PxyAOMT高中数学必修45 总结第一部分三角函数及其恒等变换1 与角终边相同角的集合为Zkk,360，象限角，轴线角的集合可借用此表示。2 已知是第几象限角， 求n*Nn所在象限的方法： 先把各象限均等为n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一，二，三，四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域。3 半径为r的扇形的圆心角（为弧度制）所对弧的长为l，周长为C，面积为S，则有以下公式：rllrC222121rlrS4 三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。5 三角函数线：MPsinOMcosATtan6 同角三角函数的基本关系：1cossin22cossintan7 三角函数的诱导公式：公式一：sin2sinkcos2cosktan2tank公式二：sinsincoscostantan公式三：sinsincoscostantan公式四：sinsincoscostantan公式五：cos2sinsin2cos公式六：cos2sinsin2cos公式一到四：函数名称不变，正负看象限。公式五到六：奇变偶不变，正负看象限。补充公式：tan12tantan12tanZkk,28 三角函数的图象与性质xysinxycosxytan图象定义域RR,2x xkk函数性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性22,22kk上是增函数。Zk232,22kk上是减函数。Zkkk2,2上 是 增 函数。Zkkk2,2上 是 减 函数。Zk2,2kk上是增函数。Zk对称性对称中心0,k对称轴2kxZk对称中心0 ,2k对称轴kxZk对称中心0,2k，Zk，无对称轴。9 三角函数不等式的解法（1）三角函数线法。 （2）函数图象法。例：若求22sinx的解集，则画出直线22y，则该直线上方y 值所对应的x 的值就是该不等式的解集。10函数bxAysin0,0A的图象与性质：（1）图象的变化过程：函数xysin的图象向左平移个单位xysin，图象上各点的横坐标变缩短为原来的1倍xysin，图象上各点的纵坐标变为原来的A倍xAysin，图象向上平移b个单位bxAysin。（2）bxAysin的周期T为2，同理得T2（3）若bxAysin的最大值为maxy，最小值为miny，则minmax21yyA，minmax21yyb。（4）利用以上结论，再根据图象中任意一点以及的范围，可求得bxAysin的解析式。11两角和与差的正弦，余弦，正切公式和二倍角公式：（1）cossincossin)sin(sinsincoscoscos（2）cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos（3）tantan1tantantan2tan1tan22tan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页12拓展公式（不要求记忆）（1）半角公式：2cos12sin2cos12coscos1cos12tan（2）积化和差公式：sinsin21cossinsinsin21sincoscoscos21coscoscoscos21sinsin（3）和差化积公式：2cos2sin2sinsin2cos2sin2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos（4）弦化切公式：2tan12tan2sin22tan12tan1cos22（5）三倍角公式3sin4sin33sincos3cos43cos323tan31tantan33tan13几个有用的三角函数结论（1）若abtan，则abarctan，则有以下结论：abbabaarctansincossin22（2）当4k时，且Zk，则2)tan1(tan1（3）函数bxAysin的对称轴为2kxZk，对称中心为),(bkZk第二部分：平面向量与解三角形1向量的基本概念：三要素，零向量，单位向量，平行向量，相等向量，共线向量。（1）零向量与任一向量平行0a。（2）若a与b共线，则ab。（3）若a与b相等，则ab且ba2平面向量的线性运算：（1）向量的加法运算：三角形法则（左图），平行四边形法则（右图）。（2）三角形不等式：bababa（3）向量的加法满足交换律，结合律。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页（4）向量的减法运算：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。（5）向量的运算公式：ACBCAB（合并公式） ，BCABAC（分解公式） ，0BAAB这些在做题中应用相当广泛。（6）向量的数乘运算：aa，0时，a的方向与a相同；0时，a的方向与a相反；0时，0a。向量的数乘运算符合交换律，结合律，分配律。（7）向量共线定理：若a与b共线，0a则有唯一的实数，使得ab。用这个结论可以证明两向量共线。3 平面向量的基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数21,，使2211eea。 （不共线的向量1e，2e作为这一平面内所有向量的一组基底）4 平面向量的坐标运算：（1）平面向量的坐标：将向量的始点平移到坐标原点上则向量的终点对应的坐标即为该向量的坐标。即一个向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标。（2）平面向量的坐标运算：若11, yxa，22,yxb，则：2121,yyxxba2121,yyxxba21, xxa（3）平面向量共线的坐标表示：若11, yxa，22, yxb，a与b共线，则有以下关系：01221yxyx用这个结论可以证明两向量共线。（4）两点11, yxA，22, yxB之间的距离公式，中点C的坐标公式为：221221yyxxAB2,22121yyxxC（5）分点坐标公式： 设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,xy，当12uuu ruu ur时，点的坐标是1212,11xxyy5 平面向量的数量积：（1）cosbaba（为a与b的夹角），零向量与任一向量乘积为0。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页（2）babaa与b同向；0ba为锐角；0ba为直角；0ba为钝角；babaa与b异向。（3）0babababa（4）平面向量数量积的坐标表示：若11, yxa，22, yxb，为a与b的夹角，则有以下关系：2121yyxxba222221212121cosyxyxyyxxbaba6 正弦定理与余弦定理：（1）正弦定理：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，则：CBAcbaRCcBbAasinsinsin2sinsinsin（2）余弦定理：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos22227.解三角形的推论：（1）三角形的面积公式：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：BacAbcCabSsin21sin21sin21（2）判断角的大小范围：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：Ccba222为锐角；Ccba222为直角；Ccba222为钝角。（3）判断三角形解的情况：1 已知一边与两个角。 （一个解）2 已知三边。（若两边之和大于第三边则有一个解，否则无解）3 已知两边及其夹角。 （一个解）4 已知两边及一边的对角。（一个解，两个解或者无解）已知三角形ABC两边a，b，a的对角为A。（ 1）若A为直角或者钝角，ba，则有一个解，否则无解。（ 2）若A为锐角，Abasin，则有两解。B可取锐角或者钝角。（ 3）若A为锐角，Abasin，则有一解。B可取直角。（ 4）若A为锐角，Abasin，则无解。（4）在三角形内成立的特殊关系：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：CBAsinsin0cos)cos(CBA2cos2sinCBA2sin2cosCBACBACBAtantantantantantan（5）中线长公式：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a边上的中线长为am，b边上的中线长为bm，c边上的中线长为cm则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页222222acbma222222bcamb222222cbamc第三部分数列1 等差数列：（1）等差数列的递推公式：daann 1。（2）等差数列的通项公式：dnaan11。（3）若a，b，c成等差数列，则b为a与c的等差中项，则cab2。2 等差数列的前n项和：等差数列前n项和的公式：21nnaanS，dnnnaSn211。3 等差数列的推论：（1）daann1（可用此证明等差数列）。（2）112nnnaaa。（3）中aaaaaaannn223121（结论 2 的推广）。（4）若na，nb为等差数列，那么nnqbpa也为等差数列。（5）dnmaanm)(（通项公式的推广） 。（6）求公差的公式：1nnaad，nmaadnm。（7）若qpnm，那么qpnmaaaa。（8）等差数列的通项公式也可表示为qpnan，它是一个一次函数，已知任意两项，就可用待定系数法求通项公式。其中，qpa1，pd。（9） （根据结论3 进行推导）（10）等差数列前n项和的公式为dnnnaSn211，也可表示为BnAnSn2，它是一个二次函数，其中，BAa1，Ad2。反之，若BnAnSn2，则na为等差数列。若CBnAnSn2，则na从第 2 项起为等差数列。（11）已知nS，求na的方法：11Sa，21nSSannn（12）若na为等差数列，则nSn也为等差数列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页（13）若na，nb为等差数列，其前n项和分别为nA，nB，那么1212nnnnBAba（14）mS，mmSS2，mmSS23，Zm也为等差数列。（15）若项数为n2*Nn，则nnanS122，ndSS奇偶，且1nnaaSS偶奇。（16）若项数为12n*Nn，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇，其中，nnaS奇，nanS1偶。4 等比数列：（1）等比数列的递推公式：nnqaa1（2）等比数列的通项公式：11nnqaa（3）若a，b，c成等比数列，则b为a与c的等比中项，则acb25 等比数列的前n项和：等比数列前n项和的公式：qqaSnn111，qqaaSnn116 等比数列的推论：（1）daann1（可用此来证明等比数列）（2）112nnnaaa（3）223121中aaaaaaannn（结论 2 的推广）。（4）若na，nb为等比数列，那么nnba也为等比数列。（5）nmnmqaa（通项公式的推广） 。（6）求公比的公式：1nnaaq，nmnmaaq。（7）若qpnm，那么qpnmaaaa。（8）等比数列前n项和的公式经过变形，可写为AAqSnn的形式，其中11qaA。反之，若数列前n项和满足AAqSnn，则该数列为等比数列。（9）若在a，b之间插入n个数，使之成为等比数列，则这个等比数列的公比1nabq。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页（10）mS，mmSS2，mmSS23，Zm也为等比数列。（11）若项数为n2*Nn，则qSS奇偶（12） 设等比数列前n项积为nT， 若项数为n2*Nn， 则nqTT奇偶， 若项数为12n*Nn， 则nqTT偶奇。7 数列技巧方法归纳：（1）叠加法，累乘法。一般方法： 将数列的递推公式或者数列前n项和的递推公式从1n全部列出， 将所列出所有的式子全部相加（或相乘）得到数列的通项公式或者数列前n项和的公式。（2）倒序相加法一般方法：将数列的前n项和的排列成顺序和倒序两种形式，两式相加，经过适当变形，得到前n项和的公式。（3）错位相减法一般方法：前n项和两边乘以（或除以）一定倍数有递增（或递减）趋势的量，作为一式，来减去原式，经过适当变形，得到前n项和的公式。（4）裂项相消法。分式裂项公式：annaann1111nanaann1111（n和a既可以为常数，也可以为字母或代数式）一般方法：将数列的前n项和有分式的项进行裂项，提取公因式，全部相加可消去其中大多项，经过适当变形，得到前n项和的公式。（5）构造数列法。一般方法：如果题目中已给出特定的形式，则直接换元，变为等差数列或者等比数列，求出所求通项公式以后，再换回来得解。若题目中无特定的形式，则采用两边同时相加（减）或者两边同时相乘（除）的方法，换元变为等差数列或者等比数列，求解。（6）由递推公式求通项公式：qpaann 1为常数qp,型：递推公式两边加一个常数k，使之满足两边项的系数比相等，两边相除，构造等比数列求解。其中1pqk，通项公式为kpkaann118 解答数列大题的一般步骤：（1）若已知nS，1nS，na，1na的关系，利用公式：11Sa，1nnnSSa2n，转化为na，1na等量的递推关系。（2）利用递推关系进行适当的变形（构造数列，两边相加，相乘等方法），将数列转化为熟悉的等差数列或等比数列来求得通项公式。（3）利用通项公式进行分析，利用叠加法，累乘法，倒序相加法，错位相减法，裂项相消法等方法进行变形，整理，得出该数列的求和公式。（4）在整个过程中要注意必须使脚码的数值有意义。第四部分不等式1不等式的性质：（1）如果0ba，那么ba；如果0ba，那么ba；如果0ba，那么ba。（2）如果ba，cb，那么ca。（3）如果ba，那么cbca。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页（4）如果ba，0c，那么bcac；如果ba，0c，那么bcac。（5）如果ba，dc，那么dbca。 （不等式的相加原理）（6）如果0ba，0dc，那么bdac。 （不等式的相乘原理）（7）如果0ba，那么nnba。1n（8）如果0ba，那么nnba。1n2不等式性质的应用：（1）证明某不等式成立。（2）不等式性质的推论：若0ba，0c，则cacbab，cbcaba。（3）已知几个字母的范围，求它们和，差，积，商的范围。（利用性质3，4，5，6）（4）做差法比较数或代数式的大小：利用性质1：如果0ba，那么ba；如果0ba，那么ba；如果0ba，那么ba。（5）做商法比较正数或者正值代数式的大小：如果1ba，那么ba；如果1ba，那么ba；如果1ba，那么ba。其中00ba且。3一元二次不等式的解法：（1）二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：先将一元二次不等式的二次项系数变为正，然后看图写解集，如下表：判别式acb42000二次函数02acbxaxy的图象一元二次方程002acbxax的根aacbbx2421aacbbx2422abxx221没有实数根一元二次不等式002acbxax的解集21xxxxx或abxx2R一元二次不等式002acbxax的解集21xxxx（2）若0，一元二次方程002acbxax的根为1x，2x，若所对应一元二次不等式二次项系数a与不等式整体的系数同号，则解集取两边；若所对应一元二次不等式二次项系数a与不等式整体的系数异号，则解集取中间。 （同号取两边，异号取中间）（3）一元二次不等式中的分类讨论思想：1若二次项系数为字母，则需考虑二次项系数为0 的情况。2若一元二次不等式中含有字母，解出的两根需要考虑大小问题，分类讨论，再取解集。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页（4）一元二次不等式中的解的情况：1 一 元 二 次 不 等 式002acbxax恒 成 立 的 条 件 是0a且0； 一 元 二 次 不 等 式002acbxax恒成立的条件为0a且0。 （即解集为R）2 一 元 二 次 不 等 式002acbxax解 集 为的 条 件 是0a且0； 一 元 二 次 不 等 式002acbxax解集为的条件为是0a且0。4 一元二次方程的有关技巧：（1）速解特殊一元二次方程的根的技巧：1一元二次方程002acbxax中，若0cba，则11x，acx2。2一元二次方程002acbxax中，若cab，则11x，acx2。（2）十字相乘法解一元二次方程：一般方法：将一元二次方程的三个系数均化为无分母的形式（既不是分数也不是小数），且a的为正整数，得到002acbxax， 将a分解成 2 个正整数的乘积21,aa，将c分解成 2 个非分数的乘积21,cc，进行交叉相乘，如果bcaca1221，那么分解成功，原方程可转化为02211cxacxa的形式，化为两个一元一次方程，进而求得方程的根。（3）一元二次方程根情况的讨论：1两根1x，2x同时为正00acab且。2两根1x，2x同时为负00acab且。3两根1x，2x异号0ac5 特殊不等式的解法：（1）分式不等式的解法：一般方法：先将所有项移到不等式左边，通分，如果分式的值大于0，则分子与分母同号，求解；如果分式的值小于0，则分子与分母异号，求解。注意分母不能为0。（2）一元高次不等式的解法：一般方法：解出其中的所有根1x，2x，nx，从小到大排序，画在数轴上，从右上开始像穿针线那样画一条穿过所有根的线，若有同时有偶数个相同的根，则反弹回去，若同时有奇数个相同的根，则正常穿过。若求的是大于0 的解集， 则看数轴上方线上对应的x，即为原不等式的解集；若求的是小于0 的解集，则看数轴下方线上对应的x，即为原不等式的解集。 （理论来源： 三次函数以上高次函数的图象可得，这里不做研究。）6 解析几何的简单知识：（1）直线的倾斜角与斜率1一条直线与x正半轴方向所夹的角为该直线的倾斜角，若该直线与x轴平行或重合，则0。2直线斜率k的公式：若倾斜角为，则tank；若直线上任意两点坐标为2211,yxyx，则1212xxyyk。如果该直线垂直于x轴，则该直线的斜率不存在。（2）直线的方程的形式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页1一般式：0,0不同时为BACByAx2斜截式：轴上的截距为直线在为斜率，ybkbkxy3点斜式：为该直线上的任意一点为斜率，0000,yxkxxkyy4两点式：为该直线上任意两点2211121121,yxyxxxxxyyyy5截距式：轴上的截距轴上的截距与直线在分别为直线在yxbabyax,1（3）点yx,到直线0CByAx的距离为22BAcByAx。（4）圆的标准方程为为半径为圆心坐标，rbarbyax,222。7 二元一次不等式（组）与平面区域：（1）确定二元一次不等式0,00不同时为或BACByAxCByAx平面区域的方法：先在平面直角坐标系中画出所对应的直线0,0不同时为BACByAx，将平面区域分成两大块，选择测试点，带入原不等式，如果成立，则解集为该点所在的区域。如果不成立，则在另一边的区域。（2）确定二元一次不等式0,00不同时为或BACByAxCByAx平面区域的方法：若B的符号与不等式整体的符号同号，则满足原不等式的平面区域位于直线的上方；若B的符号与不等式整体的符号异号，则满足原不等式的平面区域位于直线的下方。（同号取上方，异号取下方）（3）确定二元一次不等式组的平面区域：把各个二元一次不等式的平面区域画出来，取公共部分，即为原二元一次不等式组的平面区域。8 线性规划问题：（1）求目标函数）不同时为（0,babyaxz的最值：一般方法：先画出满足题意的二元一次不等式组的平面区域，先把目标函数化为bzxbay的形式。若0bz，求z的最大值，由于斜率一定，则将bzxbay在满足线性约束条件的前提下平移，找到直线与y轴截距最大的点，及截距，可算出z的最大值；最小值同理。若0bz，则截距的最大值求出的z为z的最小值；截距的最小值为出的z为z的最大值。（ 2）若使目标函数）不同时为（0,babyaxz取得最值的最优解有无数个，则目标函数对应的直线bzxbay必与线性约束条件下平面区域的某一边界重合。（3）与斜率综合的求最值问题。给出一组x，y所满足的条件，求形如bxay的最值问题，可转化为平面区域内找一点，求经过该点与点ba,的直线的斜率的最值，则以ba,为定点，且直线上的一些点在平面区域内，进行旋转，最斜时，经过对应点与ba,的直线的斜率最大，反之最小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页（4）与两点之间距离公式综合的求最值问题。给出一组x，y所满足的条件，求形如22byax的最值问题，可转化成在平面区域内找一点，求该点与ba,距离平方的最大值。9 基本不等式与重要不等式：（1）基本不等式由02ba可推得：002babaab且，且当ba时，原不等式取等号。（2）重要不等式由02ba可推得：abba222，且当ba时，原不等式取等号。（3）其它常用的不等式：0022babaab且，22222baba。10 极值定理：（1）若syx（和为定值） ，则当yx时，积xy取得最大值：42s。（2）若pxy（积为定值） ，则当yx时，和yx取得最小值p2。11 常见不等式的极值问题：（1）000baxxbax且且的最小值为：ab2。（2）xaxxax且0的最大值为：42a。12 分母换元法形如求为常数nmcbanmxnmxcbxax,02的最值问题，可令nmxt，则变为tcbtat2的形式，分离常数得到btcat，再用基本不等式求解，会很简便。高中数学必修45 总结长治六中259 班付思豪2011 年 6 月 20 日 2011 年 6 月 30 日原创制作致给我亲爱的同学们：即将要分班了，作为礼物，我将我制作的数学必修45 的总结送给你们。我希望你们可以认真阅读，细心琢磨其中的知识。学习数学，重要的是思维能力。而要提升这种能力，必须要多做题，多善于总结，看到难题不肯放弃，认真琢磨，拿到一道题要从多方面角度想，多想，一般就可以发现一些书上没有的规律方法。做题多，见的题型多，那么考试的时候，就会发觉全都做过类似的题，那么考试就不愁考不好了。我希望你们可以将这份东西保存下来，可以作为复习资料来用，我还希望到了以后，你们不要忘掉我。最后，祝你们数学考试成功。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页