第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 本章内容本章内容 4.1 波动方程波动方程 4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定理电磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 时谐电磁场时谐电磁场1第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写4.1 波动方程波动方程 在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有质，则有 无源区的波动方程无源区的波动方程 波动方程波动方程 二二阶矢量微分方程，阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性揭示电磁场的波动性 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系间的相互作用关系 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 波动方程波动方程 问题的提出问题的提出电磁波动方程电磁波动方程2第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写同理可得同理可得 推证推证3第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写4第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 讨论内容讨论内容 位函数的性质位函数的性质 位函数的定义位函数的定义 位函数的规范条件位函数的规范条件 位函数的微分方程位函数的微分方程5第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。 引入位函数的意义引入位函数的意义 位函数的定义位函数的定义6第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 位函数的不确定性位函数的不确定性 满满足足下下列列变变换换关关系系的的两两组组位位函函数数 和和 能能描描述述同一个电磁场问题。同一个电磁场问题。为任意可微函数为任意可微函数 原因：未规定原因：未规定 的散度的散度7第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写8第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写库仑条件库仑条件 洛伦兹条件洛伦兹条件 位函数的规范条件位函数的规范条件 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得的散度使位函数满足的方程得以简化。以简化。9第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 位函数的微分方程位函数的微分方程10第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写同样同样11第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 说明说明 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点具有什么特点? 问题问题 应用洛仑兹条件的特点：应用洛仑兹条件的特点： 位函数满足的方程在形式上是对称位函数满足的方程在形式上是对称 的的，且且比比较较简简单单，易易求求解解； 解解的的物物理理意意义义非非常常清清楚楚，明明确确地地 反映出电磁场具有有限的传递速度；反映出电磁场具有有限的传递速度； 矢量位只决定于矢量位只决定于J，标，标 量位只决定于量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出这对求解方程特别有利。只需解出A，无需，无需 解出解出 就可得到待求的电场和磁场。就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用用不不同同的的规规范范条条件件，矢矢量量位位A和和标标量量位位 的的解解也也不不相相同同，但但最最终终 得到的电磁场矢量是相同的。得到的电磁场矢量是相同的。12第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写4.3 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 讨论内容讨论内容 坡印廷定理坡印廷定理 电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系 坡印廷矢量坡印廷矢量13第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写电场能量密度能量密度：磁磁场能量密度能量密度：电磁能量密度磁能量密度：空空间区域区域V中的中的电磁能量磁能量： 电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系14第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 进入体积进入体积V的能量体积的能量体积V内增加的能量体积内增加的能量体积V内损耗的能量内损耗的能量 特特点点：当当场场随随时时间间变变化化时时，空空间间各各点点的的电电磁磁场场能能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动 电磁能量守恒关系：电磁能量守恒关系：15第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 其中其中： 单位时间内体积单位时间内体积V 中所增加中所增加 的电磁能量的电磁能量 单位时间内电场对体积单位时间内电场对体积V中的电流所作的功；中的电流所作的功； 在导电媒质中，即为体积在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率内总的损耗功率 通过曲面通过曲面S 进入体积进入体积V 的电磁功率的电磁功率 表征电磁能量守恒关系的定理表征电磁能量守恒关系的定理积分形式积分形式： 坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式：16第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 将以上两式相减，得到将以上两式相减，得到 推证推证17第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有化时，则有18第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式：19第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写在在任任意意闭闭曲曲面面S 所所包包围围的的体体积积V上上，对对上上式式两两端端积积分分，并并应应用用散散度度定定理理，即即可可得得到到坡坡印印廷廷定定理理的的积分形式积分形式 物理意义：物理意义：单单位位时时间间内内，通通过过曲曲面面S 进进入入体体积积V的的电电磁磁能能量量等等于于体体积积V 中中所所增增加加的的电电磁磁场场能能量量与与损损耗耗的的能能量量之之和。和。20第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 定义：定义： ( W/m2 ) 物理意义物理意义： 的方向的方向 电磁能量传输的方向电磁能量传输的方向 的大小的大小 通过垂直于能量传输方通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率向的单位面积的电磁功率 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量物理量 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）21第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 例例4.3.1 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径、外导体的内半径为为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过的电流为，导体中流过的电流为I 。（。（1）在导体为理想导体的）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导）当导体的电导率率为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。内导体的功率。同同轴线22第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 解：解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为外导体之间的电场和磁场分别为内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量23第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负载，如图所示。即由电源向负载，如图所示。穿过任意横截面的功率为穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）（理想导体情况）24第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 （2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，导体内为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场部存在沿电流方向的电场内内在内导体表面上电场的切向分量连续，即在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为因此，在内导体表面外侧的电场为内同同轴线中的中的电场、磁、磁场和坡印廷矢量和坡印廷矢量（非理想（非理想导体情况）体情况）25第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写磁场则仍为磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为内导体表面外侧的坡印廷矢量为26第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写式中式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。进入每单位长度内导体的功率为进入每单位长度内导体的功率为由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。向分量，如图所示。 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。27第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写4. 4 惟一性定理惟一性定理 在以闭曲面在以闭曲面S为边界的有界区域内为边界的有界区域内V，如果给定如果给定t0时刻的电场强度和磁场强度时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t 0 时，区域时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。 惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。克斯韦方程的解的惟一问题。 惟一性问题惟一性问题28第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 惟一性定理的证明惟一性定理的证明 利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟内的解不是惟一的，那么至少存在两组解一的，那么至少存在两组解 、 和和 、 满足同样的满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令则在区域则在区域V 内内 和和 的初始值为零；在边界面的初始值为零；在边界面S 上电场强度上电场强度 的的切向分量为零或磁场强度切向分量为零或磁场强度 的切向分量为零，且的切向分量为零，且 和和 满足麦满足麦克斯韦方程克斯韦方程29第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写根据坡印廷定理，应有根据坡印廷定理，应有所以，得所以，得由于的初始值为零，将上式两边对由于的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得积分，可得根据根据 和和 的边界条件，上式左端的被积函数为的边界条件，上式左端的被积函数为30第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有（证毕）（证毕）即即 惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。应用。 31第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写4. 5 时谐电磁场时谐电磁场 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 时谐场的位函数时谐场的位函数 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量32第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。33第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 研究时谐电磁场具有重要意义研究时谐电磁场具有重要意义 在在工工程程上上，应应用用最最多多的的就就是是时时谐谐电电磁磁场场。广广播播、电视和通信的载波等都是时谐电磁场。电视和通信的载波等都是时谐电磁场。 任任意意的的时时变变场场在在一一定定的的条条件件下下可可通通过过傅傅立立叶叶分分析方法展开为不同频率的时谐场的叠加。析方法展开为不同频率的时谐场的叠加。34第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写4.5.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题得分析得以简化。数时谐电磁场问题得分析得以简化。 设设 是是一一个个以以角角频频率率 随随时时间间t t 作作正正弦弦变变化化的的场场量量，它它可可以以是是电电场场和和磁磁场场的的任任意意一一个个分分量量，也也可可以以是是电电荷荷或或电电流流等等变变量量，它与时间的关系可以表示成它与时间的关系可以表示成35第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写其中其中时间因子时间因子空间相位因子空间相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的um为振幅、为振幅、 为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。实数表示法或实数表示法或瞬时表示法瞬时表示法复数表示法复数表示法复振幅复振幅36第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写照此法，矢量场的各分量照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 各分量合成以后，电场强度为各分量合成以后，电场强度为 复矢量复矢量37第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场复数式只是数学表示方式，不代表真实的场 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式真实场是复数式的实部，即瞬时表达式 由由于于时时间间因因子子是是默默认认的的，有有时时它它不不用用写写出出来来，只用与坐标有关的部份就可表示复矢量只用与坐标有关的部份就可表示复矢量 有关复数表示的进一步说明有关复数表示的进一步说明38第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 例例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式复数形式（2）（1）39第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写解：解：（1）由于）由于所以所以40第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写（2）因为）因为 故故 所以所以 41第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 例例4.5.2 已知电场强度复矢量已知电场强度复矢量解解其中其中kz和和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量为实常数。写出电场强度的瞬时矢量42第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写以电场旋度方程以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得为例，代入相应场量的矢量，可得4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程43第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 略去略去“.”和下标和下标m44第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 例题例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为：已知正弦电磁场的电场瞬时值为式中式中试求：（试求：（1）电场的复矢量）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。）磁场的复矢量和瞬时值。45第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 解解：（1）因为）因为故电场的复矢量为故电场的复矢量为46第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写（2）由由复复数数形形式式的的麦麦克克斯斯韦韦方方程程，得得到到磁磁场场的的复复矢矢量量磁场强度瞬时值磁场强度瞬时值47第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写实际的介质都存在损耗：实际的介质都存在损耗： 导电媒质导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗当电导率有限时，存在欧姆损耗 电介质电介质受到极化时，存在电极化损耗受到极化时，存在电极化损耗 磁介质磁介质受到磁化时，存在磁化损耗受到磁化时，存在磁化损耗 损损耗耗的的大大小小与与媒媒质质性性质质、随随时时间间变变化化的的频频率率有有关关。一一些些媒媒质质的的损损耗耗在在低低频频时时可可以以忽忽略略，但但在在高高频频时时就就不不能忽略能忽略。4.5.3 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 48第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 导电媒质的等效介电常数导电媒质的等效介电常数 对对于于介介电电常常数数为为 、电电导导率率为为 的的导导电电媒媒质质，有有其其中中 c= -j/、称称为为导导电电媒媒质质的的等等效效介介电电常常数。数。49第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 电介质的复介电常数电介质的复介电常数 对对于于存存在在电电极极化化损损耗耗的的电电介介质质，有有 ，称称为为复复介介电电常常数数或或复复电电容容率率。其其虚虚部部为为大大于于零零的的数数，表表示示电电介介质质的的电电极极化化损损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质 对对于于同同时时存存在在电电极极化化损损耗耗和和欧欧姆姆损损耗耗的的电电介介质质，复复介介电电常常数数为为 磁介质的复磁导率磁介质的复磁导率 对对于于磁磁性性介介质质，复复磁磁导导率率数数为为 ，其其虚虚部部为为大大于于零的数，表示磁介质的磁化损耗。零的数，表示磁介质的磁化损耗。50第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 损耗角正切损耗角正切 工工程程上上通通常常用用损损耗耗角角正正切切来来表表示示介介质质的的损损耗耗特特性性，其其定定义义为为复介常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有复介常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有 导电媒质导电性能的相对性导电媒质导电性能的相对性 导导电电媒媒质质的的导导电电性性能能具具有有相相对对性性，在在不不同同频频率率情情况况下下，导导电电媒质具有不同的导电性能。媒质具有不同的导电性能。电介质电介质导电媒质导电媒质磁介质磁介质 弱导电媒质和良绝缘体弱导电媒质和良绝缘体 一般导电媒质一般导电媒质 良导体良导体51第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写4.5.4 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 理想介质理想介质 在在时时谐谐时时情情况况下下，将将 、 ，即即可可得得到到复复矢矢量量的的波波动动方程，称为亥姆霍兹方程。方程，称为亥姆霍兹方程。瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量52第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写导电媒质导电媒质53第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写4.5.5 时谐场的位函数时谐场的位函数 洛仑兹条件洛仑兹条件瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量54第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写达朗贝尔方程达朗贝尔方程55第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 时谐场中时谐场中二次式的表示方法二次式的表示方法 二二次次式式本本身身不不能能用用复复数数形形式式表表示示，其其中中的的场场量量必必须须是是实实数数形形式，不能将复数形式的场量直接代入。式，不能将复数形式的场量直接代入。 设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为 电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。关系，这种关系式称为二次式。56第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写则能流密度为则能流密度为 如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有先取实部，再代入先取实部，再代入 57第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写使用二次式时需要注意的问题使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数形式二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应先取实部再代入，即场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘先取实后相乘” 如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子58第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 二次式的时间平均值二次式的时间平均值 在在时时谐谐电电磁磁场场中中，常常常常要要关关心心二二次次式式在在一一个个时间周期时间周期 T 中的平均值，即中的平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量平均电场能量密度平均电场能量密度平均磁场能量密度平均磁场能量密度59第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 在在时时谐谐电电磁磁场场中中，二二次次式式的的时时间间平平均均值值可可以以直接由复矢量计算，有直接由复矢量计算，有60第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写则平均能流密度矢量为则平均能流密度矢量为 例例如如某某正正弦弦电电磁磁场场的的电电场场强强度度和和磁磁场场强强度度都都用用实数形式给出实数形式给出61第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写如果电场和磁场都用复数形式给出，即有如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 时间平均值与时间无关时间平均值与时间无关62第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 具具有有普普遍遍意意义义，不不仅仅适适用用于于正正弦弦电电磁磁场场，也也适适用用于于其其它它时时变变电电磁磁场场；而而 只只适适用用于时谐电磁场。于时谐电磁场。 利利用用 ，可可由由 计计算算 ，但但不不能能直直接接由由 计算计算 ，也就是说，也就是说 几点说明几点说明63第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 在在 中中， 和和 都都是是实实数数形形式式且且是是时时间间的的函函数数，所所以以 也也是是时时间间的的函函数数，反反映映的的是是能能流流密密度度在在某某一一个个瞬瞬时时的的取取值值；而；而 中中的的 和和 都都是是复复矢矢量量，与与时时间间无无关关，所所以以 也也与与时时间间无关，无关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。64第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 例例4.5.4已知无源的自由空间中，电磁场的电场强已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为度复矢量为 ，其中，其中k 和和 E0 为常数。求：为常数。求：（1）磁场强度复矢量）磁场强度复矢量H ；（；（2）瞬时坡印廷矢量）瞬时坡印廷矢量S ；（3）平均）平均坡印廷矢量坡印廷矢量Sav 。 解解：（1）由）由 得得65第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写（2）电场和磁场的瞬时值为）电场和磁场的瞬时值为瞬时坡印廷矢量为瞬时坡印廷矢量为66第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 （3）平均坡印廷矢量为）平均坡印廷矢量为或直接积分，得或直接积分，得67第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 例例4.5.5 已已知知真真空空中中电电磁磁场场的的电电场场强强度度和和磁磁场场强度矢量分别为强度矢量分别为解解:(1)其中其中E0、H0 和和 k 为常数。求：为常数。求：(1) w 和和 wav ；(2) S 和和 Sav。68第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写由于由于(2)所以所以69第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写例例4.5.6 已已知知截截面面为为 的的矩矩形形金金属属波波导导中中电电磁磁场的复矢量为场的复矢量为 式中式中H0 、都是常数。试求：（都是常数。试求：（1）瞬）瞬时坡印廷矢量；时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。）平均坡印廷矢量。70第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写 解解：（1） 和和 的瞬时值为的瞬时值为71第4章 时变电磁场时变电磁场电磁场与电磁波电磁场与电磁波王喜昌教授王喜昌教授编写编写（2）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量72