第一章计数原理单元测试题时间 :120 分钟 ,满分 150 分本套题难度适中 , 主要考查学生的基本知识、基本方法、基本能力, 如 19 题和 13 题都是这一部分的基本题目类型, 对排列、组合和二项式定理的基本知识考查比较全面, 且在考查基本知识的同时, 也注重学生数学思想的考查, 如 10、12、18 题考查了学生分类讨论的思想方法 ,11,14,17,21,22考查了学生转化与化归的思想方法, 这些题目需要大家有较高的分析能力和运算能力,以及综合应用能力. 一、选择题（本大题共12 小题，每 小题 5 分，共 60 分）15 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A10 种B20 种 C25 种 D 32 种2甲、乙、丙3 位同学选修课程，从4 门课程中，甲选修2 门，乙、丙各选修3 门，则不同的选修方案共有A36 种 B48 种 C96 种 D192 种3. 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排， 2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 （）A1440 种 B960 种 C 720 种 D 480 种4. 某城市的汽车牌照号码由2 个英文字母后接4 个数字组成，其中4 个数字互不相同的牌照号码共有（）2142610CA个242610A A个2142610C个242610A个5. 从 5 位同学中选派4 位同学在星期五、星期六、 星期日参加公益活动，每人一天， 要求星期五有2 人参加， 星期六、星期日各有1 人参加，则不同的选派方法共有A 40 种 B 60 种 C 100种 D 120种6. 由数字 0，1，2，3，4，5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) A.72 B.60 C.48 D.52 7. 用 0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340 应是第（）个数 . A.6 B.9 C.10 D.8 8.AB 和 CD为平面内两条相交直线，AB上有 m个点， CD上有 n 个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( ) A.2121mnnmCCCC B. 21121mnnmCCCC C. 21211mnnmCCCC D.2111211mnnmCCCC9. 设10102210102xaxaxaax,则292121020aaaaaa的值为 ( ) A.0 B.- 1 C.1 D.10. 2006年世界杯参赛球队共32 支 , 现分成 8 个小组进行单循环赛, 决出 16 强( 各组的前 2 名小组出线 ), 这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛, 决出 8 强, 再决出 4 强 , 直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( ) A.64 B.72 C.60 D.56 11. 用二项式定理计算9.985，精确到1 的近似值为 ( )A.99000 B.99002 C.99004 D.99005 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页12. 从不同号码的五双靴中任取4 只，其中恰好有一双的取法种数为（）A.1 20 B.240 C.360 D.72 二、填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分）13. 今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球，同色球不加以区分，将这9 个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）. 14. 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2 相邻的偶数有个（用数字作答）15. 若(2x3+x1)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于 . 16. 从班委会5 名成员中选出3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种。 （用数字作答）三、解答题（本大题共6 小题，共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17如图，电路中共有7 个电阻与一个电灯A，若灯 A不亮，分析因电阻断路的可能性共有多少种情况。18从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：能组成多少个没有重复数字的七位数？上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？在中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？在中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？19把 1、2、3、4、5 这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列. （1）43251 是这个数列的第几项？（2）这个数列的第96 项是多少？（3）求这个数列的各项和. ARRRRRRR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页20. （本小题满分12 分）求证：能被 25 整除。21. （本小题满分14 分）已知naa33的展开式的各项系数之和等于53514bb展开式中的常数项，求naa33展开式中含的项的二项式系数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页22. （本小题满分14 分）若某一等差数列的首项为223112115nnnnPC, 公差为mxx325225展开式中的常数项, 其中 m是157777除以 19 的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页单元测试卷参考答案一、选择题：（每题5 分，共 60 分）1、D 解析： 5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32 种，选 D 2、C 解析甲、乙、丙3 位同学选修课程，从4 门课程中，甲选修2 门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有23344496CCC种，选 C 3、解析： 5 名志愿者先排成一排，有55A种方法， 2 位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有552 4 A=960种不同的排法，选B 4、A 解析：某城市的汽车牌照号码由2 个英文字母后接4 个数字组成，其中4 个数字互不相同的牌照号码共有2142610CA个，选 A 5、B解析：从 5 位同学中选派4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2 人参加，星期六、星期日各有1 人参加，则不同的选派方法共有225360C A种，选 B 6、B 解析 : 只考虑奇偶相间, 则有33332AA种不同的排法 , 其中 0 在首位的有3322AA种不符合题意, 所以共有33332AA603322AA种. 7、C 解析 : 比 12340 小的分三类 : 第一类是千位比2 小为 0, 有633A个; 第二类是千位为2 , 百位比 3 小为 0, 有222A个; 第三类是十位比4 小为 0, 有 1 个. 共有 6+2+1=9 个, 所以 12340 是第 10 个数 . 8、D 解析 : 在一条线上取2 个点时 , 另一个点一定在另一条直线上, 且不能是交点 . 9、C 解析 : 由10102210102xaxaxaax可得 : 当1x时, 101022101011112aaaa10210aaaa当1x时, 1032101012aaaaa10210aaaa292121020aaaaaa10210aaaa103210aaaaa112121212101010. 10、A 解析 : 先进行单循环赛,有48824C场, 在进行第一轮淘汰赛,16 个队打 8 场, 在决出 4 强, 打 4 场, 再分别举行2场决出胜负 , 两胜者打1 场决出冠、亚军, 两负者打1 场决出三、四名, 共举行 :48+8+4+2+1+1=64 场 . 11、C 解析 :559.98100.02精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页2514235510100.02100.02CC323502.010C9900406.04101035. 12、A 解析 : 先取出一双有15C种取法 , 再从剩下的4 双鞋中取出2 双, 而后从每双中各取一只,有121224CCC种不同的取法, 共有15C120121224CCC种不同的取法. 二、填空题 ( 每小题 4 分，共 16 分）13、1260 解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有4239531260CCC14、24 解析：可以分情况讨论：若末位数字为0，则 1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为 1 个数字，共可以组成33212A个五位数； 若末位数字为2， 则 1与它相邻，其余 3个数字排列， 且 0不是首位数字， 则有2224A个五位数；若末位数字为4，则 1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为 1 个数字，且0 不是首位数字，则有222 (2)A=8 个五位数，所以全部合理的五位数共有24 个15、7 解析：若 (2x3+x1)n的展开式中含有常数项，311(2)()n rn rrrnTCxx为常数项，即732rn=0，当n=7，r=6 时成立，最小的正整数n等于 7. 16、36 种解析从班委会5 名成员中选出3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3 人中选出1 人担任文娱委员，再从4 人中选 2 人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有123434336CA种三、解答题（共六个小题，满分74 分）17. 解：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线 a，b 中至少有一个电阻断路情况都有221=3 种；4 分支线 c 中至少有一个电阻断路的情况有221=7 种，6 分每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯 A不亮的情况共有 337=63 种情况 . 10 分18. 解：分步完成：第一步在4 个偶数中取3 个，可有34C种情况；第二步在5 个奇数中取4 个，可有45C种情况；第三步 3 个偶数， 4 个奇数进行排列，可有77A种情况，所以符合题意的七位数有34C45C10080077A个 3 分上述七位数中，三个偶数排在一起的有个34C14400335545AAC 6 分上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有34C57602224335545AAACC个9 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页上述七位数中， 偶数都不相邻， 可先把 4 个奇数排好， 再将 3 个偶数分别插入5 个空档，共有28800353445ACA个. 12 分19. 解：先考虑大于43251 的数，分为以下三类第一类：以5 打头的有：44A =24 第二类：以45 打头的有：33A =6 第三类：以435 打头的有：22A =22 分故不大于 43251 的五位数有：8822334455AAAA（个）即 43251 是第 88 项. 4 分数列共有A=120项， 96 项以后还有120-96=24 项，即比 96 项所表示的五位数大的五位数有24 个，所以小于以5 打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96 项. 即为 45321. 8 分因为 1，2，3，4，5 各在万位上时都有A个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5） A1000010 分同理它们在千位、十位、个位上也都有A个五位数，所以这个数列各项和为：（1+2+3+4+5） A （1+10+100+1000+10000）=152411111=3999960 12 分20. 证明 : 因45322nnn4564nn45154nn 3 分45155555.41222211nCCCCnnnnnnnnn8分nCCCnnnnnnn255555.422221110 分显然2222115555nnnnnnnCCC能被 25 整除 ,25n 能被 25 整除 , 所以45322nnn能被 25 整除 . 12 分21. 设53514bb的展开式的通项为rrrrbbCT51453515 ,4, 3, 2, 1 ,0,451651055rbCrrrr. 6 分若它为常数项 , 则2, 06510rr, 代入上式732T. 即常数项是27，从而可得naa33中 n=7，10 分同理733aa由二项展开式的通项公式知，含的项是第4 项，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页其二项式系数是35. 14 分22. 由已知得：nnnn311225211, 又2,nNn,2 分2531025710223112115PCPCPCnnnn10045238910所以首项1001a. 4 分15176157777771517676761777617777CCNMM,1476, 所以157777除以 19 的余数是5, 即5m 6 分mxx325225的展开式的通项rrrrxxCT3255152255,4,3 ,2, 1 ,0,251535255rxCrrrr, 若它为常数项 , 则3,0535rr, 代入上式dT44. 从而等差数列的通项公式是：nan4104，10 分设其前 k 项之和最大，则01410404104kn，解得 k=25 或 k=26，故此数列的前25 项之和与前26 项之和相等且最大，13002522541041002625SS. 14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页