5.4.1 基本原理基本原理 针对线性控制系统，要设计前馈控制器，传统的针对线性控制系统，要设计前馈控制器，传统的方法是确定系统的闭环传递函数。采用建模方法难免方法是确定系统的闭环传递函数。采用建模方法难免产生较大的建模误差。目前在实际应用中，更多的是产生较大的建模误差。目前在实际应用中，更多的是采用实验测试建模方法，即频率特性方法，采用实验测试建模方法，即频率特性方法，通过频域通过频域辨识技术来确定闭环系统的传递函数。辨识技术来确定闭环系统的传递函数。5.4 闭环系统传递函数的辨识闭环系统传递函数的辨识 1 由闭环系统的正弦激励响应，通过最小二由闭环系统的正弦激励响应，通过最小二乘方法和乘方法和Bode图拟合来确定闭环系统的传递图拟合来确定闭环系统的传递函数。闭环系统测试框图如图函数。闭环系统测试框图如图1所示。所示。图图1 闭环系统测试框图闭环系统测试框图2设闭环系统输入指令信号为：设闭环系统输入指令信号为： (1) 其中其中 、 分别为输入信号的幅度和角频率。分别为输入信号的幅度和角频率。位置跟踪误差为：位置跟踪误差为：在闭环系统内，采用在闭环系统内，采用P控制，控制律为：控制，控制律为：3由于闭环系统是线性的，则其角位置输出可表示为：由于闭环系统是线性的，则其角位置输出可表示为： （2）其中其中 、 分别为系统输出的幅度和相角。分别为系统输出的幅度和相角。在时间域上取在时间域上取 ， 并设并设 4 由式（由式（2）和（）和（3）得：）得： （3） 由式（由式（3），根据最小二乘原理，可求出），根据最小二乘原理，可求出 、 的最小二乘解为：的最小二乘解为： （4） 对于角频率对于角频率 ，闭环系统输出信号的振幅和相移如下：，闭环系统输出信号的振幅和相移如下： （5） （6）5 由于相频为输出信号与输入信号相位之差，幅频为稳态输出振幅由于相频为输出信号与输入信号相位之差，幅频为稳态输出振幅与输入振幅之比的分贝表示。由于输入信号与输入振幅之比的分贝表示。由于输入信号 的相的相移为零，则闭环系统的相频和幅频为：移为零，则闭环系统的相频和幅频为： （7） （8）6 在待测量的频率段取角频率序列在待测量的频率段取角频率序列 ，对每个角频率，对每个角频率点，用上面方法计算相频和幅频，就可得到闭环系统的频率特性数据，利点，用上面方法计算相频和幅频，就可得到闭环系统的频率特性数据，利用用MatlabMatlab频域函数频域函数 和和 ，从而实现闭环系统的建模。，从而实现闭环系统的建模。 对于带有摩擦、干扰和重力等非线性因素的电机系统被控对象，无法对于带有摩擦、干扰和重力等非线性因素的电机系统被控对象，无法得到适合于闭环系统建模的频率特性数据，因此，无法对闭环系统进行辨得到适合于闭环系统建模的频率特性数据，因此，无法对闭环系统进行辨识，可通过摩擦补偿、干扰观测器、重力补偿器等方法，将系统转化为理识，可通过摩擦补偿、干扰观测器、重力补偿器等方法，将系统转化为理想的线性系统被控对象。想的线性系统被控对象。 如果实现了闭环系统的建模，则可以利用闭环系统传递函数构造前馈如果实现了闭环系统的建模，则可以利用闭环系统传递函数构造前馈控制器，实现高精度的前馈控制，这方面的研究已有许多，见文献控制器，实现高精度的前馈控制，这方面的研究已有许多，见文献1-51-5。75.4.2 仿真实例仿真实例 取对象的传递函数为：取对象的传递函数为： 采样周期取采样周期取1ms，即，即 。输入信号为幅度为。输入信号为幅度为 的正的正弦扫频信号弦扫频信号 ，频率的起始频率为，频率的起始频率为0.5Hz,终止频率为终止频率为8Hz，步长为，步长为0.5Hz，对每个频率点，在，对每个频率点，在 时，记录时，记录1000次数据。次数据。8 求出实际闭环系统在各个频率点的相频和幅频后，可写出闭环求出实际闭环系统在各个频率点的相频和幅频后，可写出闭环系统频率特性的复数表示，即系统频率特性的复数表示，即 。 取取 ，利用，利用Matlab函数函数 ，可得，可得到与复频特性到与复频特性 相对应的、分子分母阶数分别为相对应的、分子分母阶数分别为 和和 的的传递函数的分子分母系数传递函数的分子分母系数 和和 ，从而得到闭环系统辨识的，从而得到闭环系统辨识的传递函数。利用传递函数。利用Matlab函数函数 ，可得到分子分母，可得到分子分母阶数分别为阶数分别为 和和 的传递函数的传递函数 的复频表示，从而得到的复频表示，从而得到所拟合闭环系统传递函数的相频和复频。所拟合闭环系统传递函数的相频和复频。9 闭环系统采用闭环系统采用P控制控制,取取 。通过仿真，可得闭环系统。通过仿真，可得闭环系统的传递函数为：的传递函数为： 图图2为实际闭环系统频率特性及其拟合闭环系统频率特性的比较，为实际闭环系统频率特性及其拟合闭环系统频率特性的比较，图图3为实际闭环系统频率特性及其拟合闭环系统频率特性之差，即建模为实际闭环系统频率特性及其拟合闭环系统频率特性之差，即建模误差。可见，该算法能非常精确地求出闭环系统的幅频和相频误差。可见，该算法能非常精确地求出闭环系统的幅频和相频,从而可从而可以精确地实现闭环系统的建模。以精确地实现闭环系统的建模。10图2 实际传递函数与拟合传递函数的Bode图比较11图3 频率特性拟合误差曲线12闭环系统辨识仿真程序闭环系统辨识仿真程序chap5_5a.mchap5_5b.m13附：最小二乘参数辨识法附：最小二乘参数辨识法假设一个变量假设一个变量 与一组变量与一组变量 有线性关系，即有线性关系，即 （9）其中向量其中向量 是一组待辨识参数。是一组待辨识参数。假设在时刻假设在时刻 取得关于取得关于 和和 的的 次观测结果，采次观测结果，采用用 和和 、 、 、 ， 表示实测数表示实测数据，则有据，则有14上式可以用矩阵表示为：上式可以用矩阵表示为： (10)其中其中 ， ， 。在实际工程中在实际工程中, 实测数据实测数据 往往有误差。往往有误差。定义误差矢量定义误差矢量 ，令，令 (11)15误差性能指标为：误差性能指标为：则则求求 对对 的导数并令结果为零，作为使为最小的估计值的导数并令结果为零，作为使为最小的估计值 的条的条件。则有件。则有16可得可得解得的最小二乘估计值为：解得的最小二乘估计值为： (12)17