学习必备精品知识点整式的乘除与因式分解一、学习目标：1.掌握与整式有关的概念；2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；3.掌握单项式、多项式的相关计算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。5.掌握因式分解的常用方法。二、知识点分析1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。bca22的 系数为，次数为，单独的一个非零数的次数是。2、多项式： 几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。122xaba，项有，二次项为，一次项为，常数项为， 各项次数分别为， 系数分别为， 叫次项式。3、整式： 单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）幂排列：1223223yxyyxx按x的升幂排列：按x的降幂排列：按y的升幂排列：按y的降幂排列：5、同底数幂的乘法法则：mnm naaa（nm,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。例 1.若6422a，则 a= ；若8)3(327n，则 n= . 例 2.若125512 x，则xx2009)2(的值为。例 3 .设 4x=8y-1,且 9y=27x-1,则 x-y 等于。6、幂的乘方法则：mnnmaa )(（nm,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备精品知识点幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(如：23326)4()4(47、积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。（523)2zyx= 8、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,0都是正整数，且)mn同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab9、零指数和负指数；10a，即任何不等于零的数的零次方等于1。ppaa1（pa, 0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。如：81)21(23310、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：xyzyx323211、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mcmbmacbam)(cbam,都是单项式 ) 注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：)(3)32(2yxyyxx= 12、多项式与多项式相乘的法则: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备精品知识点多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。如：(32 )(3 )abab13、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：bamba242497= 14、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：()ambmcmmammbmmcmmabc例 1.（a61b） （2a31b） （ 3a2121b2） ；例 2.（ab） （ab）2（ a22abb2） 2ab例 3.已知 x2x 10，求 x32x23 的值15、平方差公式：22)(bababa注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：)(zyxzyx= 16、完全平方公式：2222)(bababa公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2 倍。注意：abbaabbaba2)(2)(2222abbaba4)()(22222)()()(bababa222)()()(bababa完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2 倍。17、三项式的完全平方公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备精品知识点bcacabcbacba222)(2222例 1.利用平方差公式计算：22007200720082006例 2.广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后， 南北方向要缩短3 米，东西方向要加长3 米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？例 3.（1）,21xx求221xx的值。（2）,16)(2yx4)(2yx，求 xy 的值。18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法A.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例 1.把2105axaybybx分解因式分析： 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是5xy，这样可以继续提取公因式解：2105axaybybx说明： 用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试例 2.把2222()()ab cdabcd分解因式分析： 按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备精品知识点解：2222()()ab cdabcd= 说明： 由例 2、例 1 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用B. 公式法： 根据平方差和完全平方公式分解因式22925xyC.配方法：分解因式2616xx说明： 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验D.十字相乘法：（ 1） 2()xpq xpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和22()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq因此，2()()()xpq xpqxpxq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式例 1.把下列各式因式分解：(1) 276xx(2) 21336xx说明： 此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同例 2.把下列各式因式分解：(1) 2524xx(2) 2215xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备精品知识点说明： 此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同例 3.把下列各式因式分解：(1) 226xxyy(2) 222()8()12xxxx分析：(1) 把226xxyy看成x的二次三项式， 这时常数项是26y， 一次项系数是y，把26y分解成3y与2y的积，而3( 2 )yyy，正好是一次项系数(2) 由换元思想，只要把2xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式2812aa（2）一般二次三项式2axbxc型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a xca xca a xa ca c xc c反过来，就得到：2121221121122()()()a a xa ca c xc ca xca xc我们发现， 二次项系数a分解成12a a， 常数项c分解成12c c， 把1212, ,a a c c写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a ca c，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122()()a xca xc，其中11,a c位于上一行，22,ac位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解例 4.把下列各式因式分解：(1) 21252xx(2) 22568xxyy说明： 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1 时较困难，具体分解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备精品知识点时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法” 凑 ” ，看是否符合一次项系数，否则用加法” 凑” ，先 ” 凑” 绝对值，然后调整，添加正、负号提高练习1 （2x2 4x10xy） （）21x125y2若 xy8，x2y24，则 x2y2_3代数式4x23mx9 是完全平方式,则 m_4.2013201421.53_ 5. 若22210abb，则22a bab= 。6. （ a1） （a1） （a21）=。7. 一个正方形的边长增加4cm ，面积就增加56cm ，原来正方形的边长为。8 （3+1） （32+1） （34+1）（32008+1）401632= 。9 （1） （4x3y）2（4x3y）2（2） （x22x1） （x22x1） ；10求（ 1221） （ 1231） （1241） （1291） （12011）的值11已知 xx12，求 x221x，x441x的值12已知（ a1） （b2） a（b3） 3，求代数式222baab 的值13若（ x2pxq） （x22x3）展开后不含x2，x3项，求 p、q 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备精品知识点14. 试说明（1）两个连续整数的平方差必是奇数（ 2）若 a 为整数，则aa3能被 6 整除15察下列各式（x-1） (x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 （x-1）(x3+x2+x+1)=x4-1 （1）根据规律可得(x-1)(xn-1+ +x +1)=（其中 n 为正整数）（2）计算：（3）计算：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页