学习必备精品知识点函数奇偶性知识梳理1. 奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数( )yf x的定义域为 D ，如果对 D 内的任意一个x，都有()( )fxf x，则这个函数叫 奇函数 .（2）偶函数：设函数( )yf x的定义域为 D ，如果对 D 内的任意一个x，都有()( )fxfx，则这个函数叫做 偶函数 . （3）奇偶性：如果函数( )f x是奇函数或偶函数，那么我们就说函数( )f x具有奇偶性 . （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（ 1）奇函数若在0x时有定义，则(0)0f（2）若( )0fx且( )f x的定义域关于原点对称，则( )f x既是奇函数又是偶函数2奇(偶)函数的基本性质(1) 对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称(2) 单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反3. 判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定 f(x)与 f(x)的关系；3作出相应结论：若 f(x) = f(x)或 f(x)f(x) = 0，则 f(x) 是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数例题精讲【例 1】若函数2( )f xaxbx是偶函数，求 b 的值. 解：函数f(x)ax2bx 是偶函数，f(x)f(x)ax2bx= ax2-bx.2bx=0. b0. 【例 3】已知函数21( )f xx在 y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一判断函数的奇偶性【例 4】判断下列函数的奇偶性. （1）2( )|(1)f xxx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备精品知识点（2）1( )f xxx；（3）( )|1|1|f xxx；（4）( )22f xxx；（5）22( )11f xxx（6）22,0( ),0xxxf xxxx解：（ 1）2( )|(1)f xxx的定义域为R，关于原点对称22()|()1 |(1)( )fxxxxxf x()( )fxf x，即( )f x是偶函数（2）1( )f xxx的定义域为|0x x由于定义域关于原点不对称故( )f x既不是奇函数也不是偶函数（3）( )|1|1|f xxx的定义域为R，关于原点对称f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|x1|x1|是奇函数（4）( )22f xxx的定义域为 2 ，由于定义域关于原点不对称，故( )f x既不是奇函数也不是偶函数（5）22( )11f xxx的定义域为 1，1，由(1)0f且( 1)0f，所以( )0f x所以( )f x图象既关于原点对称，又关于y 轴对称故( )f x既是奇函数又是偶函数（6）显然定义域关于原点对称当 x0 时， x0，f(x)x2x(xx2)；当 x0，f(x)xx2(x2x)即22(),0()(),0xxxfxxxx即()( )fxf x( )f x为奇函数题型二利用函数的奇偶性求函数值【例 2】若 f(x)是定义在R 上的奇函数， f(3)2，求 f(3)和 f(0)的值.解： f(x)是定义在R 上的奇函数，f(3)f(3)2，f(0)0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备精品知识点【例 5】已知 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，求 g(1). 解：由 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数得()( )fxf x，()( )gxg x所以 f(1)g(1)2 f(1)g(1)4 由消掉f(1)，得 g(1)3. 题型三利用函数的奇偶性求函数解析式【例 6】已知函数( )f x是定义在R 上的偶函数，当x0时，f(x)x3x2，当 x0 时，求 f(x)的解析式 . 解：当0x时，有0x所以3232()()()fxxxxx又因为( )f x在 R 上为偶函数所以32( )()f xfxxx所以当0x时，32( )f xxx. 【例 7】若定义在R 上的偶函数( )f x和奇函数( )g x满足( )( )xfxg xe，求( )g x. 解：因为( )f x为偶函数，( )g x为奇函数所以()( )fxf x，()( )gxg x因为( )( )xf xg xe所以()()xfxgxe所以( )( )xf xg xe由式消去( )f x，得( )2xxeeg x. 课堂练习仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1.函数( )11f xxx是（）A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数2.已知函数( )f x为奇函数，且当0x时，21( )f xxx，则( 1)f（）A.2 B.1 C.0 D.-2 3. f(x)为偶函数，且当x0 时，f(x)2 ，则当 x0 时，有（）Af(x) 2 Bf(x) 2 Cf(x) 2 D.f(x) R 4.已知函数 y=f（x）是偶函数， y=f（x2）在 0，2上是单调减函数，则（）A.f（0）f（1）f（2）B.f（1）f（0）f（2）C.f（1）f（2）f（0）D.f（2）f（1）f（0）5.已知函数 f（x）=ax2bxc（a0 ）是偶函数，那么g（x）=ax3bx2cx是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数6.定义在 R 上的奇函数 f（x）在（0，+）上是增函数，又 f（3）=0，则不等式 xf（x）0 的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备精品知识点解集为（）A.（3，0） （0，3）B.（，3） （3，+）C.（3，0） （3，+）D.（，3） （0，3）7.若 f(x) 在5,5上是奇函数，且f(3)f(1) ，则下列各式中一定成立的是() Af(1)f(1) Cf(2)f(3) Df(3)f(5) 8. 设 f(x) 在2，1上为减函数，最小值为3，且 f(x) 为偶函数，则 f(x)在1,2 上() A为减函数，最大值为3 B为减函数，最小值为 3 C为增函数，最大值为 3 D为增函数，最小值为3 9. 下列四个函数中，既是偶函数又在(0，) 上为增函数的是 () Ayx3 Byx21 Cy|x| 1 Dy2|x| 10. 若函数 f(x) (x1)(x a)为偶函数，则 a() A1 B1 C0 D不存在11. 偶函数 yf(x)的图象与 x 轴有三个交点，则方程f(x)0 的所有根之和为 _12. 如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小 . 13. 已知函数( )(0)pf xxm px是奇函数，求m的值. 14. 已知 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)x2x2，求 f(x)，g(x)的表达式x y O 3 2 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备精品知识点15.定义在 (1,1)上的奇函数 f(x)是减函数，且 f(1a)f(1a2)0，求实数 a 的取值范围16.函数 f(x)axb1x2是定义在 (1,1)上的奇函数，且 f1225，求函数 f(x)的解析式17. 判断函数1( )(1)1xf xxx的奇偶性 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页