名师精编精品教案第一章函数 极限 连续教学目标： 1. 理解函数的概念2掌握函数的特性及基本初等函数的性质。3. 理解复合函数与初等函数的概念。教学重点：基本函数的概念，初等函数，分段函数，复合函数等的性质。主要内容： 1. 函数的概念2. 函数的特性3. 反函数4. 基本初等函数5. 复合函数与初等函数教学方法：讲授法，利用多媒体辅助教学课后作业：习题1.1 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学则以变量为研究对象. 函数是微积分学研究的对象. 所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法则是研究变量的一种基本方法，连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限和连续的概念以及它们的基本性质 . 1.1 函数的概念及其性质重温中学所学的函数的概念、性质，对于做好初等数学和高等数学的衔接是至关重要的.一 、函数概念1常量与变量在日常生活、生产活动和经济活动中，经常遇到各种不同的量. 这些量可以分为两类，一类是在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们称它为 常量 ；另一类在所考察的过程中是变化的，可以取不同的数值，我们称它为变量 . 对于一个变量，它如果取介于两个实数之间的任意实数值，则称之为连续变量 ，连续变量的变动范围常用区间表示. 2区间和邻域（1）有限区间设 ab, 称数集 x|axb 为开区间 , 记为 (a, b), 即 (a, b)x|axb 类似地有 a, b x | a x b 称为 闭区间 , a, b) x | axb 、(a, b x | axb 称为 半开区间 . 其中 a 和 b 称为区间 (a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端点 , ba 称为 区间的长度 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页名师精编精品教案（2）无限区间有以下几种情况：（a, ) x | xa , a, ) x | xa , (, b) x | x b , (, b x | x b (, )x | | x | . （3）邻域以点 a为中心的任何开区间称为点a 的邻域 , 记作 U(a) 设 是一正数 , 则称开区间 (a, a)为点 a 的 邻域 , 记作 U(a, ), 即 U(a, )x | a x a x | xa| 其中点 a 称为邻域的 中心 , 称为邻域的 半径 ，见图 1-1 （a） ；去掉邻域的中心a，即满足不等式00|xx，则称为点x0的去心邻域U(a, ) ，记作：U(a, )x |0| xa |1 时, y1 x （图 1-4 ）例如：2212)21(f; 212)1 (f; f(3)1 3 4 二 函数特性1函数的有界性定义设函数 y=f(x)在集合 D 上有定义，如果存在一个正数M ，对于所有的xD，恒有|f(x)|M ，则称函数f(x) 在 D上是 有界 的. 如果不存在这样的正数M ，则称 f(x) 在 D 上是无界 的. 函数 y=f(x)在区间（ a,b ）内有界的几何意义是：曲线y=f(x)在区间（ a,b ）内被限制在 y=-M 和 y=M两条直线之间（如图1-5 ）. 对于有界性，要注意以下两点：当一个函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有界时，正数 M的取法不是唯一的，有界性是依赖于自变量变化区间的. 2函数的奇偶性定义设函数 y=f(x)在集合 D上有定义，如果对任意的xD，恒有 f(-x)=f(x)，则称1 o x y o x y 图 1-5 o x y y=x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页名师精编精品教案f(x)为偶函数 ；如果对任意的xD，恒有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)为奇函数 . 由定义可知，对任意的xD，必有 -x D,否则， f(-x)没有意义 . 因此函数具有奇偶性时，其定义域定是关于原点对称的. 偶函数的图像是关于y 轴对称的，奇函数的图像是关于原点对称的 . 3函数的单调性定义设函数 y=f(x)在区间 (a,b)内的任意两点x1和 x2，当 x1x2时，有 f(x1)f(x2) ，则称函数f(x) 在 (a,b) 内是 单调递增 的；如果对于(a,b) 内的任意两点x1和 x2，当 x1f(x2) ，则称函数f(x)在(a,b)内是 单调递减 的. 单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数 .单调递增函数的图像是沿x 轴正向逐渐上升的，单调递减函数的图像是沿x 轴正向逐渐下降的. 4函数的周期性定义对于函数y=f(x)，如果存在正数T，使 f(x)=f(x+T)恒成立， 则称此函数为周期函数 .满足这个等式的最小正数T 称为 函数的周期 . 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上 , 函数的图形有相同的形状三反函数定义设 y=f(x)是 x 的函数， 其值域为R，如果对于R中的每一个y 值，都有一个确定的且满足y=f(x)的 x 值与之对应， 则得到一个定义在R上的以 y 为自变量， x 为因变量的新函数，我们称它为y=f(x)的反函数 ，记作 x=f 1(y) ，并称 y=f(x)为原函数 . 当然我们也可以说y=f(x)是 x=f1(x) 的反函数， 就是说， 它们互为反函数. 显然， 由定义知，单调函数一定有反函数. 习惯上，我们总是用x 表示自变量，用y 表示因变量，所以通常把 x=f1(x) 改写为 y=f 1(x). 求反函数的过程可以分为两步：1）从 y=f(x)解出 x=f1(y) ；2）交换字母x 和 y. 可以证明，函数y=f(x)与其反函数y=f1(x) 的图像关于直线y=x 对称 . 四基本初等函数基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六大类，它们是微积分中所研究对象的基础. 因此，以下分别阐述它们各自的性态. 1、 常函数 y=k 它的定义域是(- ,+ ) ，由于无论x 取何值，都有y=k，所以，它的图像是过点(0,k)平行于 x 轴的一条直线，它是偶函数. 2幂函数y=x（ 为实数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页名师精编精品教案幂函数的情况比较复杂，我们分0 和0 来讨论 . 当取不同值时，幂函数的定义域不同，为了便于比较，我们只讨论x0 的情形，而x0 时，函数的图像通过原点(0,0) 和点 (1,1) ，在 (0,+ ) 内单调 递增且无界 . 当0,a 1) 它的定义域是(- ,+ ) ，由于无论x 取何值，总有ax0，且 a0=1，所以它的图像全部在 x 轴上方，且通过点(0,1).也就是说，它的值域是(0,+ ). 当 a1 时，函数单调 递增且无界， 曲线以 x 轴负半轴为渐近线；当 0a0, a1) 它的定义域是(0,+ ) ，图像全部在y 轴右方，值域是(- ,+ ). 无论 a 取何值，曲线都经过点 (1,0). 当 a1 时，函数单调 递增且无界， 曲线以 y 轴负半轴为渐近线；当 0a0 且无限增大时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x时函数f(x)以 A为极限 . 记作xlimf(x)=A或 f(x)A (x). 2） 如果当 xx0趋于 x0时，函数 f(x)趋于一个常数A，则称当 x 趋于 x0时， f(x)的右极限 是 A.记作精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页名师精编精品教案0limxxf(x)=A或 f(x)A (x x0+). 设函数 y=f(x)在点 x0左侧的某个邻域（点x0本身可以除外）内有定义，如果当x0 （或 A0（或 f(x)0 f(1)=-20 根据零点定理在(0 1) 内至少有一点使得 f()=0即3-42+1=0 (01) 这等式说明方程x 3-4x 2+1=0 在区间（ 0 1 ）内至少有一个根. 函数连续性的概念是函数概念和极限概念相结合而得出的另一个重要概念，在客观事物中，当自变量的变化幅度小时，因变量的变化幅度也小这种现象给出了一种严格的数学定义 . 连续函数有重要的性质，比如，有界闭区间上的连续函数是有界函数，零点定理成立，有介值性，并且能够取到最大值与最小值（最优解的存在性）；连续函数求极限十分简单，即极限值等于函数值，)()(limafxfax；当等式)()(limafxfax不成立时，称函数axf在)(处是不连续，称为)(xf的间断点； 由于连续函数的四则运算（除法时使得分母为零的点除外）、取反函数运算和复合函数运算保持连续性等等，这里渗透着一种数学思想：首先根据连续性定义直接证明几个简单函数的连续性，然后建立连续函数的运算法则，由此立刻可得到两个重要结论：基本初等函数在其定义域内处处连续；初等函数在其定义区间（既包含在定义以内的区间）内处处连续. 对分段函数在分段点的两侧有共同初等函数表达式的开区间内是连续的，分段点处根据左右连续性来讨论其连续性 . 我们知道，一元一次方程，一元二次方程都有求根公式.可以证明三次、四次方程也有类似的求根公式，不过比较复杂.五次和五次以上的代数方程没有求根公式，因此，五次和五次以上的代数方程，更一般的函数方程0)(xf是否有根就是一个重要的理论问题.零点定 理给出了在一定条件下 保证根存在的一个充分 条件 .例如可用零点定理证明方程20052210,210xxxx在区间)1 ,0(上至少有一个根存在. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页