.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为_20%_4(2014沈阳 )某公司今年销售一种产品，1 月份获得利润20 万元 ，由于产品畅销 ，利润逐月增加 ，3 月份的利润比2 月份的利润增加4.8 万元 ， 假设该产品利润每月的增长率相同， 求这个增长率解：设这个增长率为x，根据题意得20(1 x)220(1x)4.8，解得 x10.220%，x2 1.2(不合题意 ，舍去 )，则所求增长率为20% 知识点 2：市场经济问题5某商场将某种商品的售价从原来的每件40 元经两次调价后调至每件32.4 元，若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为_10%_；经调查 ，该商品每降价0.2 元 ，即可多销售10 件， 若该商品原来每月销售500件， 那么两次调价后， 每月可销售商品_880_件6(2014巴中 )某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元，经市场预测 ，销售定价为52 元时 ，可售出 180 个，定价每增加1 元，销售量净减少10 个；定价每减少1 元，销售量净增加10 个因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180 个，商店若准备获利2000元， 则应进货多少个？定价为多少元？解：设每个商品的定价是x 元 ，由题意得 (x40)180 10(x52)2000，整理得 x2110x30000，解得 x150，x260.当 x 50 时，进货 18010(x52)200， 不舍题意 ，舍去；当x60 时，进货 18010(x52)100，符合题意 ，则该商品应进货100 个，定价为 60 元7小丽为校合唱队购买某种服装时， 商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 不超过 10 件，单价为 80 元；如果一次性购买多于10 件， 那么每增加1 件，购买的所有服装的单价降低2 元 ，但单价不得低于50 元按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200 元请问她购买了多少件这种服装？解：设购买了x 件这种服装 ，根据题意得 80 2(x10)x 1200，解得 x120，x230.当 x 30 时，802(3010) 4050，不符合题意 ，舍去 ， x20，则她购买了20 件这种服装名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8某机械厂七月份生产零件50 万个 ，第三季度生产零件196 万个 设该厂八、九月份平均每月的增长率为x， 那么 x 满足的方程是( C) A50(1x2)196 B5050(1x2)196 C5050(1x)50(1x)2196 D5050(1x)50(12x)196 9(2014泰安 )某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时 ，平均每株盈利4 元；若每盆增加1 株 ，平均每株盈利减少0.5 元，要使每盆的盈利达到15 元 ，每盆应植多少株？设每盆多植x 株 ，则可以列出的方程是( A) A(x3)(40.5x)15 B(x3)(40.5x)15 C(x 4)(30.5x)15 D(x 1)(40.5x)15 10(2014 南京 )某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为 4 万元 ，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1 年的可变成本为2.6 万元 ，设可变成本平均每年增长的百分率为x. (1)用含 x 的代数式表示第3 年的可变成本为_2.6(1x)2_万元；(2)如果该养殖户第3 年的养殖成本为7.146 万元 ，求可变成本平均每年增长的百分率x. 解：根据题意得42.6(1x)27.146， 解得 x10.1，x2 2.1(不合题意 ，舍去 )， 可变成本平均每年增长的百分率是10% 11某批发商以每件50 元的价格购进800 件 T 恤，第一个月以单价80 元销售 ，售出了200 件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200 件，批发商为增加销售量，决定降价销售， 根据市场调查，单价每降低1 元，可多售出10 件， 但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后 ，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40 元，设第二个月单价降低x 元(1)填表 (不需化简 )：时间第 1 个月第 2 个月清仓时单价(元) 80 80x 40销售量(件) 200 20010x 800200(200 10x) (2)如果批发商希望通过销售这批T 恤获利 9000 元，那么第二个月的单价应是多少元？解：依据题意，得 80 200(80x)(20010x)40800 200(20010x) 508009000，整理得 x220x 1000，解得 x1x210，当 x10 时，80x7050，则第二个月的单价应是70 元名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 12某汽车销售公司6 月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1 部汽车 ，则该部汽车的进价为27 万元 ，每多售出1 部， 所有售出的汽车的进价均降低0.1 万元 /部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在 10 部以内 (含 10 部)，每部返利 0.5 万元；销售量在10 部以上 ， 每部返利 1 万元(1)若该公司当月售出3 部汽车 ，则每部汽车的进价为_26.8_万元；(2)如果汽车的售价为28 万元 /部，该公司计划当月盈利12 万元 ，那么需要售出多少部汽车？ (盈利销售利润返利) 解：设需要售出x 部汽车 ，由题意可知 ，每部汽车的销售利润为28270.1(x1)(0.1x0.9)(万元 )当 0x10，根据题意 ，得 x(0.1x 0.9) 0.5x12，整理得 x214x1200，解得 x1 20(不合题意 ，舍去 )，x26；当 x10 时，根据题意 ，得 x(0.1x 0.9)x12，整理得 x219x1200，解得 x1 24(不合题意 ，舍去 )，x25，因为 510，所以 x25 舍去 ，则需要售出6 部汽车名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 第 3 课时用一元二次方程解决几何图形问题1面积 (体积 )问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与 _已知量 _的内在联系 ，根据 _面积 (体积 )_公式列出一元二次方程2一个正方形的边长增加了3 cm，面积相应增加了39 cm2，则原来这个正方形的边长为_5_cm. 知识点 1：一般图形的面积问题1一个面积为35 m2的矩形苗圃 ，它的长比宽多2 m，则这个苗圃的长为( C) A5 mB6 mC7 mD 8 m2(2014襄阳 )用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形设长方形的长为 x cm，则可列方程为 ( B) Ax(20x)64 Bx(20x)64 Cx(40x)64 Dx(40x)64 3一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两条直角边长分别为_2_cm，7_cm_4(2014湘潭 )如图 ， 某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙 ，围成一个矩形花园 ABCD( 围墙 MN 最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法 ，使矩形花园的面积为300 m2. 解：设 AB x m，则 BC (502x) m，根据题意得x(502x)300，解得 x110，x215，当 x10，BC502103025，故 x110 不合题意 ，舍去 ，x15，则可以围成 AB 为 15 m，BC 为 20 m 的矩形知识点 2：边框与通道问题5如图 ，在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分 )，余下的部分种上花草若种植花草的面积为540 m2，求道路的宽如果设道路的宽为x m，根据题意 ，所列方程正确的是( A) A(20x)(32x)540 B(20x)(32x)100 C(20x)(32x)540 D(20x)(32x)540 ,第 5 题图 ),第 6 题图 ) 6(2014兰州 )如图 ， 在一块长为22 米，宽为 17 米的矩形地面上， 要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪， 使草坪面积为300名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 平方米 ，若设道路宽为x 米，则根据题意可列出方程_(22 x)(17x)300_7如图 ，某矩形相框长26 cm，宽 20 cm，其四周相框边 (图中阴影部分)的宽度相同 ，都是 x cm，若相框内部的面积为280 cm2，求相框边的宽度解：由题意得 (262x)(202x)280，整理得 x223x 600， 解得 x13，x220(不合题意 ，舍去 )，则相框边的宽度为3 cm名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8从一块正方形的木板上锯掉2 m 宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是 ( B) A100 m2B64 m2C121 m2D144 m29如图 ，正方形 ABCD 的边长是1， E，F分别是 BC，CD 上的点 ，且 AEF 是等边三角形 ，则 BE 的长为 ( A) A23 B23 C25 D. 52 ,第 9 题图 ),第 11 题图 ) 10在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，已知地毯中央的矩形图案长6 米、宽3 米，整个地毯的面积是40 平方米 ，则花边的宽为 _1_米11如图 ，已知点 A 是一次函数yx4 图象上的一点，且矩形 ABOC 的面积等于3，则点 A 的坐标为 _(3，1)或(1，3)_12如图是一个矩形花园，花园的长为100 米 ，宽为 50 米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分 (图中阴影部分)种植的是不同花草已知种植花草部分的面积为3600 平方米 ，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？解：设正方形观光休息亭的边长为x 米，依题意得 (1002x)(502x)3600，整理得x275x3500，解得 x1 5，x270， x27050， 不合题意 ，舍去 ，x 5，即矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5 米13小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10x) cm，由题意得 x2(10 x)258，解得 x13，x27，4312，47 28，所以小林应把绳子剪成12 cm 和 28 cm 的两段(2)假设能围成由(1)得，x2(10x)248， 化简得 x210x26 0，因为 b24ac(10)2 4126 40，所以此方程没有实数根， 所以小峰的说法是对的14如图 ，在 ABC 中， B90，AB 5 cm，BC7 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB边向点 B 以 1 cm/s的速度移动 ， 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动(1)如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发 ，那么几秒后 ，PBQ 的面积等于4 cm2?名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - (2)如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发 ，那么几秒后 ，PQ 的长度等于5 cm?(3)在问题 (1)中，PBQ 的面积能否等于7 cm2？说明理由解： (1)设 x 秒后 ，PBQ 的面积等于4 cm2，根据题意得x(5x) 4，解得 x11，x24.当 x 4 时 ，2x87， 不合题意 ， 舍去 ， x1(2)设 x 秒后 ， PQ 的长度等于5 cm，根据题意得 (5x)2(2x)225，解得 x10(舍去 )，x22，x2(3)设 x 秒后 ，PBQ 的面积等于7 cm2，根据题意得x(5x)7，此方程无解 ，所以不能名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -