全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到三角形的中线， 倍长中线， 使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目3)遇到等腰三角形，可作 底边上的高 ，利用“ 三线合一 ”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 4)遇到角平分线， 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理5)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线线段造全等例 1.已知：如图3 所示， AD 为 ABC 的中线，求证： AB+AC2AD。分析：要证 AB+AC2AD ， 由图形想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有： AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD，但它的左边比要证结论多BD+CD ，故不能直接证出此题，而由2AD 想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD 至 E，使 DE=AD ，连接 BE，CE。EDCBA 3图例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. 因为 BD=DC=AC ，所以 AC=1/2BC 因为 E 是 DC 中点，所以 EC=1/2DC=1/2AC ABCDE3图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页ACE=BCA，所以 BCAACE 所以 ABC=CAE 因为 DC=AC ，所以 ADC=DAC ADC=ABC+BAD 所以 ABC+BAD=DAE+CAE 所以 BAD=DAE 即 AD 平分 BAE应用：二、截长补短例 1.已知：如图1 所示，AD 为 ABC 的中线，且 1=2, 3=4。求证： BE+CFEF 。分析：要证BE+CFEF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知1=2， 3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF 移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。延长 FD 到 G , 使 DG=FD, 再连结 EG,BG 1、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD AC 证明：取 AB 中点 E，连接 DE AD=BD DEAB，即AED=90o【等腰三角形三线合一】AB=2AC AE=AC 又 EAD=CAD【AD 平分 BAC】AD=AD AEDACDSASC=AED=90oCDACCDBAABCDEFN1图1234精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页EDCBADCBAPQCBA2、如图， AC BD ，EA,EB分别平分 CAB,DBA ，CD过点 E，求证 ;ABAC+BD 在 AB 上取点 N ,使得 AN=AC CAE=EAN ,AE 为公共边 ,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以 ANE=ACE 又 AC 平行 BD 所以 ACE+BDE=180 而ANE+ENB=180 所以 ENB=BDE NBE=EBN BE 为公共边 ,所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD 3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且 AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 证明：做辅助线 PM BQ，与 QC 相交与 M。首先算清各角的度数APB=180 BAPABP=180 30 80 =70且APM=180 APBMPC=180 70 QBC同位角相等 =180 70 40 =70APB=APM 又AP 是 BAC 的角平分线，BAP=MAP AP 是公共边ABPAMP(角边角AB=AM，BP=MP 在MPC 中， MCP= MPC=40 MP=MC AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在QBC 中QBC=QCB=40BQ=QC BQ+AQ=AQ+QC=AC BQ+AQ=AB+BP 4、 角平分线如图，在四边形ABCD 中，BC BA,AD CD ，BD平分ABC，求证：0180CA延长 BA,作 DFBA 的延长线，作 DEBC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页P21DCBA1=2 DE=DF角分线上的点到角的两边距离相等在 RtDFA 与 RtDEC 中AD=DC,DF=DE RtDFARtDECHL) 3=C 因为 4+3=1804+C=180 即A+C=180 ?5、如图在 ABC中， AB AC ， 1 2，P为 AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 延长 AC 至 E，使 AE=AB，连结 PE。然后证明一下 ABPAEP 得到 PB=PE 备用 角边角证很容易吧PCE 中，ECPE-PC EC=AE-AC ，AE=AB EC=AB-AC 又 PB=PE PE-PC=PB-PC AB-ACPB-PC 应用：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页OEDCBA三、平移变换例 1 AD 为 ABC的角平分线，直线MN AD于 A.E 为 MN上一点， ABC周长记为AP，EBC周长记为BP. 求证BPAP. 例 2 如图，在 ABC的边上取两点D 、E，且 BD=CE ，求证： AB+ACAD+AE. EDCBA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O ，求证： OE=OD 在 AC 上取点 F，使 AF=AE AD 是角 A 的平分线角 EAO角 FAE/ AO=AO 三角形 AEO 与 AFO 全等两边夹角相等EO=FO ，角 AOE角 AOF CE 是角 C 的平分线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页角 DCO角 FCO 角 B60角 A+角 C18060120角 COD=角 CAO角 OCA角 A/2角 C/260 度角 OCF180角 AOF- 角 COD180606060角 OCF角 COD OC=OC 三角形 OCD 与 CFO 全等 两边夹角相等CF=CD AC=AF+CF AE+CD 即： AE+CD=AC2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. 1说明 BE=CF的理由；2如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . 证明：连接 BD,CD DGBC 于 G 且平分 BC 所以 GD 为 BC 垂直平分线垂直平分线上的点到线段两端点距离相等BD=CD 角平分线上的点到角两边距离相等,AD 平分 BAC，DEAB 于 E，DFAC 的延长线于 F 所以 DE=DF 在 RTBED,RT CFD 中DE=DF BD=CD RTBEDRTCFD(HL) EDGFCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页NMEFACBAFEDCBABE=CF 应用：五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . 将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度， 至三角形 ABG 则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE ，AF=AG，所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以 EAF=GAE=BAE+GAB= BAE+DAF 又EAF+BAE+DAF=90 所以 EAF=45 度例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。（1）当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。（2）假设 AB=2 ，求四边形DECF的面积。做 DPBC，垂足为 P，做 DQAC，垂足为 Q D 为中点，且 ABC 为等腰 RTABC DP=DQ=?BC=?AC 又 FDQ=PDE(旋转 DQF=DPE=90 DQFDPE SDQF=SDPE 又S 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+S DPE S 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+S DQF=?BC*?AC=?AC2AC=BC= 定值四边形 DECF 面积不会改变例 3 如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页BCDNMA我简单说一下过 D 点做 DEAB 的延长线然后证明 DMNDME 注意 DBE 实际上是 DCN 旋转后得来的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页