学习必备欢迎下载函数及其表示【教学目标】1、理解映射、函数的定义、及二者的区别与联系，正确地求出函数的定义域和值域。2、能用不同的方法表示一个函数，及灵活地求函数的解析式。【重点难点】重点：函数的定义、定义域、值域及求解其解析式的方法。难点：求解函数的解析式。【教学内容】1、引入：1755 年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量， 即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度。他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。1821 年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。 ”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。2、映射的定义设 A 和 B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B 中都存在唯一的一个元素y与之对应，那么，就称对应BAf :为集合 A到集合 B 的一个映射 (mapping). 映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。包括： 一对一多对一注意：f为某种对于关系集合 A 中的 任意 元素（即所有元素）集合 B 中都存在 唯一 元素3、函数的定义设 A 和 B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都存在唯一确定的数y与之对应，那么，就称对应BAf :为集合 A 到集合 B 的一个函数。记作Axxfy),(。其中x叫自变量，x的取值范围A 叫函精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载数的定义域；而与x的值相对应的y 值叫函数值，函数值的集合Axxf叫做函数的值域。函数是特殊的映射，是非空数集A 到非空数集B 的映射。那么函数的值域与集合B 的关系呐？函数的三要素：（ 1）定义域（2）值域（ 3）对应关系。这是判断两个函数是否为同一函数的依据。注意：函数是特殊的映射函数的三要素区间的概念：设Rba,且ba.我们规定：bxaxba),(bxaxba,bxaxba),bxaxba,(axxa),(axxa),bxxb),(bxxb,(R),(4、函数的表示方法三种表示方法： （1）解析法（2）图像法（3）列表法分段函数 ：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。注意 ：分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。小结： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)(xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消除参的方法求出)(xf。【例题讲解】例 1 设cbaM,，2, 0,2N, 求（ 1）从 M 到 N 的映射种数； （2）从 M 到 N 的映射满足)()()(cfbfaf, 试确定这样的映射f的种数 .例 2 已知521)(xxf，xxxg22)(,求)(),(),(),(piggBAfgaf. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载例 3 已知函数15222)(2xxxxf， 求（1） 函数的定义域； （2）)2(f、)6(f的值； （3）当0a时，求)1(),(afaf。例 4已知：*,xN5(6)( )(2)(6)xxf xf xx，求)3(f的值。例 5 根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知( )f x是二次函数，若(0)0,(1)( )1ff xfxx，求( )f x. （2）已知(1)2fxxx，求( )f x（3）若( )f x满足1( )2 (),f xfaxx求( )f x【过手练习】1、下列函数是否是同一个函数：（1）332)(,)(xxgxxf（2）;01,01)(,)(xxxgxxxf（3）12)(, 12)(22tttgxxxf2、已知函数( )f x的定义域为 1 ,0，则函数(1)f x的定义域为3、求函数2( )46yf xxx，则1,5)x的值域为4、已知函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，则)(xf【拓展训练】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载1、已知函数( )f x满足：()( )( )f abf af b，(1)2f，则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)ffffffffffff .2、已知xyx62322，试求22yx的最大值。3 、 设( )f x是R 上 的 函 数 ， 且 满 足(0)1,f并 且 对 任 意 的 实 数, x y都 有()()( 21fxyfxyxy，求( )f x的表达式 .【课后作业】1.（1）已知集合20,40yyBxxA，下面从A 到 B 的对应关系f不是映射的是（）A.xyxf21:B.xyxf31:C.xyxf32:D.281:xyxf（2）已知函数Fxxf),(，那么集合1),(),(),(xyxFxxfyyx中所含元素的个数是（） A.0 B.1 C.0或 1 D.1或 2 （3） （2009 江西卷文）函数234xxyx的定义域为（）A 4,1B 4, 0)C(0,1D 4, 0)(0,12.函数xxy213，求其定义域和值域. 3.回忆映射、函数的概念并写出二者的区别：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载4.(1)已知二次函数)(xf满足564) 12(2xxxf，求)(xf。(2)已知3)(2xxxf，求：)1(xf， f(x1)的值；(3)若(12fxxx）,求函数(xf）的解析式；5.设函数2( )2()g xxxR，)()()(4)()(xgxxxgxgxxxgxf，则( )f x的值域 . 6.已知函数3231( )3xf xaxax的定义域为，求实数a的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页