培优专题：借助方程求解数轴上的动点问题(压轴题常考题型 ) 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：1数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数左边点表示的数。2点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度， 而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b 个单位后表示的数为 ab；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b。3数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。一、相关知识准备1. 数轴上表示4 和 1 的两点之间的距离是_。2. 若数轴上点A表示的数为x, 点 B表示的数为1，则 A与 B两点之间的距离用式子可以表示为_，若在数轴上点A 在点B 的右边，则式子可以化简为_。3.A 点在数轴上以2 个单位长度 / 秒的速度向右运动，若运动时间为t，则 A点运动的路程可以用式子表示为_。4. 若数轴上点A 表示的数为1,A 点在数轴上以2 个单位长度 / 秒的速度向右运动，若运动时间为t，则A 点运动t秒后到达的位置所表示的数可以用式子表示为_。答案： 1、3； 2 、1x，x+1； 3、2t ； 4、12t二、已做题再解：1、半期考卷的第25 题： 如图所示，在数轴上原点O 表示数 0，A 点在原点的左侧，所表示的数是a，B 点在原点的右侧，所表示的数是b，并且 a、b 满足2a16(b)0（1）点 A 表示的数为_，点 B 表示的数为 _。（2）若点 P从点 A 出发沿数轴向右运动，速度为每秒3 个单位长度， 点 Q 从点 B 出发沿数轴向左运动，速度为每秒1 个单位长度，P、Q 两点同时运动，并且在点C 处相遇，试求点C 所表示的数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页（3）在（ 2）的条件下，若点P运动到达B 点后按原路原速立即返回，点Q 继续按原速原方向运动，从P、Q 在点 C 处相遇开始，再经过多少秒，P、Q 两点的距离为4个单位长度？解 ： （ 1） 点 A表示的数为 _16_，点 B表示的数为 _8_ (2) 设 P、 Q同时运动 t 秒在点 C处相遇3t+t=24 解得 t=6 此时点 C所表示的数是16+36=2答：点 C所表示的数是 2. （2）再经过 a 秒，P、Q两点的距离为 4 个单位长度分类讨论： 从点 C处相遇后反向而行， 点 P到达 B点前相距 4 个单位长度3a+a=4 解得 a=1 点 P到达 B点后返回，此时相当于点Q在 P点前 4 个单位长度a63a64解得 a=4 点 P到达 B点后返回，从后追上 Q点后又相距 4 个单位长度， 此时相当于点 P在点 Q前 4 个单位长度3a6a64解得 a=8 答：再经过 1 秒或 4 秒或 8 秒，P、Q两点的距离为 4 个单位长度。备用图备用图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页3 2、七年级上学期期中模拟（1）的第 10 题： 数轴上有A、B 两点表示 10，30，有两只蚂蚁 P、Q同时分别从A、B 两点相向出发，速度分别是2 单位单位长度 / 秒、 3 个单位长度/ 秒，当它们相距10 个单位长度时，则蚂蚁P在数轴上表示的数是（）解：经过 t 秒，P、Q相距 10 个单位长度，则P点运动路程为 2t, 运动后 P点表示数为 10+2t，Q点运动路程为 3t 分类讨论：还未相遇前相距 10 个单位长度2t+3t=40-10 解得 t=6 此时 P点表示数为 10+2 6=2 相遇后又相距 10 个单位长度2t+3t=40+10 解得 t=10 此时 P点表示数为 10+2 10=10 综上所述，蚂蚁 P在数轴上表示的数是2 或 10 挑战题： 1已知数轴上有A、B、C 三点，分别代表24， 10， 10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C 两点同时相向而行，甲的速度为4 个单位 /秒。问多少秒后，甲到A、B、C 的距离和为40 个单位？若乙的速度为6 个单位 /秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？在的条件下，当甲到A、B、C 的距离和为40 个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。分析 ：如图 1，易求得AB=14 ， BC=20，AC=34 设 x 秒后，甲到A、B、C 的距离和为40 个单位。此时甲表示的数为24+4x。甲在 AB 之间时，甲到A、B 的距离和为AB=14 甲到 C 的距离为10（ 24+4x）=344x 依题意， 14+（344x）=40，解得 x=2 甲在 BC 之间时，甲到B、C 的距离和为BC=20 ，甲到 A 的距离为4x 依题意， 20+4x）=40，解得 x=5 即 2 秒或 5 秒，甲到A、B、C 的距离和为40 个单位。是一个相向而行的相遇问题。设运动t 秒相遇。依题意有， 4t+6t=34 ，解得 t=3.4 相遇点表示的数为24+43.4=10.4 （或： 1063.4= 10.4）甲到 A、B、C 的距离和为40 个单位时，甲调头返回。而甲到A、B、C 的距离和为40 个单位时，即的位置有两种情况，需分类讨论。甲从 A 向右运动2 秒时返回。设y 秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同。甲表示的数为：24+424y；乙表示的数为：106 26y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页4 依题意有，24+424y=10626y，解得 y=7 相遇点表示的数为：24+4 24y=44 （或： 10626y=44）甲从 A 向右运动5 秒时返回。设y 秒后与乙相遇。甲表示的数为：24+45 4y；乙表示的数为：10656y 依题意有，24+454y=10656y，解得 y=8（不合题意，舍去）即甲从 A 点向右运动2 秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为44。点评 ： 分析数轴上点的运动，要结合数轴上的线段关系进行分析。点运动后所表示的数，以起点所表示的数为基准，向右运动加上运动的距离，即终点所表示的数；向左运动减去运动的距离，即终点所表示的数。2如图，已知A、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为20，B 点对应的数为100。求 AB 中点 M 对应的数；现有一只电子蚂蚁P 从 B 点出发，以6 个单位 /秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发， 以 4 个单位 /秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求 C 点对应的数；若当电子蚂蚁P 从 B 点出发时，以6 个单位 /秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发， 以 4 个单位 /秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求 D 点对应的数。分析 ：设 AB 中点 M 对应的数为x，由 BM=MA 所以 x（ 20）=100x，解得 x=40 即 AB 中点 M 对应的数为40 易知数轴上两点AB 距离， AB=140 ，设 PQ 相向而行t 秒在 C 点相遇，依题意有， 4t+6t=120 ，解得 t=12 （或由 P、Q 运动到 C 所表示的数相同，得20+4t=100 6t，t=12）相遇 C 点表示的数为：20+4t=28 （或 1006t=28）设运动 y 秒， P、Q 在 D 点相遇，则此时P表示的数为1006y， Q 表示的数为204y。P、Q 为同向而行的追及问题。依题意有， 6y 4y=120，解得 y=60 （或由 P、Q 运动到 C 所表示的数相同，得204y=1006y，y=60）D 点表示的数为：204y=260 （或 100 6y= 260）点评 ：熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。是一个相向而行的相遇问题；是一个同向而行的追及问题。在、 中求出相遇或追及的时间是基础。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 3已知数轴上两点A、B 对应的数分别为1，3，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为x。若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，求点P对应的数；数轴上是否存在点P，使点 P 到点 A、点 B 的距离之和为5？若存在， 请求出 x 的值。若不存在，请说明理由？当点 P 以每分钟一个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5 个单位长度向左运动，点B 一每分钟 20 个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点 B 的距离相等？分析 ：如图，若点P 到点 A、点 B 的距离相等，P 为 AB 的中点， BP=PA 。依题意， 3x=x（ 1），解得x=1 由 AB=4 ，若存在点P 到点 A、点 B 的距离之和为5，P 不可能在线段AB 上，只能在 A 点左侧，或B 点右侧。P 在点 A 左侧， PA=1x， PB=3x 依题意，（1x）+（3x）=5，解得x=1.5 P 在点 B 右侧， PA=x（ 1） =x+1，PB=x3 依题意，（ x+1）+（x3）=5，解得x=3.5 点 P、点 A、点 B 同时向左运动，点B 的运动速度最快，点P 的运动速度最慢。故P点总位于 A 点右侧， B 可能追上并超过A。P到 A、 B 的距离相等，应分两种情况讨论。设运动 t 分钟，此时P 对应的数为t，B 对应的数为320t，A 对应的数为 15t。B 未追上 A 时， PA=PA ，则 P 为 AB 中点。 B 在 P 的右侧， A 在 P 的左侧。PA=t（ 15t）=1+4t，PB=320t（ t）=319t 依题意有， 1+4t=3 19t，解得 t=B 追上 A 时， A、B 重合，此时PA=PB。A、B 表示同一个数。依题意有，15t=320t，解得t=即运动或分钟时， P到 A、B 的距离相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页