第七编不等式 7.1 不等关系与不等式1.已知 -1a0,那么 -a,-a3,a2的大小关系是. 答案-aa2-a32.若 m0,n0 且 m+n0，则 -n，-m，m，n 的大小关系是. 答案m-nn-m 3.已知 a0,-1b0,那么 a,ab,ab2的大小关系是. 答案abab2a 4.设 a=2-5 ,b=5 -2,c=5-25 ,则 a,b,c 的大小关系为. 答案abc 5.设甲： m、n 满足,30,42mnnm乙： m、n 满足,32, 10nm那么甲是乙的条件 . 答案必要不充分例 1 （1）设 xy0,试比较 (x2+y2)(x-y) 与(x2-y2)(x+y) 的大小；（2）已知 a,b,c 正实数 ，且 a2+b2=c2,当 nN,n2 时比较 cn与 an+bn的大小 . 解（1）方法一（x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y) x2+y2-(x+y)2=-2xy(x-y), xy0,xy0,x-y0, -2xy(x-y) 0, (x2+y2)(x-y) (x2-y2)(x+y). 方法二xy0,x-y 0,x2y2,x+y0. (x2+y2)(x-y) 0,(x2-y2)(x+y)0, 0)()(2222yxyxyxyx=xyyxyx222221, (x2+y2)(x-y) (x2-y2)(x+y). (2)a,b,c正实数 ， an,bn,cn0, 而nnncba=nca+ncb. a2+b2=c2,则2ca+2cb=1, 0ca1,0cb1. nN,n2, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页nca2ca,ncb2cb, nnncba=nca+ncb222cba=1, an+bncn. 例 2 已知 a、b、c是任意的实数，且ab,则下列不等式恒成立的是. (a+c)4(b+c)4ac2bc2lg|b+c|lg|a+c| (a+c)31(b+c) 31答案例 3 （14 分）已知 -1a+b3 且 2a-b4,求 2a+3b 的取值范围 . 解设 2a+3b=m(a+b)+n(a-b), 32nmnm, 4 分m=25,n=-21. 6 分2a+3b=25(a+b)-21(a-b). 7 分-1a+b3,2a-b 4, -2525(a+b)215,-2-21(a-b)-1, 10 分-2925(a+b)- 21(a-b)213, 12 分即-292a+3b213. 14 分1.（1）比较 x6+1 与 x4+x2的大小，其中xR; (2)设 aR,且 a0, 试比较 a 与a1的大小 . 解（1） （x6+1）-（x4+x2）=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1) =(x2-1)2(x2+1). 当 x= 1 时， x6+1=x4+x2; 当 x1 时， x6+1x4+x2. （2）a-a1=aa12=aaa)1)(1(当-1a0 或 a1 时,aa1；当 a-1 或 0a1 时,aa1；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页当 a= 1 时,a=a1. 2.适当增加不等式条件使下列命题成立：（1）若 ab,则 ac bc; (2)若 ac2bc2,则 a2b2; (3)若 ab,则 lg(a+1)lg(b+1); (4)若 ab,cd,则dacb; (5)若 ab,则a1b1. 解（1）原命题改为：若ab 且 c0 ，则 ac bc,即增加条件 “ c0”.(2)由 ac2bc2可得 ab,但只有 b0 时，才有 a2b2,即增加条件 “ b0”.(3)由 ab 可得 a+1b+1,但作为真数，应有b+10,故应加条件 “ b-1”.（4）dacb成立的条件有多种，如ab0,cd0,因此可增加条件“ b0,d0”.还可增加条件为“ a0,c0,d0”.(5) a1b1成立的条件是ab,ab0 或 a0,b0, 故增加条件为 “ ab0”.3.设 f(x)=ax2+bx,1 f(-1) 2,2 f(1) 4,求 f(-2) 的取值范围 . 解方法一设 f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n为待定系数 ), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b, 于是得24mnnm,解得13nm, f(-2)=3f(-1)+f(1). 又 1 f(-1)2,2f(1) 4,53 f(-1)+f (1) 10,故 5 f(-2)10.方法二由bafbaf) 1() 1(, 得)1() 1 (21)1 () 1(21ffbffa, f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又 1 f(-1)2,2f(1) 4,53 f(-1)+f (1) 10, 故 5 f(- 2)10.方法三由4221baba确定的平面区域如图. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页当 f(-2)=4a-2b 过点 A2123,时, 取得最小值423-2 21=5, 当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1) 时, 取得最大值4 3-2 1=10, 5 f(-2)10.一、填空题1.已知 a,b,c 满足 cba 且 ac0，则下列不等式中恒成立的是（填序号） . abaccab0 cb2ca2acca0 答案2.（2009 姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数a 满足 ab2aab,则实数 b 的取值范围为. 答案 （-，-1）3.(2009 苏、锡、常、镇三检)已知三个不等式：ab0，bc-ad0, ac-bd0(其中 a,b,c,d 均为实数 ),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为个. 答案3 4.已知函数f(x)=log2(x+1), 设 abc0,则aaf)(,bbf)(,ccf)(的大小关系为. 答案aaf)(bbf)(ccf)(5.若 xy1,且 0a1,则 axay;logaxlogay;x-ay-a;logxalogya. 其中不成立的有个. 答案3 6.已知 a+b0，则2ba+2ab与a1+b1的大小关系是. 答案2ba+2aba1+b17.给出下列四个命题：若 ab0,则a1b1; 若 ab0,则 a-a1b-b1; 若 ab0,则baba22ba; 设 a,b 是互不相等的正数，则|a-b|+ba12.其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页答案二、解答题8.比较 aabb与 abba（a,b 为不相等的正数）的大小. 解abbababa=aa-bbb-a=baba, 当 ab0 时，ba1,a-b0,baba1；当 0ab 时，ba1,a-b0,baba1. 综上所述，总有aabbabba. 9.已知奇函数f(x)在区间 (-,+ )上是单调递减函数,R 且+0, +0, +0. 试说明 f()+f()+f()的值与 0 的关系 . 解由+0,得-. f(x)在 R 上是单调减函数, f()f(-). 又 f(x)为奇函数 ,f()-f(),f()+f()0, 同理 f()+f()0,f()+f()0, f()+f()+f()0. 10.某个电脑用户计划使用不超过1 000 元的资金购买单价分别为80 元、 90 元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3 片，磁盘至少买4 盒，写出满足上述所有不等关系的不等式. 解设买软件 x 片、磁盘 y 盒, 则 x、y 满足关系：yxxxyx4300019080. 11.已知 a0,a2-2ab+c2=0,bca2.试比较 a,b,c 的大小 . 解bca20,b,c 同号. 又 a2+c20,a0,b=aca2220,c0, 由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c) 0, b-c0.当 b-c0,即 bc时, 由2222abcacab得aca222 ca2即(a-c)(2a2+ac+c2)0. a0,b0,c0,2a2+ac+c20, a-c0,即 ac,则 acb；当 b-c=0,即 b=c 时, bca2,b2a2,即 b a. 又 a2-2ab+c2=(a-b)2=0a=b 与 a b 矛盾 , b-c0.综上可知 :acb. N+N+精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页 7.2 一元二次不等式及其解法1.下列结论正确的是. 不等式 x24的解集为 x|x 2不等式 x2-90 的解集为 x|x 3 不等式 (x-1)22 的解集为 x|1-2 x1+2 设 x1,x2为 ax2+bx+c=0 的两个实根，且x1x2,则不等式ax2+bx+c0 的解集为 x|x1xx2 答案2.（2007 湖南理） 不等式12xx0 的解集是. 答案（-1，23.（2008 天津理） 已知函数 f(x)=,0, 1,0, 1xxxx则不等式x+(x+1) f(x+1)1的解集是. 答案x|x 2 -1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页4.在 R上定义运算:xy=x(1-y). 若不等式 (x-a)(x+a)1 对任意实数 x 成立 ,则 a的取值范围是. 答案-21a235.(2008 江苏， 4)A=x|(x-1)23x-7 ，则 AZ 的元素的个数为. 答案0 例 1解不等式23352x21(x2-9)-3x. 解原不等式可化为-23x2+2521x2-29-3x, 即 2x2-3x- 70.解方程 2x2-3x-7=0, 得 x=4653. 所以原不等式的解集为4654346543xx. 例 2 已知不等式ax2+bx+c0 的解集为 (,),且 0,求不等式 cx2+bx+a0 的解集 . 解方法一由已知不等式的解集为(，)可得 a0, ，为方程 ax2+bx+c=0 的两根，由根与系数的关系可得00)(acaba0,由得 c0, 则 cx2+bx+a0 可化为 x2+xcb+ca0, 得cb=)(=-110, 由得ca=1=110, 1、1为方程 x2+cbx+ca=0 的两根 . 0, 不等式 cx2+bx+a0 的解集为11xxx或. 方法二由已知不等式解集为(,),得 a0, 且，是 ax2+bx+c=0 的两根，+=-ab,=ac, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页cx2+bx+a0acx2+abx+10 ()x2-(+)x+10(x-1)(x-1) 0 1x1x0. 0,11,x1或 x1, cx2+bx+a0 的解集为11xxx或. 例 3已知不等式11xax0 (aR). (1)解这个关于x 的不等式 ; (2)若 x=-a 时不等式成立 ,求 a 的取值范围 . 解(1)原不等式等价于(ax-1)(x+1) 0. 当 a=0 时,由-(x+1)0,得 x-1; 当 a0 时,不等式化为ax1(x+1)0, 解得 x-1 或 xa1; 当 a0 时,不等式化为ax1(x+1)0; 若a1-1,即-1a0,则a1x-1; 若a1=-1,即 a=-1,则不等式解集为空集; 若a1-1,即 a-1,则-1xa1. 综上所述 , a-1 时,解集为axx11; a=-1 时,原不等式无解 ; -1a0 时,解集为11xax; a=0 时,解集为 x|x -1; a0 时,解集为axxx11或. (2)x=-a 时不等式成立 , 112aa0,即-a+10, a1,即 a 的取值范围为a1. 例 4 （14 分）已知 f(x)=x2-2ax+2,当 x -1，+）时， f(x) a 恒成立，求a 的取值范围 . 解方法一f(x)=(x-a)2+2-a2, 此二次函数图象的对称轴为x=a, 2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页当 a(-, -1)时，结合图象知 ,f（x)在 -1，+）上单调递增， f(x)min=f(-1)=2a+3, 4 分要使 f(x) a 恒成立，只需f(x)min a, 即 2a+3a,解得 a -3,又 a-1,-3a-1; 6 分当 a -1，+）时， f(x)min=f(a)=2-a2, 8分由 2-a2 a,解得 -2 a1, 又 a -1, -1 a1. 12分综上所述，所求a 的取值范围为 -3 a1. 14分方法二由已知得 x2-2ax+2-a0 在 -1，+）上恒成立，4分即 =4 a2-4（2-a）0 或0) 1(10fa, 10分解得 -3 a1. 14分1.解下列不等式：（1）-x2+2x-320;(2)9x2-6x+10.解 （1）-x2+2x-320 x2-2x+320 3x2-6x+20 =12 0,且方程 3x2-6x+2=0 的两根为x1=1-33,x2=1+33, 原不等式解集为331331xx. (2)9x2-6x+10(3x-1)20.xR,不等式解集为R. 2.已知关于x 的不等式（ a+b）x+(2a-3b)0 的解集为31xx，求关于 x 的不等式 (a-3b)x+(b-2a)0 的解集. 解（ a+b）x+(2a-3b)0 的解集是31xx, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页.0, 0)32(31)(bababa于是 a=2b0,b0,不等式 (a-3b)x+(b-2a)0, 即为 -bx-3b0,亦即 -bx3b,x-3. 故所求不等式的解集为x|x-3. 3.解关于 x 的不等式2axax0 （aR）. 解2axax0(x-a)(x-a2)0, 当 a=0 或 a=1 时，原不等式的解集为；当 a0 或 a1 时， aa2，此时 axa2; 当 0a1 时， aa2，此时 a2xa. 综上，当 a0 或 a1 时，原不等式的解集为x|axa2 ；当 0a1 时，原不等式的解集为x|a2xa; 当 a=0 或 a=1 时，原不等式的解集为. 4.函数 f（x）=x2+ax+3. (1)当 xR 时,f(x) a恒成立 ,求 a 的取值范围 . (2)当 x -2,2时 ,f(x) a 恒成立 ,求 a 的取值范围 . 解(1)xR 时,有 x2+ax+3-a0 恒成立 , 须 =a2-4(3-a) 0, 即 a2+4a-120, 所以 -6 a2.(2)当 x -2,2时 ,设 g(x)=x2+ax+3-a0, 分如下三种情况讨论(如图所示 ): 如图 (1),当 g(x)的图象恒在x 轴上方时 ,满足条件时 ,有 =a2-4(3-a) 0, 即-6 a2.如图 (2),g(x)的图象与 x 轴有交点 , 但在 x -2,+) 时,g(x)0,即0)2(,220gax即0324220)3(42aaaaa37462aaaa或解之得 a. 如图 (3),g(x) 的图象与 x 轴有交点 , 但在 x(-,2时,g(x)0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页即0)2(,220gax即0324220)3(42aaaaa7462aaaa或-7 a -6 综合得a -7，2. 一、填空题1.函数 y=) 1(log221x的定义域是. 答案-2 ,-1）（ 1，2 2.不等式412xx0 的解集是. 答案(-2,1)(2,+ )3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1) 0 对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是. 答案m-11134.若关于 x 的不等式： x2-ax-6a0 有解且解区间长不超过5 个单位，则a 的取值范围是. 答案-25 a-24 或 0a15.(2009 启东质检 )已知函数f(x）的定义域为（-，+） ，f(x)为 f(x)的导函数，函数y=f (x)的图象如右图所示，且 f(-2)=1,f(3)=1, 则不等式 f(x2-6)1 的解集为. 答案(2,3)(-3,-2) 6.不等式组030122xxx的解集为. 答案x|0x1 7.若不等式2xx2+a 对于任意的x -2，3恒成立，则实数a 的取值范围为. 答案(-, -8) 8.已知 x|ax2-ax+10=,则实数 a 的取值范围为. 答案0 a4二、解答题9.解关于 x 的不等式56x2+ax-a20. 解原不等式可化为 (7x+a)(8x-a) 0, 即7ax8ax0. 当 -7a8a,即 a0 时,-7ax8a; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页当 -7a=8a,即 a=0 时,原不等式解集为; 当 -7a8a,即 a0 时, 8ax-7a. 综上知 :当 a0 时,原不等式的解集为87axax; 当 a=0 时,原不等式的解集为; 当 a0 时,原不等式的解集为78axax. 10.已知 x2+px+q0 的解集为3121xx，求不等式qx2+px+10 的解集 . 解x2+px+q 0 的解集为3121xx, -21,31是方程 x2+px+q=0 的两实数根，由根与系数的关系得qp)21(312131,6161qp, 不等式 qx2+px+1 0 可化为 -0161612xx, 即 x2-x-60,-2x3, 不等式 qx2+px+1 0 的解集为 x|-2 x3. 11.若不等式 2x-1m(x2-1)对满足 |m| 2 的所有 m 都成立，求x 的取值范围 . 解方法一原不等式化为 (x2-1)m-(2x-1) 0. 令 f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(- 2 m2).则.0) 12()1(2)2(,0)12() 1(2) 2(22xxfxxf解得271x231. 方法二求已知不等式视为关于m 的不等式，（1）若 x2-1=0，即 x= 1 时，不等式变为2x-10,即 x21,x=1,此时原不等式恒成立. （2）当 x2-10 时，使1122xxm 对一切 |m| 2 恒成立的充要条件是1122xx2, 1x231. (3)当 x2-10 时，使1122xxm 对一切 |m| 2 恒成立的充要条件是1122xx-2. 271x1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页由（ 1） （2） （3）知原不等式的解集为213217xx. 12.已知函数 f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当 x(-2,6)时，其值为正，而当x(-, -2)(6,+ ）时，其值为负 . （1）求实数 a,b的值及函数f(x) 的表达式；（2）设 F（x）=-4kf(x)+4(k+1)x+2(6k-1), 问 k 取何值时，函数F（x）的值恒为负值？解(1)由题意可知 -2 和 6 是方程 f(x)=0 的两根，126224623aaba,84ba, f(x)=-4x2+16x+48. (2)F(x)=-4k(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1) =kx2+4x-2. 当 k=0 时， F(x)=4x-2 不恒为负值；当 k0 时，若 F(x)的值恒为负值，则有08160kk,解得 k-2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页 7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1.已知点 A（1，-1） ，B（5，-3） ，C（4，-5） ，则表示 ABC 的边界及其内部的约束条件是. 答案01340132012yxyxyx2.（2008 天津理， 2）设变量 x，y 满足约束条件, 12, 1,0yxyxyx则目标函数z=5x+y 的最大值为. 答案5 3.若点（ 1，3）和（ -4，-2）在直线 2x+y+m=0 的两侧，则m 的取值范围是. 答案-5m10 4.（2008 北京理） 若实数 x，y 满足,0, 0,01xyxyx则 z=3x+2y的最小值是. 答案1 5.（2008 福建理） 若实数 x、y 满足001xyx，则xy的取值范围是. 答案 （1，+）例 1 画出不等式组3005xyxyx表示的平面区域,并回答下列问题: (1)指出 x,y 的取值范围 ; (2)平面区域内有多少个整点? 解(1)不等式 x-y+50表示直线 x-y+5=0 上及右下方的点的集合.x+y0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合,x3表示直线 x=3 上及左方的点的集合 . 所以 ,不等式组3005xyxyx表示的平面区域如图所示. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页结合图中可行域得x3 ,25,y -3,8. (2)由图形及不等式组知xxxyx且,325当 x=3 时,-3 y8, 有 12 个整点 ; 当 x=2 时,-2 y7, 有 10 个整点 ; 当 x=1 时,-1 y6, 有 8 个整点 ; 当 x=0 时， 0 y5 ，有 6 个整点；当 x=-1 时,1 y4, 有 4 个整点 ; 当 x=-2 时,2 y3, 有 2 个整点 ; 平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42( 个). 例 2 （2008 湖南理， 3）已知变量 x、y 满足条件, 092, 0, 1yxyxx则 x+y 的最大值是. 答案6 例 3 （14分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15 吨，已知生产甲产品1 吨，需煤 9 吨，电力 4 千瓦时，劳力3 个；生产乙产品1 吨，需煤 4 吨，电力 5 千瓦时，劳力10 个；甲产品每吨的利润为 7 万元，乙产品每吨的利润为12 万元；但每天用煤不超过300 吨，电力不超过200 千瓦时，劳力只有 300 个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、 y 吨，利润总额为z 万元，1 分则线性约束条件为15153001032005430049yxyxyxyx，4 分目标函数为z=7x+12y, 8 分作出可行域如图，10 分作出一组平行直线7x+12y=t, 当直线经过直线4x+5y=200 和直线 3x+10y=300 的交点 A(20，24)时，利润最大 . 12 分即生产甲、乙两种产品分别为20 吨、 24 吨时，利润总额最大，zmax=7 20+12 24=428（万元） . 答每天生产甲产品20 吨、乙产品24 吨，才能使利润总额达到最大. 14 分Z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页1.（2008 浙江理， 17）若 a0 ，b0 ，且当1,0,0yxyx时，恒有 ax+by1 ，则以 a，b 为坐标的点 P（a，b）所形成的平面区域的面积等于. 答案1 2.（2008 全国理， 13）若 x，y 满足约束条件, 30,03,0xyxyx则 z=2x-y 的最大值为. 答案9 3.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000 个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300 个工作时 .又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15 元和 20 元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解依题意设每星期生产x 把椅子， y 张书桌，那么利润 p=15x+20y. 其中 x,y 满足限制条件yyxxyxyx, 0,030012000884. 即点 （x,y） 的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x+8y=8 000(即 AB)， 2x+y=1 300( 即 BC)， x=0(即OA) 和 y=0(即 OC）. 对于某一个确定的p=p0满足 p0=15x+20y,且点（x,y)属于阴影部分的解x,y 就是一个能获得p0元利润的生产方案 . 对于不同的p,p=15x+20y 表示一组斜率为 -43的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低 .按题意，要求p 的最大值，需把直线p=15x20y 尽量地往上平移，又考虑到x，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值 . 由30012000884yxyx,得 B（200，900） ，当 x=200,y=900 时， p 取最大值，即 pmax=15 200+20 900=21 000, 即生产 200 把椅子、 900 张书桌可获得最大利润21 000 元. NN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页一、填空题1.（2008 全国理， 5）设变量 x,y 满足约束条件 : ,2,22,xyxxy则 z=x-3y 的最小值为. 答案-8 2.若不等式组, 0, 22,0ayxyyxyx表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是. 答案0a1或 a343.已知平面区域D 由以 A（1，3） 、B（5，2） 、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m= . 答案1 4.（2008 山东理） 设二元一次不等式组0142080192yxyxyx，所表示的平面区域为M,使函数 y=ax（a0,a1) 的图象过区域M 的 a 的取值范围是. 答案2,95.如果实数x，y 满足102553034xyxyx,目标函数 z=kx+y 的最大值为12，答案2 6.（2007 江苏） 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A=(x,y)|x+y 1, 且 x0,y0, 则平面区域B=(x+y,x-y)|(x,y)A 的面积为. 答案1 7.（2008 安徽理， 15）若 A 为不等式组, 2,0,0xyyx表示的平面区域，则当a从-2 连续变化到 1 时，动直线x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为. 答案478.设集合 A=(x,y)|y |x-2|,x0, B=(x,y)|y -x+b,A B . (1)b 的取值范围是；（2）若 (x,y) AB,且 x+2y 的最大值为9,则 b 的值是. 答案 （1） 2,+) （2）29二、解答题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页9.已知实数x、y 满足033042022yxyxyx，试求 z=11xy的最大值和最小值. 解由于 z=11xy=) 1() 1(xy，所以 z 的几何意义是点（x,y）与点 M（-1，-1）连线的斜率，因此11xy的最值就是点（x，y）与点 M（-1，-1）连线的斜率的最值，结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即zmax=kMB=3，此时 x=0，y=2；zmin=kMC=21，此时 x=1 ，y=0. 10.已知变量 x,y 满足的约束条件为01033032yyxyx.若目标函数z=ax+y( 其中 a0)仅在点（3，0）处取得最大值，求a 的取值范围 . 解依据约束条件，画出可行域. 直线 x+2y-3=0 的斜率 k1=-21,目标函数z=ax+y(a0)对应直线的斜率k2=-a,若符合题意，则须k1k2,即-21-a,得 a21. 11.两种大小不同的钢板可按下表截成A,B,C 三种规格成品 : 某建筑工地需A，B，C 三种规格的成品分别为15，18，27 块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小. 解设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数为z 张， z=x+y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页约束条件为：ZZyyxxyxyxyx,0,0273182152作出可行域如图所示：令 z=0，作出基准直线l:y=-x, 平行移动直线l 发现在可行域内，经过直线x+3y=27 和直线 2x+y=15 的交点A539,518可使z 取最小，由于539,518都不是整数，而最优解（x,y）中， x,y 必须都是整数，可行域内点A539,518不是最优解；通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A539,518点距离最近的直线是x+y=12, 经过的整点是 B(3,9) 和C（4，8） ，它们都是最优解. 答要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3 张，第二种钢板9 张；第二种截法是截第一种钢板4 张，第二种钢板8 张；两种方法都最少要截两种钢板共12 张. 12.在 R 上可导的函数f(x)= 31x3+21ax2+2bx+c,当 x(0,1)时取得极大值 ,当 x(1,2)时取得极小值 ,求点 (a,b)对应的区域的面积以及12ab的取值范围 . 解函数f(x) 的导数为f(x)=x2+ax+2b,当 x(0,1)时,f(x) 取得极大值,当 x(1,2)时,f(x) 取得极小值 ,则方程x2+ax+2b=0 有两个根 ,一个根在区间 (0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f(x)=x2+ax+2b 的图象与方程x2+ax+2b=0 根的分布之间的关系可以得到0)2(0) 1(0)0(fff020120babab, 在 aOb 平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为ABD( 不包括边界 ),如图阴影部分 ,其中点 A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0), ABD 的面积为SABD=21|BD| h=21(h 为点 A 到 a 轴的距离 ). 点 C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为12ab, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页显然12ab(kCA,kCB),即12ab1 ,41. 7.4 基本不等式 :ab2ba1.已知 a0,b0，a1+b3=1，则 a+2b 的最小值为. 答案7+262.（2009 常州武进区四校高三期中联考）若 x,yR+，且 x+4y=1, 则 x y的最大值是. 答案1613.已知 x0,y0，x,a,b,y 成等差数列， x,c,d,y 成等比数列，则cdba2的最小值是. 答案4 4.x+3y-2=0 ，则 3x+27y+1 的最小值为. 答案7 5.（2008 江苏， 11）x,y,zR+，x-2y+3z=0,xzy2的最小值是. 答案3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页例 1 已知 x0,y0,z0. 求证：xzxyyzyxzyzx8.证明x0,y0,z0, xy+xzxyz20, yx+yzyxz20. zx+zyzxy20, xzxyyzyxzyzxxyzxyxzyz8=8. （当且仅当x=y=z 时等号成立）例 2 （1）已知 x0,y0，且x1+y9=1,求 x+y 的最小值；（2）已知 x45,求函数 y=4x-2+541x的最大值；（3）若 x,y(0,+ )且 2x+8y-xy=0 ，求 x+y 的最小值 . 解（1） x0,y0,x1+y9=1, x+y=(x+y)yx91=xy+yx9+106+10=16.当且仅当xy=yx9时，上式等号成立，又x1+y9=1,x=4,y=12 时， (x+y)min=16. （2） x45,5-4x0, y=4x-2+541x=-xx45145+3 -2+3=1, 当且仅当 5-4x=x451,即 x=1 时，上式等号成立，故当 x=1 时， ymax=1. (3)由 2x+8y-xy=0, 得 2x+8y=xy, y2+x8=1, x+y=(x+y)yx28=10+xy8+yx2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 32 页=10+2yxxy410+22yxxy4=18, 当且仅当xy4=yx,即 x=2y 时取等号，又 2x+8y-xy=0, x=12,y=6, 当 x=12,y=6 时， x+y 取最小值 18. 例 3 （14 分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示） ，如果池四周围墙建造单价为400 元/米，中间两道隔墙建造单价为248 元/米，池底建造单价为80 元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计. （1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价 . 解（1）设污水处理池的宽为x 米，则长为x162米. 1分则总造价 f(x)=400 xx16222+248 2x+80 162 =1 296x+x1002961+12 960 =1 296xx100+12 960 4分1 296 2xx100+12 960=38 880（元），当且仅当 x=x100(x0), 即 x=10 时取等号 . 6分当长为 16.2 米，宽为 10 米时总造价最低，最低总造价为38 880 元. 8分（2）由限制条件知161620160xx,1081 x16. 10分设 g(x)=x+x100168110x. g（x）在168110,上是增函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 32 页当 x=1081时(此时x162=16), g(x)有最小值，12分即 f(x)有最小值 . 1 296 818008110+12 960=38 882(元). 当长为 16 米，宽为 1081米时，总造价最低，为38 882 元. 14分1.已知 ,a,b,c 均为正数，且a+b+c=1. 求证：a1+b1+c19.证明a1+b1+c1= acba+bcba+ccba=3+baab+caac+cbbc3+2+2+2=9.当且仅当 a=b=c=31时取等号 . 2.若-4x1,求22222xxx的最大值 . 解22222xxx=211112xx=21111xx=-21111xx-4x1,-(x-1) 0,11x0. 从而111xx2-21111xx -1 当且仅当 -(x-1)= 11x，即 x=2（舍）或 x=0 时取等号 . 即max22222xxx=-1. 3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米 /小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米 /小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为 a 元. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v(千米 /小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解（1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs，全程运输成本为y=(a+bv2) vs=sbbvav,v（ 0,c. （2）依题意，有s,b,a,v 都是正数 . 因此 y=sbbvav2 sab ; 若ba c,则当且仅当v=bvav=ba时,y 取到最小值 . 若ba c,则 y 在（ 0，c上单调递减，所以当 v=c 时， y 取到最小值 . 综上所述，为了使全程运输成本最小，当ba c 时，行驶速度应该为v=ba；当ba c 时，行驶速度应该为v=c. 一、填空题1.若不等式x2+ax+40 对一切 x（ 0，1恒成立，则a 的取值范围是. 答案a -5 2.（2008 江苏） x,y,zR+，x-2y+3z=0,xzy2的最小值为. 答案3 3.已知 0x1，则 x(3-3x) 取得最大值时x 的值为. 答案214.（2008 栟茶中学模拟）若直线 2ax+by-2=0 （a,bR+）平分圆 x2+y2-2x-4y-6=0 ，则a2+b1的最小值是. 答案3+225.函数 y=log2x+logx(2x)的值域是. 答案（-，-1 3，+）6.某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买x 吨，运费为 4 万元 /次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨. 答案20 7.（2008 徐州调研） 若实数 a,b 满足 ab-4a-b+1=0 (a1),则(a+1)(b+2)的最小值为. 答案27 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页8.若 a,b 是正常数， a b,x,y(0,+ )，则xa2+yb2yxba2,当且仅当xa=yb时上式取等号 .利用以上结论，可以得到函数f(x)=x2+ x219210,x的最小值为，取最小值时x 的值为. 答案25 51二、解答题9.（1）已知 0x34，求 x(4-3x) 的最大值；（2）点 (x,y) 在直线 x+2y=3 上移动，求 2x+4y的最小值 . 解（1）已知 0x34,03x4. x(4-3x)=31(3x)(4-3x ) 3122343xx=34当且仅当 3x=4-3x,即 x=32时“=”成立 . 当 x=32时， x(4-3x ）的最大值为34. （2）已知点 (x,y) 在直线 x+2y=3 上移动，所以x+2y=3. 2x+4y2yx42=2yx22=232=42 . 当且仅当3242yxyx，即 x=23,y=43时“=”成立 . 当 x=23,y=43时， 2x+4y的最小值为42 . 10.已知 a、b（ 0，+） ，且 a+b=1,求证：(1)a2+b221; (2)21a+21b8;(3)21aa+ 21bb225; (4) aa1bb1425. 证明由,ba,abba12a、b（ 0，+） ，得ab 21ab41ab14.（当且仅当a=b=21时取等号）(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1 -2 41=21，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 32 页a2+b221. (2)21a+21bab28, 21a+21b8.(3)由(1)、(2)的结论，知21aa+ 21bb=a2+b2+4+21a+21b21+4+8=225,21aa+ 21bb225. (4) aa1bb1=ab+ba+ab+ab1=ab+ba+21abab+22+2212+2=425. 11.设 a0,b0,a+b=1. （1）证明： ab+ab1441; (2)探索猜想，并将结果填在以下括号内：a2b2+221ba （） ；a3b3+331ba （） ；（3）由（ 1） （2）归纳出更一般的结论，并加以证明. （1）证明方法一ab+ab14414a2b2-17ab+40(4ab-1)(ab-4) 0.ab=(ab )222ba=41, 4ab1 ，而又知 ab414, 因此（ 4ab-1）(ab-4)0 成立，故 ab+ab1441. 方法二ab+ab1=ab+ab241+ab2415，ab22ba=41，ab14 ，ab2415415. 当且仅当 a=b=21时取等号 . 又 ab+ab2412abab241=21，当且仅当 ab=ab241，即ab1=4,a=b=21时取等号 . 故 ab+ab142+415=441（当且仅当a=b=21时，等号成立）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 32 页（2）解猜想：当 a=b=21时，不等式 a2b2+221ba( )与 a3b3+331ba( )取等号，故在括号内分别填16161与 64641. （3）解由此得到更一般性的结论：anbn+nnba14n+n41. 证明如下：ab22ba=41,ab14.anbn+nnba1=anbn+nnnba241+nnnnba224142nnnnnbaba241+nn22414 4n=n42+nn4142=4n+n41，当且仅当 ab=41,即 a=b=21时取等号 . 12.某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量 x(单位：件， xN*，1 x96) 的关系如下：又知每生产一件正品盈利a(a 为正常数 )元，每生产一件次品就损失3a元. （注：次品率p=产品总数次品个数 100%，正品率 =1-p) （1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x 的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解（1）依题意可知：p=x1003(1 x96, xN*), 日产量 x 件中次品有xp 件，正品有x-px 件，日盈利额 T=a(x-px)-3apx=axxx1004. (2)T=axxx1004=axxx1004001004=axx1004004=axx100400100104 a(104-2400 )=64a，所以当 100-x=20，即 x=80 时， T 最大 . 因此日产量为80 件时，日盈利额T 取最大值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 32 页单元检测七一、填空题 （本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分）1.已知集合M=x|x24,N=x|x2-2x-30, 则集合 M N= . 答案x|-1 x2 2.已知 a0,b0,a,b的等差中项是21，且 m=a+a1,n=b+b1，则 m+n 的最小值是. 答案5 当且仅当 a=b=21时取等号 . 3.已知 x45，则函数 y=4x+541x的最小值为. 4.若 x,y 是正数，则221yx+221xy的最小值是. 答案4 5.（2009 东海高级中学高三调研）函数 y=a1-x (a0,a1) 的图象恒过定点A，若点 A 在直线 mx+ny-1=0 (mn 0)上，则m1+n1的最小值为. 答案4 6.设函数 f(x)=23222xxxxx，若 f(x0)1,则 x0的取值范围是. 答案(0,2)(3,+ )7.若不等式组2005xayyx表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是. 答案5 a7 8.一批救灾物资随26 辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达400 km 外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 32 页间距不得小于220vkm,则这批物资全部运送到灾区最少需h. 答案10 9.函数 f(x)=111xxx，则不等式xf(x)-x 2 的解集为. 答案-1，210.（2008 江西文） 已知函数f(x)=2x2+(4-m)x+4-m,g(x)=mx ，若对于任一实数x,f(x) 与 g(x)的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是. 答案（-，4）11.若方程 x2-2ax+4=0 在区间（ 1，2上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是. 答案252,12.（2008 苏中三市质检）若不等式x2-2ax+a0 对 xR 恒成立，则关于t 的不等式a2t+1a322tt的解集为. 答案(-2,2) 13.已知052053052yxyxyx，则 (x+1)2+(y+1)2的最小值和最大值分别是. 答案13,41 14.对于 0 m4的 m，不等式 x2+mx4x+m-3 恒成立，则x 的取值范围是. 答案x-1 或 x3 解析x2-4x+3+m(x-1) 0, 即(x-1)(x-3+m) 0 对 0 m4恒成立，13, 1minmxx或.33, 1maxmxxx-1 或 x3. 二、解答题 （本大题共6 小题，共 90 分）15.（2008 石家庄模拟）（14 分）已知 a=(1,x),b=(x2+x,-x),m 为常数且 m -2,求使不等式a b+2m12ba成立的 x 的范围 . 解a=（1，x） ，b=（x2+x，-x） ，a b=x2+x-x2=x. 由 a b+2m12bax+2m12x(x+2)-mxx20 x(x+2)(x-m) 0(m -2). 当 m=-2 时，原不等式x(x+2)20x0; 当 m-2 时，原不等式mx-2 或 x0. 综上，得 m=-2 时， x 的取值范围是（ 0，+） ；m-2 时，x 的取值范围是（m，-2）（ 0，+）. 16.(2008 苏南四市模拟 )（14 分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x),g(x) 以及任意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 32 页的 x0 ，当甲公司投入x 万元做宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x) 万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元做宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险. （1）试解释 f(0)=10,g(0)=20 的实际意义；（2）设 f(x)= 41x+10,g(x)=x +20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？解（1）f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入10 万元宣传费； g（0）=20 表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入 20 万元宣传费 . （2）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当201041yygx,xxfy时，双方均无失败的风险. 由得 y41(y +20)+10, 即 4y-y -600,即(y -4)(4y +15)0.y 0, 4y +150. y 4. y16. x y +204+20=24.xmin=24,ymin=16, 即在双方均无失败风险的情况下，甲公司至少要投入24 万元，乙公司至少要投入16 万元. 17.（14 分）函数 f(x) 对一切实数x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且 f(1)=0. （1）求 f(0); (2)求 f(x); (3)不等式 f(x) ax-5 当 0x2 时恒成立，求a 的取值范围 . 解（1）令 x=1,y=0, 得 f(1+0)-f(0)=(1+20+1) 1=2, f(0)=f(1)-2=-2. (2)令 y=0,f(x+0)-f(0)=(x+20+1) x=x2+x, f(x)=x2+x-2. (3)f(x)ax-5 化为 x2+x-2ax-5, axx2+x+3,x(0,2), axxx32=1+x+x3. 当 x(0,2)时， 1+x+x31+2 3 ,当且仅当 x=x3,即 x=3 时取等号，由3 (0,2)， 得m i n31xx=1+23 . a1+23 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 32 页18.（16 分）设 f(x) 是定义域为（ -，0）（ 0，+）上的奇函数且在（-,0 ）上为增函数 . （1）若 m n 0,m+n0, 求证： f(m)+f(n )0;(2)若 f(1)=0, 解关于 x 的不等式 f(x2-2x-2)0. （1）证明m n0,m+n0 ， m、n 一正一负 . 不妨设 m0,n0,则 n -m0.取 n=-m0, 函数 f(x)在（ -,0 ）上为增函数，则 f(n)=f(-m) ；取 n-m0，同理f(n)f(-m) f(n) f（-m）. 又函数 f(x)在（ -,0 ） (0,+ )上为奇函数，f(-m)=-f(m). f(n)+f(m )0.（2）解f（1）=0，f(x)在（ -,0） (0,+ )上为奇函数，f(-1)=0 ，原不等式可化为12202222fxxfxx或12202222fxxfxx. 易证： f(x)在（ 0,+ ）上为增函数 . 12202222xxxx或12202222xxxx. x2-2x-30 或01202222xxxx. 解得 x3 或 x-1 或21213131xxx或. 不等式的解集为（- ，-1）（ 1-3 ，1-2 ）（ 1+2 ，1+3 ）（ 3，+）. 19.（16 分）某厂家拟在2008 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m0 ）满足 x=3-1mk(k 为常数 )，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1 万件 .已知 2008年生产该产品的固定投入为8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). （1）将 2008 年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家 2008 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大. 解（1）由题意可知当m=0 时， x=1（万件） , 1=3-kk=2.x=3-12m. 每件产品的销售价格为1.5xx168(元)，2008 年的利润 y=xxx.16851-(8+16x+m) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 32 页=4+8x-m=4+8123m-m =-1116mm+29(m0).（2） m0 时，116m+(m+1) 216 =8, y -8+29=21,当且仅当116m=m+1m=3(万元）时， ymax=21(万元） . 20.（16 分）已知点 M（x1,f(x1)）是函数 f(x)=x1,x(0,+) 图象 C 上的一点，记曲线C 在点 M 处的切线为 l. （1）求切线 l 的方程；（2）设 l 与 x 轴， y 轴的交点分别为A、B，求 AOB 周长的最小值 . 解（1）f(x)=-21x,k=f(x1)=-211x. 切线方程为y-11x=-211x(x-x1), 即 y=-211xx+12x. (2)在 y=-211xx+12x中，令 y=0 得 x=2x1, A(2x1,0).令 x=0，得 y=12x,B12,0x. AOB 的周长 m=2x1+12x+21212)2(xx. m=221211111xxxx,x1(0,+ ).令 t=x1+11x,x1(0,+ ), t2.当 t=2，即 x1=1 时， m最小=2(2+2 ). 故AOB 周长的最小值是4+22 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 32 页