学习必备欢迎下载高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练班级姓名座号1正弦定理 :2sinsinsinabcRABC或变形：:sin:sin:sina b cABC. 2余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC或222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab. 3 （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、 已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5解题中利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin,ABC cos()cos,ABCtan()tan,ABCsincos,cossin2222ABCABC. 表一：已知条件定理应用一般解法一边和两角（如 a、 B、C）正弦定理由 A+B+C=180 ，求角 A，由正弦定理求出b 与 c，在有解时有一解。两边和一边的对角(如a、b、A) 正弦定理具体情况见表二两边和夹角(如 a、b、 C)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由 A+B+C=18 0 求出另一角，在有解时有一解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载三边(如 a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180 ，求出角 C 在有解时只有一解。表二： 已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：A为钝角A为直角A为锐角ab 一解一解一解a=b 无解无解一解absinA 两解a=bsinA 一解absinA 无解基础达标：1. 在 ABC中， a=18，b=24， A=45，此三角形解的情况为A. 一个解 B. 二个解 C. 无解 D. 无法确定2在 ABC中，若2,22,62abc，则 A的度数是A. 30 B. 45 C. 60 D. 753ABC中，若 a2=b2+c2+bc，则 A= A. 60 B. 45 C. 120 D. 304边长为5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为A. 90 B. 120 C. 135 D. 1505. 在 ABC中，已知3a，2b，B=45 . 求 A、C及 c. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载6在ABC中，若045B，2 2c，433b，求A. 7在ABC中，若222abcbc，求A. 能力提升：8锐角 ABC中，若 C=2B ，则ACAB的取值范围是A.(0 ，2) B.)2,2( C.)3,2( D.)2,3(9. 已知在 ABC中， sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么 cosC 的值为A. 32.D32.C41.B4110. 等腰三角形底边长为6，一条腰长12，则它的外接圆半径为A. 16155 B. 4 3 C. 8155 D. 6 311在ABC中，已知三边a、b、c满足3abcabcab，则CA15 B30 C45 D6012钝角ABC的三边长为连续自然数，则这三边长为（） 。 A、1、2、3 B 、2、3、4 C、3、 4、5 D、4、 5、6 13在 ABC中， BC=3，AB=2 ，) 16(52sinsinBC，则 A=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载14. 在 ABC中， A=60， b=1，c=4，则_.sinsinsinabcABC15. 在 ABC中， B=120， sinA:sinC=3:5，b=14，则 a，c 长为 _. 综合探究：16已知钝角ABC的三边为：ak,2bk,4ck, 求实数k的取值范围 . 17. 在ABC中，角 A、 B、C的对边分别为a、b、c，证明 :222sin()sinabABCc. 、13 周周练参考答案：基础达标：1.B 2.A 3.C 4.B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载5. 解析：解法1：由正弦定理得：23245sin3sinsinbBaA A=60 或 120当 A=60 时， C=75，22645sin75sin2sinsinBCbc；当 A=120 时， C=15 ，22645sin15sin2sinsinBCbc. 6. sinsinbcBC，sin2 2sin 453sin4233cBCb，0180C，60C或120C当60C时，75A；当120C时，15A， ；所以75A或15A7. 222bc bca，由余弦定理的推论得：2221cos22bcaAbc0180A，60A. 能力提升：8.C 9.A 10.C 11.D 由3abcabcab，得22223ababcab由余弦定理的推论得：2221cos22abcCab，0180C，60C. 12.B ；只需要判定最大角的余弦值的符号即可。选项 A不能构成三角形；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载选项 B中最大角的余弦值为222234102234，故该三角形为钝角三角形；选项 C中最大角的余弦值为：2223450243，故该三角形为直角三角形；选项 D中最大角的余弦值为222456102458，故该三角形为锐角三角形. 13.12014.2393 15.6,10 综合探究：16. ABC中边ak,2bk,4ck，0ak，且边c最长，ABC为钝角三角形当 C为钝角时222cos02abcCab，2220abc, 即222abc222(2)(4)kkk, 解得26k, 又由三角形两边之和大于第三边：(2)4kkk, 得到2k，故实数k的取值范围：26k. 17. 证法一 : 由正弦定理得：2222222sinsincos2cos2sin2sinabABBAcCC =22sin()sin()2sinBABAC=2sinsin()sinCABC=sin()sinABC. 证法二 :由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA ，则222222cos21cosabcbcAbAccc，又由正弦定理得sinsinbBcC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载2222sinsin2sincos1cossinsinabBCBAAcCCsin()2sincossinABBACsincossincossin()sinsinABBAABCC. 证法三：也可以从右边证到左边，过程略. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页