第 1 页 共 13 页新泰市新汶中学2011-2012 学年度期末考试高二数学知识点及方法总结2012-1-3 必修 5 知识点及方法第一章：解三角形1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC2、正弦定理的变形公式：2 sinaR，2 sinbR，2sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR； 正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中:sin:sin:sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac4、余 定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab6、设a、b、c是C的角、C的对边，则：假设222abc，则90C为直角三角形；假设222abc，则90C为锐角三角形；假设222abc，则90C为钝角三角形第二章：数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数2、数列的项：数列中的每一个数3、有穷数列：项数有限的数列4、无穷数列：项数无限的数列5、递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列6、递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列7、常数列：各项相等的数列8、摆动数列：从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列9、数列的通项公式：表示数列na的第n项与序号n之间的关系的公式10、数列的递推公式：表示任一项na与它的前一项1na或前几项间的关系的公式11、如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差12、由三个数a，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项假设2acb，则称b为a与c的等差中项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页第 2 页 共 13 页13、假设等差数列na的首项是1a，公差是d，则11naand通项公式的变形：nmaanm d；11naand；11naadn；11naand；nmaadnm14、假设na是等差数列，且mnpqm、n、p、*q ，则mnpqaaaa；假设na是等差数列，且2npqn、p、*q ，则2npqaaa；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续 m 项和构成的数列成等差数列。15、等差数列的前n项和的公式：12nnn aaS；112nn nSnad16、等差数列的前n项和的性质：假设项数为*2n n，则21nnnSn aa，且SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶假设项数为*21nn，则2121nnSna，且nSSa奇偶，1SnSn奇偶其中nSna奇，1nSna偶 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比18、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项假设2Gab，则称G为a与b的等比中项19、假设等比数列na的首项是1a，公比是q，则11nnaa q20、通项公式的变形：nmnmaa q；11nnaa q；11nnaqa；nmnmaqa21、假设na是等比数列，且mnpqm、n、p、*q ，则mnpqaaaa；假设na是等比数列，且2npqn、p、*q ，则2npqaaa；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续 m 项和构成的数列成等比数列。22、等比数列na的前n项和的公式：11111111nnnnaqSaqaa qqqq1q时，1111nnaaSqqq，即常数项与nq项系数互为相反数。23、等比数列的前n项和的性质：假设项数为*2n n，则SqS偶奇精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页第 3 页 共 13 页nnmnmSSqSnS，2nnSS，32nnSS成等比数列24、na与nS的关系：1121nnnSSnaSn一些方法：一、求通项公式的方法：1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法假设相邻两项相减后为同一个常数设为bknan，列两个方程求解；假设相邻两项相减两次后为同一个常数设为cbnanan2，列三个方程求解；假设相邻两项相减后相除后为同一个常数设为baqann， q为相除后的常数，列两个方程求解；2、由递推公式求通项公式：假设化简后为daann 1形式，可用等差数列的通项公式代入求解；假设化简后为),(1nfaann形式，可用叠加法求解；假设化简后为qaann 1形式，可用等比数列的通项公式代入求解；假设化简后为bkaann 1形式，则可化为)()(1xakxann，从而新数列xan是等比数列，用等比数列求解xan的通项公式，再反过来求原来那个。其中x是用待定系数法来求得3、由求和公式求通项公式：11Sa1nnnSSa检验naa 是否满足1，假设满足则为na，不满足用分段函数写。4、其他11nnaafn形式，fn便于求和，方法：迭加；例如：11nnaan有：11nnaan2132111341413412nnnaaaaaannnaana各式相加得211nnnnaaa a形式，同除以1nna a，构造倒数为等差数列；例如：112nnnnaaa a，则111112nnnnnnaaa aaa，即1na为以 -2 为公差的等差数列。31nnaqam形式，1q，方法：构造：1nnaxq ax为等比数列；例如：122nnaa，通过待定系数法求得：1222nnaa，即2na等比，公比为2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页第 4 页 共 13 页41nnaqapnr形式：构造：11nnaxnyq ax ny为等比数列；51nnnaqap形式，同除np，转化为上面的几种情况进行构造；因为1nnnaqap，则111nnnnaaqpp p，假设1qp转化为 1的方法，假设不为1，转化为 3的方法二、等差数列的求和最值问题： 二次函数的配方法；通项公式求临界项法假设001da，则nS有最大值，当n=k 时取到的最大值k 满足001kkaa假设001da，则nS有最小值，当n=k 时取到的最大值k 满足001kkaa三、数列求和的方法：叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：213nnan；分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：11111nan nnn，1111212122121nannnn等；一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：21nnan等；四、综合性问题中等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为dada和类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为qaaq和类型，这样可以相乘约掉。第三章：不等式1、0abab；0abab；0abab比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。2、不等式的性质：abba；,ab bcac；abacbc；,0ab cacbc，,0ab cacbc；,ab cdacbd；0,0abcdacbd；0,1nnababnn；0,1nnabab nn3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页第 5 页 共 13 页4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24bac000二次函数2yaxbxc0a的图象一元二次方程20axbxc0a的根有两个相异实数根1,22bxa12xx有两个相等实数根122bxxa没有实数根一元二次不等式的解集20axbxc0a12x xxxx或2bx xaR20axbxc0a12x xxx5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式组的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对, x y，所有这样的有序数对, x y构成的集合8、在平面直角坐标系中，已知直线0xyC，坐标平面内的点00,xy假设0，000xyC，则点00,xy在直线0xyC的上方假设0，000xyC，则点00,xy在直线0xyC的下方9、在平面直角坐标系中，已知直线0xyC假设0，则0xyC表示直线0xyC上方的区域；0xyC表示直线0xyC下方的区域假设0，则0xyC表示直线0xyC下方的区域；0xyC表示直线0xyC上方的区域10、线性约束条件：由x，y的不等式或方程组成的不等式组，是x，y的线性约束条件目标函数：欲到达最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解, x y可行域：所有可行解组成的集合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页第 6 页 共 13 页最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解11、设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数12、均值不等式定理：假设0a，0b，则2abab，即2abab13、常用的基本不等式：222,abab a bR；22,2ababa bR；20,02ababab；222,22ababa bR14、极值定理：设x、y都为正数，则有假设xys和为定值，则当xy时，积xy取得最大值24s假设xyp积为定值，则当xy时，和xy取得最小值2p选修 21 知识点及方法1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、 “假设p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 假设原命题为“假设p，则q” ，它的逆命题为“假设q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 假设原命题为“假设p，则q” ，则它的否命题为“假设p，则q”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 假设原命题为“假设p，则q” ，则它的否命题为“假设q，则p”. 6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、假设pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件假设pq，则p是q的充要条件8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页第 7 页 共 13 页用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题对一个命题p全盘否认否认结论 ，得到一个新命题，记作p假设p是真命题，则p必是假命题；假设p是假命题，则p必是真命题9、短语“对所有的” 、 “对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对中任意一个x，有p x成立” ，记作“x，p x” 短语“存在一个” 、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在中的一个x，使p x成立”，记作“x，p x” 10、全称命题p：x，p x，它的否认p：x，p x全称命题的否认是特称命题11、平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数大于12F F的点的轨迹称为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210xyabab222210yxabab范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10, b、20,b10, a、20,a1,0b、2,0b轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122F Fc cab对称性关于x轴、y轴、原点对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页第 8 页 共 13 页离心率22101cbeeaa准线方程2axc2ayc13、设是椭圆上任一点，点到1F对应准线的距离为1d，点到2F对应准线的距离为2d，则1212FFedd14、平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数小于12F F的点的轨迹称为双曲线这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距15、双曲线的几何性质：类比椭圆写出双曲线的性质，并参看课本16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线17、设是双曲线上任一点，点到1F对应准线的距离为1d，点到2F对应准线的距离为2d，则1212FFedd18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p20、焦半径公式：假设点00,xy在抛物线220ypx p上，焦点为F，则02pFx；假设点00,xy在抛物线220ypx p上，焦点为F，则02pFx；假设点00,xy在抛物线220xpy p上，焦点为F，则02pFy；假设点00,xy在抛物线220xpy p上，焦点为F，则02pFy21、抛物线的几何性质：标准方程22ypx22ypx22xpy22xpy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页第 9 页 共 13 页0p0p0p0p图形顶点0,0对称轴x轴y轴焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2py离心率1e范围0x0x0y0y22、 空间向量的概念：1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向3向量的大小称为向量的模或长度 ，记作4模或长度为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a6方向相同且模相等的向量称为相等向量23、空间向量的加法和减法：1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四 边 形 法b为 邻 边则即：在空间以同一点为起点的两个已知向量a、作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在 空 间 任 取 一 点， 作a，b， 则ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页第 10 页 共 13 页24、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0a的长度是a的长度的倍25、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：abab；结合律：aa26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线27、 向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，0b b，/ab的充要条件是存在实数， 使ab28、平行于同一个平面的向量称为共面向量29、 向量共面定理： 空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y， 使xyC；或 对 空 间 任 一 定 点， 有xyC； 或 假 设 四 点，C共 面 ， 则1xyz C xyz30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作,a b两个向量夹角的取值范围是：,0,a b31、对于两个非零向量a和b，假设,2a b，则向量a，b互相垂直，记作ab32、 已知两个非零向量a和b， 则cos,a ba b称为a，b的数量积，记作a b 即cos,a ba ba b 零向量与任何向量的数量积为033、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos,ba b的乘积34、假设a，b为非零向量，e为单位向量，则有1cos,e aa eaa e；20aba b；3a baba ba bab与 同向与 反向，2a aa，aa a；4cos,a ba ba b；5a ba b35、向量数乘积的运算律：1a bb a；2aba bab；3abca cb c36、假设i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组, ,x y z，使得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页第 11 页 共 13 页pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量37、空间向量基本定理：假设三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组, ,x y z，使得pxaybzc38、假设三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是, , ,p pxaybzc x y zR这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，, ,a b c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底39、设1e，2e，3e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量称它们为单位正交基底，以1e，2e，3e的公共起点为原点，分别以1e，2e，3e的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p存在有序实数组, ,x y z，使得123pxeyeze把x，y，z称作向量p在单位正交基底1e，2e，3e下的坐标，记作, ,px y z此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标, ,x y z40、设111,ax y z，222,bxyz，则1121212,abxxyyzz2121212,abxxyyzz3111,axyz4121212a bx xy yz z5假设a、b为非零向量，则12121200aba bx xy yz z6假设0b，则121212/,ababxxyyzz7222111aa axyz8121212222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz9111,x y z，222,xyz，则222212121dxxyyzz41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示向量称为点的位置向量42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定点是直线l上一点， 向量a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页第 12 页 共 13 页表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a，b为平面上任意一点， 存在有序实数对, x y，使得xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置44、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量45、假设空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则/abababR，0ababa b46、假设直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则/aa0ana n，/aaanan47、假设空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则/abab，0aba b48、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有coscosa ba b49、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为，则有sincoslnl n50、设1n，2n是二面角l的两个面，的法向量，则向量1n，2n的夹角或其补角就是二面角的平面角的大小假设二面角l的平面角为，则1212cosnnn n51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算52、 在 直 线l上 找 一 点， 过 定 点且 垂 直 于 直 线l的 向 量 为n， 则 定 点到 直 线l的 距 离 为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页第 13 页 共 13 页cos,ndnn53、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面的距离为cos,ndnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页