1 解三角形导学案一、 知识点复习1、正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）12sin,2sin,2sinaRA bRB cRC（）(边化角公式）2 sin,sin,sin222abcABCRRR（ ）(角化边公式）3:sin:sin:sina b cABC（ ）sinsinsin(4),sinsinsinaA aA bBbB cCcC2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知 a，b 和 A，求 B 时的解的情况 :如果 sinAsinB，则 B 有唯一解；如果 sinAsinB1，则 B 无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。5、常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21（两边夹一角）；6、三角形中常用结论（1）,(abc bca acb 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）（3） 在 ABC中 ，A+B+C= ， 所 以 sin(A+B)=sinC ； cos(A+B)= cosC； tan(A+B)= tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页2 二、典型例题题型 1 边角互化例 1 在ABC中，若7:5:3sin:sin:sinCBA，则角 C 的度数为【解析】由正弦定理可得 a:b:c=3:5:7，,令 a、b、c 依次为 3、5、 7，则 cosC=2222abcab=22235723 5=12因为 0Cpp，所以 C=23题型 2 三角形解的个数 例 3 在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】A、7a，14b，30A；B、25b，30c，150C；C、4b，5c，30B；D、6a，3b，60B。题型 3 面积问题 例 4 ABC 的一个内角为 120，并且三边构成公差为4 的等差数列，则ABC 的面积为【解析】设 ABC 的三边分别： x4、x、x4，C=120 ，由余弦定理得： x42 =x42 x2 2 x4 x cos120 ，解得： x=10 ABC三边分别为 6、10、14。113sin6 1015 3222ABCSabCV题型 4 判断三角形形状例 5 在ABC 中，已知2222() sin()() sin()abABabAB, 判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一：22sin()sin()sin()sin()aABABbABAB222cossin2cossinaABbBA由正弦定理，即知22sincossinsincossinAABBBAsinsin(sincossincos)0ABAABBsin2sin2AB由02 ,22ABpp，得 22AB或 22AB即ABC 为等腰三角形或直角三角形方法二： 同上可得222cossin2cossinaABbBA由正、余弦定理，即得：2222222222bcaacba bb abcac22222222()()abcabacb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页3 即22222()()0abcabab或222cab即ABC 为等腰三角形或直角三角形【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、 余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用 例 6 在ABC 中，, ,a b c分别为角 A，B，C的对边，且sinsinsin()ACpB pR且214acb（1）当5,14pb时，求,a c的值；（2）若角 B为锐角，求 p 的取值范围。【解析】 （1）由题设并由正弦定理，得51,44acac，解得，11,4ac或1,14ac（2）由余弦定理，2222cosbacacB=2222211()22coscos22acacacBp bbbB即231cos22pB，因为 0cos1Bpp，所以23(,2)2p，由题设知0p f，所以622ppp三、课堂练习：1. 在ABC 中，若),(41222cbaS则角 C= 2. 设 R是ABC外接圆的半径，且BbaCARsin)2()sin(sin222，试求ABC面积的最大值。3、在ABC 中，D为边 BC上一点， BD=33 ，135sin B，53cosADC，求 AD 。4. 在ABC 中，已知, ,a b c分别为角 A，B，C的对边，若coscosaBbA，试确定ABC 形状。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页4 5.在ABC 中，, ,a b c分别为角 A，B，C的对边，已知cos2cos2cosACcaBb（1）求sinsinCA；（2）若1cos,2,4Bb求ABC 的面积。四、课后作业1、在ABC 中，若bcacbcba3)(，且CBAcossin2sin，则ABC 是A、等边三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形2、ABC 中若面积 S=)(41222cba则角 C= 3 4、ABC的三个内角为 ABC、 、，求当 A 为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。5、在ABC 中，, ,a b c分别为角 A，B，C的对边，且满足sincoscAaC（1）求角 C的大小（2）求3 sincos()4AB的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页