优秀学习资料欢迎下载第十三章空间向量1理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘2了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直第 1 课时空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广本节知识点是：1空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有和的量(2) 向量相等：方向且长度(3) 向量加法法则：(4) 向量减法法则：(5) 数乘向量法则：2线性运算律(1) 加法交换律：ab(2) 加法结合律：(ab)c(3) 数乘分配律：(ab)3共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或基础过关知识网络考纲导读高考导航空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载(2) 共线向量定理： 对空间任意两个向量a、 b(b0)， ab 等价于存在实数， 使(3) 直线的向量参数方程：设直线 l 过定点 A 且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点 P 在 l 上等价于存在Rt，使4共面向量(1) 共面向量：平行于的向量(2) 共面向量定理：两个向量a、b 不共线，则向量P与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对(yx,)，使 P 共面向量定理的推论：5空间向量基本定理(1) 空间向量的基底：的三个向量(2) 空间向量基本定理：如果a，b，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组zyx,，使空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组zyx,，使6空间向量的数量积(1) 空间向量的夹角：(2) 空间向量的长度或模：(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、 b，则 a b空间向量的数量积的常用结论：(a) cosa、b；(b) a2；(c) ab(4) 空间向量的数量积的运算律：(a) 交换律 a b；(b) 分配律 a (bc)例 1已知正方体ABCD A1B1C1D1中，点 F 是侧面 CDD1C1的中心， 若1AAyABxADAF，求 xy 的值 . 解： 易求得0,21yxyx变式训练1. 在平行六面体1111DCBAABCD中， M 为 AC 与 BD 的交点，若11BAa，11DAb，AA1c，则下列向量中与MB1相等的向量是( ) A21a21bcB21a21bcC21a21bc D21a21bc解： A 例 2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC A1B1C1中， D 为 AC 的中点，求证： AB1平面 C1BD. 典型例题A B C D AC1B1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载证明： 记,1cAAbACaAB则cbCCDCDCbaADABDBcaAB21,21,11111ABcaDCDB,11,DCDBAB共面 . B1平面 C1BD, AB1/平面 C1BD. 变式训练2：正方体 ABCD EFGH 中，M、N 分别是对角线AC 和 BE 上的点，且AM EN(1) 求证： MN 平面 FC；(2) 求证： MN AB ；(3) 当 MA 为何值时， MN 取最小值，最小值是多少？解： (1) 设.) 1(,BFkBCkMNkACMCEBNB则(2) .0) 1(ABBFkABBCkABMN(3) 设正方体的边长为a, ,21,) 122(22kakkMN即当也即时ACAM21，aMN22min例 3. 已知四面体ABCD 中， AB CD，AC BD， G、H 分别是 ABC 和 ACD 的重心求证： (1) AD BC； (2) GH BD 证明： (1) AD BC0BCAD因为 ABCD0CDAB，0BDACBDAC，而0)()(DCBDBDABBCAD所以 AD BC(2) 设 E、 F 各为 BC 和 CD 的中点欲证 GHBD ， 只需证 GHEF，AHGAGH32(AFEA)32EF变式训练3：已知平行六面体1111DCBAABCD，E、F、G、H 分别为棱ABCCCDDA和11111,的中点求证： E、F、G、H 四点共面解：CGHCHG1GCHC1FCGFHCGFFCFA11GFEF2，所以EHEGEF,共面，即点E、F、G、H 共面例 4. 如图，平行六面体AC1中，AE3EA1，AFFD，AG GB21，过 E、F、G 的平面与对角线 AC1交于点 P，求 AP:PC1的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载解： 设1ACmAPAFAEAGADAAABCBBBABAC234311111AFmAEmAGmAP2343又 E、F、G、P四点共面，12343mmm193mAPPC1 316 变式训练4：已知空间四边形OABC 中，M 为 BC 的中点， N 为 AC 的中点， P 为 OA 的中点，Q 为 OB 的中点，若AB OC，求证QNPM证明： 法一：)(21OCOBOM)(21OCOAON)(21OCABOMPOPM)(21ABOCONQOQN0)(4122ABOCQNPM故QNPM法二：PMQN(PQQM) (QMMN) )(21OCAB)(21BAOC)(4122ABOC0 1立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直，一般是利用aba b0 进行证明对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明2运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果D F A G B B1 C1 D1 A1 C E P 小结归纳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载3利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cos baba4异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB 为其公垂线段，C、D 分别为 l1、l2上的任意一点，n为与AB共线的向量，则AB|nnCD. 5设平面 的一个法向量为n，点 P 是平面 外一点， 且 Po ，则点 P 到平面 的距离是 d|nnPPo. 第 2 课时空间向量的坐标运算设 a),(321aaa，b),(321bbb(1) a b(2) a(3) a b(4) ab；ab(5) 设),(),(222111zyxBzyxA则AB，ABAB 的中点 M 的坐标为例 1. 若a(1,5,1)，b(2,3,5) （1）若 (ka+b)(a3b)，求实数k 的值；（2）若 (ka+b)(a3b)，求实数k 的值；（3）若bak取得最小值，求实数k 的值解： (1)31k；(2)3106k；(3)278k变式训练1. 已知O为原点，向量3,0,1 ,1,1,2 ,OAOBOCOA BCOA，求AC解： 设, ,1,1,2OCx y zBCxyz，典型例题基础过关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载,OCOA BCOA，0OC OA，BCOAR，30,1,1,23,0,1xzxyz，即30,13 ,10,2.xzxyz解此方程组，得7211,1,101010xyz。721,1,1010OC，3711,1,1010ACOCOA。例 2. 如图，直三棱柱111CBAABC，底面ABC中， CA CB1，90BCA，棱21AA，M、N 分别 A1B1、A1A 是的中点(1) 求 BM 的长；(2) 求11,cosCBBA的值；(3) 求证：NCBA11解： 以 C 为原点建立空间直角坐标系xyzO. (1) 依题意得B（0，1，0） ，M（1，0，1） 3)01() 10()01(222BM. (2) 依题意得A1（1，0，2） ，B（0，1，0） ，C（0，0， 0） ，B1（0，1，2）. 5,6, 3),2, 1 ,0(),2, 1, 1 (111111CBBACBBACBBA1030,cos111111CBBACBBACBBA. (3) 证明：依题意得C1（0，0，2） ，N)0,21,21(),2, 1 , 1(),2,21,21(11NCBA. NCBANCBA1111, 002121xyzB1C1A1C B A M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载变式训练2. 在四棱锥PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， 侧棱 PA底面 ABCD ，AB 3，BC1，PA 2，E 为 PD 的中点(1) 在侧面 PAB 内找一点N，使 NE 面 PAC，并求出N 点到 AB 和 AP 的距离；(2) 求(1) 中的点 N 到平面 PAC 的距离解：(1) 建立空间直角坐标系ABDP ，则 A、B、C、D、P、E 的坐标分别是A(0, 0, 0) 、B(3, 0, 0)、C(3, 1, 0)、 D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, 21, 1)，依题设N(x, 0, z)，则NE(x, 21, 1z)，由于 NE平面 PAC，00ACNEAPNE即0213010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(xzzxzx163zx，即点 N 的坐标为 (63, 0, 1)，从而 N 到 AB、 AP 的距离分别为1，63. (2) 设 N 到平面 PAC 的距离为d，则 d|NENENA1233121|)0,21,63(|)0,21,63()1,0,63(|. 例 3. 如图，在底面是棱形的四棱锥ABCDP中，,60aACPAABCaPDPB2，点 E在PD上，且PE:ED2:1(1) 证明PA平面ABCD；(2) 求以 AC 为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；(3) 在棱 PC 上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论解： （1）证明略；（2）易解得30；（3）解以 A 为坐标原点， 直线APAD,分别为 y 轴、 z轴，过 A 点垂直于平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系（如图）由题设条件，相关各点的坐标为)0 ,21,23(),0 ,21,23(),0, 0, 0(aaCaaBAC D B A P E A B C P E D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载)31,32, 0(),0 ,0(),0,0(aaEaPaD所以AE)31,32,0(aa，AC)0,21,23(aa，AP), 0,0(aPC),21,23(aaaBP),21,23(aaa，设点 F 是棱PC上的点，PCPF),21,23(aaa，其中10，则)1(),1(21),1(23(aaaPFBPBF令AEACBF21得221131)1(3221)1 (2123)1 (23aaaaaaa解得23,21,2121，即21时，AEACBF2321亦即， F 是 PC 的中点时，AEACBF,共面，又BF平面AEC，所以当F 是 PC 的中点时，BF平面AEC例 4. 如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得， 其中 AB 4， BC1，BE3，CF 4. (1) 求EF和点 G 的坐标；(2) 求 GE 与平面 ABCD 所成的角；(3) 求点 C 到截面 AEFG 的距离解： (1) 由图可知： A(1， 0，0)，B(1，4，0)，E(1， 4，3)，F(0，4，4) ) 1,0,1(EF又EFAG，设 G(0，0， z)，则 (1，0，z) (1，0，1) z1 G(0，0，1) (2)平面 ABCD 的法向量).1, 0, 0(DG)2,4, 1(GE，设 GE 与平面 ABCD 成角为，则21212|)2cos(GEDGGEDG21212arcsin(3)设0n面 AEFG ，0n(x0，y0，z0) 0nAG，0nAE，而AG( 1，0，1)，AE(0，4，3) ),43,(430340000000000000zzznzyzxzyzx取 z04，则0n (4， 3， 4) Z A D G E F C B x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载414116|),4, 0, 0(00nnCFdCF即点 C 到截面 AEFG 的距离为414116变式训练4. 如图四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG平面 ABCD ，垂足为G，G 在 AD 上，且 PG4，GDAG31， BGGC，GBGC2，E 是 BC 的中点(1)求异面直线GE 与 PC 所成的角的余弦值；(2)求点 D 到平面 PBG 的距离；(3)若 F 点是棱 PC 上一点，且DF GC，求FCPF的值解： (1)以 G 点为原点，GPGCGB、为 x 轴、 y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0， 0，4)，故 E(1，1，0)，GE(1，1，0)，PC(0，2，4)。10102022|cosPCGEPCGEPCGE ，GE 与 PC 所成的余弦值为1010(2)平面 PBG 的单位法向量n(0， 1，0) )02323(4343，BCADGD，点 D 到平面 PBG 的距离为GD|n |23. (3)设 F(0，y，z)，则)2323()02323()0(zyzyDF，。GCDF，0GCDF，即032)020()2323(yzy，23y, 又PCPF，即 (0，23，z4)(0 ，2， 4)，z=1，故 F(0，23， 1) ，) 1210()3230(，FCPF，3 52352PFPC。对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题； (5) 探索性问题运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，小结归纳P A G B C D F E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程空间向量章节测试题1在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 AB=2 ， A A1=1，则点 A 到平面 A1BC 的距离为（）A43B23C433D32在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 AB=2BB1,则 AB1与 C1B 所成的角的大小为A.60oB. 90oC.105oD. 75o3正方体ABCD A1B1C1D1中， E、F分别是 AA1与 CC1的中点，则直线ED 与 D1F 所成角的大小是（）A15B。13C。12D。324 设 E， F 是正方体 AC1的棱 AB 和 D1C1的中点，在正方体的12 条面对角线中， 与截面 A1ECF成 60 角的对角线的数目是（）A0 B2 C 4 D6 5 棱长都为 2的直平行六面体ABCD A1B1C1D1中， BAD=60 ， 则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1所成角的正弦值为（）A22B21 C43D836 在棱长为2 的正方体1111DCBAABCD中， O 是底面 ABCD 的中心， E、F 分别是1CC、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD所成的角的余弦值等于（）A510B32C55D5157 棱长为 a 的正四面体中，高为H，斜高为h，相对棱间的距离为d，则 a、H、h、d 的大小关系正确的是（）AaHhd BadhH C ahdH DahHd8将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD 平面 CBD，E 是 CD 中点，则AED的大小为（）A.45B.30C.60D.909 三棱锥 ABCD 的高 AH = 3a3， H 是底面 BCD 的重心若 AB=AC ， 二面角 ABCD为 60 ，G 是 ABC 的重心，则HG 的长为（）Aa5Ba6Ca7Da1010PA， PB，PC 是从 P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o ，则直线PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载ABCDPA12B。32C。33D。6311 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等， D 是 A1C1的中点，则直线 AD 与平面 B1DC所成角的正弦值为。12。如图，正方体的棱长为1，C、D 分别是两条棱的中点，A、B、M 是顶点，那么点M 到截面 ABCD 的距离是. 13正四棱锥P-ABCD 的所有棱长都相等，E 为 PC 中点，则直线AC 与截面 BDE 所成的角为14已知边长为4 2 的正三角形ABC 中， E、F 分别为 BC 和 AC 的中点， PA面 ABC ，且PA=2，设平面过 PF 且与 AE 平行，则AE 与平面间的距离为15如右下图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，已知 AB= 4， AD =3， AA1= 2E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且EB= FB=1（1）求二面角C-DE-C1的正切值；（2）求直线EC1与 FD1所成的余弦值16如图，三棱锥PABC 中， PC平面 ABC ，PC=AC=2 ，AB=BC ，D 是 PB 上一点，且CD平面 PAB(I) 求证： AB平面 PCB；(II) 求异面直线AP 与 BC 所成角的大小；(III) 求二面角C-PA-B 的大小的余弦值17如图所示，已知在矩形ABCD 中， AB=1，BC=a（a0） ， P A平面 AC，且 P A=1（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D 的坐标；（2）问当实数a在什么范围时，BC 边上能存在点Q，使得 PQQD？（3）当 BC 边上有且仅有一个点Q 使得 PQQD 时，求二面角Q-PD-A 的大小A B M D C A E D C B A1 F D1 C1 B1 Q P D C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载空间向量章节测试题答案1B。2 B。3 A。4 C。提示：以D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD1为 z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则 A1(1，0，0)，E(1，12，0)，C(0，1，0)设平面 A1ECF 的法向量为n=(x，y，z)，则由1A E n=0 及EC n=0，可得 x=z=12y，于是可取n=(1，12，1)11(0,1,1)ABDC，11(1,1,0)D BDB，而且可计算得到这四个向量与向量n 所成的角为30 ，于是这四个向量与平面A1ECF 所成的角为60 而其它的面对角线所在的向量均不满足条件5 D。6 C。7 C。8A。9 D。10 D 1145。1223。13设 AC 与 BD 相交于点O，则OE与OC所成的角即 EOC 为所求易得大小为45 1433215 （1）如图，以A 为原点，1,AAADAB分别为 x 轴， y 轴， z轴的正向建立空间直角坐标系 A-xyz，则有 D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1， 0)、 C1(4，3， 2)于是，1(3, 3,0),(1,3,2)DEEC，1( 4,2,2)FD设向量( , , )x y zn与平面 C1DE 垂直，则有133013202DExyxyzxyzECnn(, )( 1, 1,2),222zzzzn其中 z0取 n0=(-1，-1，2)，则 n0是一个与平面C1DE 垂直的向量向量1AA=（0，0，2）与平面CDE 垂直，n0与1AA所成的角为二面角 C-DE-C1的平面角01011 010226cos3|114004AAAAnn，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载ABCDPxyz2tan2（2）设 EC1与 FD1所成角为，则11222222111 ( 4)322221cos14|132( 4)22EC FDECFD16 (1) PC平面 ABC,AB平面 ABC ，PCAB. CD平面 PAB，AB平面 PAB，CDAB 又CCDPC， AB平面 PCB二面角C-PA-B 的大小的余弦值为33(2 由(I) AB平面 PCB， PC=AC=2 ，又 AB=BC ，可求得BC=2 以 B 为原点，如图建立坐标系则（, 2,） ，（ 0,0,0） ，C（2,0） ，P（2,2） AP=(2,2,2)，BC=(2,0,0)则AP BC=2 2+0+0=2 cosAP,BC=AP BCAPBC=2222= 21异面直线AP 与 BC 所成的角为3（3）设平面PAB 的法向量为m= (x， y，z)AB=(0, 2,0),AP=(2,2,2)，则AB0,AP0.mm即20,2220.yxyz解得0,2yxz令 z= -1,得 m= (2，0，-1)设平面 PAC 的法向量为n=(x , y , z ).PC(0,0,2), AC=(2,2,0)，则PC0,AC0.nn即20,220.zxy解得0,zxy令 x =1, 得 n= (1，1，0)cos,m nm nm n=33232. 二面角C-PA-B 的大小的余弦值为3317 （ 1）以 A 为坐标原点，AB、AD、AP 分别为 x、y、 z轴建立坐标系如图所示PA=AB=1， BC=a，P（0，0，1） ，B（1，1，0） ，D（0，a，0） （2）设点 Q（1，x， 0） ，则(1,0),( 1,1)DQxaQPx由0DQQP，得 x2-ax+1=0显然当该方程有实数解时，BC 边上才存在点Q，使得 PQQD，故 =a2-40 因 a0，故 a 的取值范围为a0 （3）易见，当a=2 时， BC 上仅有一点满足题意，此时x=1，即 Q 为 BC 的中点取 AD 的中点 M，过 M 作 MNPD，垂足为 N，连结 QM、QN则 M（0，1，0） ，P（0，0，z 第 10题答图Q P D C B A y x M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载MABDCO1） ，D（0，2，0） D、N、P 三点共线，(0,1,0)(0, 1,1)(0,1, )111MDMPMN又(0,2,1)PD，且0MNPD，故(0,1, )232(0,2,1)0113于是2 2(0,1, )1 23 3(0,)25 513MN故12(1,)55NQNMMQMNAB1202()( 1)()055PDNQ，PDNQ MNQ 为所求二面角的平面角6cos6| |NMNQMNQNMNQ，所求二面角为6arccos6历届高考中的 “ 空间向量与立体几何 ” 试题选讲1.(2008 海南、宁夏理 )如图， 已知点 P在正方体 ABCD A1B1C1D1的对角线 BD1上， PDA=60 。（1）求 DP 与 CC1所成角的大小； （2）求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。2. （2008 安徽文）如图， 在四棱锥OABCD中， 底面ABCD四边长为1 的 菱形，4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点。（）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小；（）求点B 到平面 OCD 的距离。B1C1D1A1CDABP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载3.（2005 湖南文、理）如图1，已知 ABCD 是上、下底边长分别为2 和 6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。（）证明： AC BO1；（）求二面角OAC O1的大小。4. （2007 安徽文、 理)如图 ,在六面体1111DCBAABCD中,四边形 ABCD 是边长为2的正方形 ,四边形1111DCBA是边长为 1 的正方形 ,1DD平面1111DCBA,1DD平面 ABCD，DD1=2。()求证 :11CA与 AC 共面，11DB与 BD 共面 . ()求证 :平面;1111BDDBACCA平面()求二面角CBBA1的大小 . 5.(2007 海南、宁夏理 )如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，90BAC，O为BC中点（）证明：SO平面ABC；（）求二面角ASCB的余弦值6.(2007 四川理）如图，PCBM是直角梯形，PCB90 ，PMBC，PM1，BC2，又AC1，ACB120 ，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60 . （）求证：平面PAC平面ABC; （）求二面角BACM的大小 ; （）求三棱锥MACP的体积 . OSBACA B C D O O1 A B O C O1 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载7.(2006 全国卷文、理)如图，1l、2l是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段.点 A、B 在1l上， C 在2l上，AMMBMN。 （）证明AC NB；()若60OACB，求NB与平面 ABC 所成角的余弦值。8.（2006 福建文、理）如图，四面体ABCD 中， O、E 分别是 BD、 BC 的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：AO平面 BCD； （II ）求异面直线AB 与 CD 所成角的大小；（III ）求点 E 到平面 ACD 的距离。历届高考中的 “ 空间向量与立体几何 ” 试题选讲答案1解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz则(10 0)DA，(0 0 1)CC，连结BD，B D在平面BBD D中，延长DP交B D于H设(1)(0)DHmmm，由已知60DH DA，由cosDA DHDA DHDA DH，可得2221mm解得22m，所以22122DH，（）因为22001 1222cos212DH CC，所以45DH CC，即DP与CC所成的角为45（）平面AA D D的一个法向量是(0 1 0)DC， ，CADBOEA B M N C l2l1H A B C D P ABCDx y z H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载xyzMABDCOP因为22011 0122cos212DH DC，所以60DH DC，可得DP与平面AA D D所成的角为302解：作APCD于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO 所在直线为, ,x y z轴建立坐标系222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0, 2),(0, 0,1)222ABPDOM, (1)设AB与MD所成的角为, 22(1,0,0),(, 1)22ABMD1c o s,23AB MDABMD, AB与MD所成角的大小为3(2) 222(0, 2),(,2)222OPOD设平面 OCD 的法向量为( , )nx y z,则0,0n OPn OD即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n设点 B 到平面 OCD 的距离为d,则d为OB在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值, (1, 0 ,2 )OB, 23OB ndn. 所以点 B 到平面 OCD 的距离为233解 :（I）证明由题设知OA OO1，OBOO1. 所以 AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OA OB. 故可以 O 为原点， OA 、OB、OO1 所在直线分别为x轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图 3，则相关各点的坐标是A（3，0，0） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载B（0，3，0） ，C（ 0，1，3）,O1（0， 0，3）. 从而)3, 3,0(),3, 1 , 3(1BOAC，. 03331BOAC所以 AC BO1. （II）解：因为, 03331OCBO所以 BO1 OC，由（ I） ACBO1，所以 BO1平面 OAC，1BO是平面 OAC 的一个法向量 . 设),(zyxn是 0 平面 O1AC 的一个法向量，由,3.0,033001zyzyxCOnACn取得)3, 0, 1(n. 设二面角OACO1的大小为，由n、1BO的方向可知n，1BO，所以 coscosn，1BO=.43|11BOnBOn4.解（向量法） ：以 D 为原点，以DA,DC,1DD所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系xyzD如图，则有A（ 2，0，0） ，B（2，2， 0） ，C（0， 2，0） ，).2, 0,0(),2, 1 ,0(),2 ,1 , 1(),2 ,0, 1(1111DCBA（）证明：),0, 2, 2(),0, 1 , 1(11ACCA),0, 2, 2(),0, 1 , 1(11DBBD.2,21111BDDBCAAC平行，与平行，与1111BDDBCAAC于是11CA与 AC 共面，11DB与 BD 共面 . （）证明：，），（），（00222001ACDD，），（），（0022022ACDB.1ACDBACDD，是平面与111BDDBDBDD内的两条相交直线，.11BDDBAC平面又平面，过ACACCA11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载.1111BDDBACCA平面平面（）解：.210211201111），（），（），（CCBBAA设的法向量，为平面11111),(ABBAzyxn, 02,021111111zyxBBnzxAAn于是).1 ,0,2(,2, 1, 0111nzzy则取设的法向量，为平面11222),(BCCBzyxm.02, 022212221zyCCmzyxBBm于是).1 ,2,0(,2, 1, 0222myzx则取.51,cosnmnmnm.511的余弦为二面角CBBA5证明：（）由题设AB AC SB SC=SA，连结OA，ABC为等腰直角三角形，所以22OAOBOCSA，且AOBC，又SBC为等腰三角形，故SOBC，且22SOSA，从而222SASOOA 所以SOA为直角三角形，SOAO又AOBOO所以SO平面ABC（）解：以O为坐标原点，射线OBOA，分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz设(10 0)B ，则( 1 0 0)(0 1 0)(0 01)CAS， ，SC的中点11022M，OSBACOSBACMxzy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载111101( 101)2222MOMASC， ，00MO SCMA SC，故,MOSCMASCMO MA，0). HN=(0,1, 2 ), MC=(0,1, 2). HN MC= 1 2 =0, = 13, H(0, 13, 23), 可得 HN=(0,23, 23), 连结 BH,则BH=( 1,13, 23), HN BH=0+2929=0, HNBH, 又 MC BH =H,HN 平面 ABC, NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角 .又BN=(1,1,0), A B M N C l2l1H x y z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载cos NBH= BH BN|BH| |BN|= 4323 2= 638 (1)证明：连结OC. BO=DO,AB=AD, AO BD. BO=DO,BC=CD, COBD. 在 AOC 中，由已知可得AO=1,CO=3.而 AC=2, AO2+CO2=AC2, AOC=90 ,即 AO OC. ,0OCBDAO平面 BCD . （）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，3，0)，A(0,0,1),E(21,23,0), ).0 ,3, 1(),1 ,0 , 1(CDBA,42,cosCDBACDBACDBA异面直线AB 与 CD 所成角的大小为.42arccos（）解法一：设平面ACD 的法向量为n=(x,y,z),则, 0) 1,3,0(),(, 0)1, 0, 1(),(zyxACnzyxADn.03,0zyzx令 y=1，得 n=(-3, 1 ,3)是平面 ACD 的一个法向量 .又),0,23,21(EC点 E 到平面 ACD 的距离 h=.72173|nnEC（）解法二：设点E 到平面 ACD 的距离为h. CDEAACDAVV, h31 SACD =31 AO SCDE. 在 ACD 中， CA=CD=2,AD=2, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载SACD=,2722222132而 AO=1, SCDE=,23243212h=,72127231ACDCDESSAO点 E 到平面 ACD 的距离为721.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页