第二十二讲 ? 直角三角形 ?的再发现直角三角形 ? 是 一类特殊 ? 三角形，有着丰富的? 性质：两锐角互余? 、斜边的平方 ? 是 两直角边? 的 平方和、斜边中线等? 于斜边一半 ?、 30所对的直角 ? 边等于斜边 ? 一半等，在学习了相? 似 三角形的 ? 知识后，我们利用相? 似三角形法 ? ，能得到应用 ? 极为广泛的 ?结论如图，在 Rt ABC中， C=90， CD AB于 D，则有：1同一三角形? 中三边的平 ? 方关系： AB2=AC2+BC2， AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD22角的相等关?系：A= DCD ， B=ACD 3线段的等积?式：由面积得 AC BC=AB CD ；由 ACD CBD ABC ，得 CD2=AD BD ，AC2=AD AB ，BC2=BD AB 以直角三角 ? 形 为背景的 ? 几何问题，常以下列图? 形为载体，综合了全等? 三角形、相似三角形 ? 、等腰三角形 ? ，特殊四边形 ? 等 丰富的知 ?识注直角三角形 ? 被斜边上的 ?高分成的3 ?个直角三角 ? 形 相似，由此导出的? 等积式的特 ? 点是：一线段是两? 个 三角形的 ? 公共边，另两条线段? 在同一直线 ? 上，这些等积式? 广泛应用于 ? 与直角三角 ? 形问题的计 ? 算与证明中 ?例题求解【例 1】等腰三角形 ?A B C的底 ?边长为 8c ? m ， 腰长 5cm ? ， 一动点 P在?底 边上从 B ? 向 C以 0 25cm秒的速度移 ?动，当点 P运动 ?到P A与腰 ? 垂 直的位置 ? 时，点 P运动的 ?时间为 (江苏省常州 ?市 中考题 ) 思路点拨为求 BP需? 作出底边上 ? 的高，就得到与直? 角 三角形相 ? 关的基本图 ? 形，注意动态过 ? 程【例 2】如图，在矩形AB? C D中， AE BD于 E，S矩形 AB ?C D=40cm2 ? ，SABE：SDBA=1：5，则 AE的长 ?为( ) A4cm B5cm C6cm D 7cm (青岛市中考 ?题 )思路点拨从题设条件 ? 及基本图形 ?入 手，先建立 AB ? 、AD的等式 ?【例 3】 如图，在Rt ABC中， BAC 90， ABAC ，DB为 BC? 的中点， E为 AC上 ?一点，点 G在 BE ? 上，连结 DG并?延长交 AE? 于 F，若 FGE=45 (1) 求证： BD BC BG BE；(2) 求证： AG BE ；(3) 若 E为 AC? 的中点，求 EF：FD的值（盐城市中考 ? 题 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页思路点拨发现图形中 ? 特殊三角形 ? 、基本图形、线段之间的? 关 系是解本 ? 例的基础 (1)证明 GBD CBE ；(2) 证明 ABG EBA ；(3) 利用相似三 ?角 形，把求FDEF的值转化为 ? 求其他线段 ?的比值【例 4】如图， H、Q分别是正 ?方形 ABC?D的边 AB?、BC上的点 ?， 且 BH=BQ ，过 B 作 HC?的垂线，垂足为P求证： DP PQ (“祖冲之杯”邀请赛试题?)思路点拨因 BPQ+ QPC=90 ，要证 DP PQ ， 即证 QPC+ DPC=90 ，只需证 BPQ=DPC ，只要证明BPQ CPD即可 ?注题设条件有 ? 中点，图形中有与? 直角三角形 ? 相关的基本 ? 图形，给我们以丰? 富的联想，单独应用或 ? 组合应用可 ? 推出许多结 ? 论 因此，读者应不拘? 泥于给出的 ? 思路点拨，多角度探索?与思考，寻找更多更?好的解 法，以培养我们? 发散思的能 ?力 【例 5】已知 ABC中， BCAC ，CH是 AB? 边上的高，且满足BHAHBCAC22，试探讨 A与B的关系，井加以证明? (武汉市选拔 ?赛试题) 思路点拨由题设条件 ? 易想到直角 ? 三角形中的 ?基本图形、 基本结论，可猜想出A与B的关系，解题的关键? 是 综合运用 ? 勾股定理、比例线段的?性 质， 推导判定两 ? 个三角形相 ?似的条件注 构造逆命题 ? 是提出问题 ? 的一个常用 ? 方 法，本例是在直? 角三角形被 ? 斜 边上的高 ? 分成的相似? 三 角形得出 ? 结论基础上 ? 提出的一个 ? 逆命题，读者你能提? 出新的问题 ?吗? 并加以证明 ?学力训练1 如图，已知正方形?A B CD的? 边长是 1， P是 CD边 ?的中 点 ，点 Q在线段 ?B C上，当 BQ= 时，三角形AD? P与三角形 ?Q C P相似 ? (云南省中考 ?题 )2 如图， RtABC中， CD为斜边 ?A B上的高 ?， D FCB于 E，若 BE=6 ，CE=4 ，则AD= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3如图，平行四边形?A B C D中?， A B=2 ，BC=2 3，AC=4 ，过 AC的中 ?点O作 EF ? AC交 AD? 于 E ，交 BC于 F ? ，则 EF= ( 重庆市竞赛 ?题)4P是 RtABC的斜 ?边 B C上异 ?于B 、C的一点，过点P作直 ?线截ABC ，使截得的三 ?角形与ABC相似 ? ，满足这样条 ? 件的直线共 ?有( ) A 1 条 B 2 条 C3 条 D4 条 (2001年? 安徽省中考 ? 题) 5在 ABC中， AD是高，且AD2=BD CD ，那么 BAC的度 ?数 是( ) A 小于 90 B等于 90 C大于 90 D不确定6 如 图，矩形 ABC? D中，AB= 3 ，BC=3 ，AEBD于 E，则 EC=( ) A27 B 25 C 215 D2217如图，在矩形AB ? C D中， E是 CD的?中点，BE AC交 AC ?于 F，过 F 作 FG ? A B 交 AE ? 于 G ，求证： AG2AF FC8如图，在平行四边?形A BCD? 中， DBC 45， DE BC于 E，BFCD于 F，DE、BF相交于 ?H，BF、AD的延长 ?线相交于 G ? 求证； (1)AB=BH； (2)AB2=GA HE (青岛市中考 ? 题 ) 9如图，在 RtABC中， ACB 90，AD平分 CAB交 B ? C于点 D，过点 C作 C ?EAD于 E，CE的延长 ?线交 AB于?点F ，过点 E作 E ? G BC交 AB? 于 点 G，AE AD=16 ，AB=4 5(1) 求证： CE=EF ；(2) 求 EG的长 ? (河南省中考 ?题 )10如图，直角梯形A ? B CD中， A90， AC BD ，已知kADBC，则BDAC= ( 江苏省竞赛 ?题)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页11如图，在 Rt ABC中，两条直角边?A B 、AC的长分 ?别为 l 厘米 ?、 2厘米，那么直角的? 角 平分线的 ?长度等于厘米12如图，点D、E分别在 ABC的边 ?A C和 BC? 上，C90， DE AB，且 3DE=2AB ，AE=13，BD=9 ，那么 AB的?长 为 ( “我爱 数学”初中数学夏?令营试题) 13如图， ABC为等 ? 腰直角三角 ?形，C=90 ，若 AD=31AC ，CE=31BC ，则 1 与 2 的大小关?系是( ) A 12 B 12 C 1=2 D无法确定 (天津市竞赛 ?题 )14如图， ABC中， CD AB交 AB? 于点 D，有下列条件?： A=BCD ； A+BCD= ADC ；ACBCCDBD； BC2=BD BA 其中，一定能判断?A B C是直 ? 角三角形的 ?共有( ) A 0 个 B1 个 C2 个 D3 个 (2003年? 河南省竞赛 ?题)15如图，在直角梯形?A B C D中?， AB=7 ，AD=2 ，DC=3 ，如果边AD? 上的点 P使?得 以 P， A、D为顶点的 ? 三角形和以 ?P 、B、C为顶点的 ? 三角形相似 ? ，那么这样的 ?点 P有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个16如图，在RtABC中， ACB=90 ， CD是角平 ? 分线， DE BC交 AC ? 于点 E ， DF AC交BC? 于点 F求证： (1) 四边形 CE ? D F是正方 ?形；(2)CD2=AE BF (山东省竞赛 ?题 )17如图，在Rt ABC中， BCA=90 ， CD AB于 D，已知 RtABC的三 ? 边长都是整 ?数，且BD=113，求 RtBCD与 R ? tACD的周 ?长之比 ( 全国初中数 ?学联赛题) 18如图，在Rt ABC中， C=90， A的平分线 ?A D交 BC? 边于 D，求证：BDBCADAC222( 昆明市竞赛 ?题 )19如图，已知边长为?a 的正方形 ?A B CD ，在 AB 、AD上分别 ?取点 P 、S ，连结 PS ，将 RtSAP绕正 ?方形中心 O ?旋转 180 ? 得 RtQCR ，从而得四边? 形 PQRS?试判断四边 ?形P Q RS ?能否变化成 ?矩形?若能，设 PA= x，SA=y ，请说明 x 、y 具有什么 ?关系时，四边形 PQ? R S是矩形 ? ； 若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页不能，请说明理由? (山东省济南 ?市 中考题 ) 20如图，在ABC中， ACB 90 (1) 当点 D在斜 ?边A B内时 ? ，求证：ABBDADBCBDCD222； (2) 当点 D与点 ?A重合时， (1) 中的等式是 ?否存在?请说明理由 ?； (3) 当点 D在 B ? A的延长线 ? 上时， (1) 中的等式是 ?否存在?请说明理由 ?( 全国初中数 ?学 竞赛题 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页