学习必备欢迎下载高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形. 2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学重点 ：能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形能解决与三角形有关的实际问题教学难点： 根据已知条件判定解的情形，并正确求解将实际问题转化为解斜三角形教学过程一、基础回顾1、正余弦定理正弦定理：asinAbsinBcsinC2R(其中 R为ABC外接圆的半径 ) 余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB；c2 a2b22abcosC 2、变形式a2RsinA ，b2RsinB ，c2RsinC ； (其中 R 是 ABC外接圆半径 ) abc sinA： sinB：sinB cosAb2c2a22bc，cosBa2c2b22ac，cosCa2b2c22ab. 3、三角形中的常见结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载(1) A BC. (2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：ABabsinAsinB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4) ABC的面积公式 S12ah(h 表示 a 边上的高 ) ； S12absinC 12acsinB 12bcsinA abc4R； S12r(a bc)(r为内切圆半径 ) ； SP（Pa）（ Pb）（ Pc），其中P12(a bc) 二、基础自测1、在 ABC中，若 A 60， B45， BC 32，则 AC _2、在 ABC中， a3，b1，c2，则 A_3、在 ABC中， a、 b、c 分别为角A、B、C所对的边，若a2bcosC，则此三角形一定是_三角形4、已知 ABC的三边长分别为a、b、 c，且 a2b2c2ab，则 C _5、在 ABC中， a 32，b 23，cosC13，则 ABC的面积为 _三、典例分析例 1 (2013 惠州模拟 ) ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b， c，asin Asin Bbcos2A2a. (1)求ba；(2)若 c2b23a2，求 B. 解：(1) 由正弦定理，得asin B bsin A ，又 asin Asin Bbcos2A2a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载bsin2Abcos2A2a，即 b2a，因此ba2. (2) 由 c2b23a2及余弦定理，得cos B a2 c2b22ac（13）a2c， (*) 又由 (1) 知， b2a， b22a2，因此 c2(2 3)a2， c23a312a. 代入 (*) 式，得 cos B 22，又 0B ，所以 B4. 规律方法： 1运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理2在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用例 2、(2013 合肥模拟 ) 已知 ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(4 ， 1) ，n(cos2A2，cos 2A) ，且mn72. (1) 求角 A的大小；(2) 若 bc2a23，试判断 ABC的形状解：(1) m(4 ， 1) ，n(cos2A2，cos 2A) ，mn4cos2A2cos 2A41 cos A2 (2cos2A1) 2cos2A2cos A3. 又mn72， 2cos2A2cos A372，解得 cos A12. 0A，A3. (2) 在ABC中，a2b2c22bccos A，且a3，(3)2b2c22bc12b2c2bc. 又bc23，b23c，代入式整理得c223c30，解得c3，b3，于是abc3，即ABC为等边三角形规律方法： 判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能例 3、(2012 课标全国卷 )已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角 A，B，C 的对边， acos C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载3asin Cb c0. (1)求 A；(2)若 a2， ABC 的面积为3，求 b，c. 解： (1) 由acos C3asin Cbc0 及正弦定理得sin Acos C3sin Asin Csin Bsin C0. 因为BAC，则 sin Bsin Acos Ccos Asin C. 所以3sin Asin Ccos Asin Csin C0. 由于 sin C0，所以 sin(A6)12. 又 0A，故A3. (2) ABC的面积S12bcsin A3，故bc4. 又a2b2c22bccos A，故b2c28. 由联立，得bc2. 四、练习变式练习 1：(2012 浙江高考 )在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 bsin A3acos B. (1) 求角 B的大小；(2) 若 b3，sin C 2sin A ，求 a，c 的值变式练习2：在 ABC中， a，b，c 分别为内角A， B，C的对边，且2asin A(2b c)sin B(2c b)sin C. (1) 求 A的大小；(2) 若 sin B sin C 1，试判断 ABC的形状五、作业布置六、板书设计1、正余弦定理2、变形式3、三角形中常用结论典例分析七、教学反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页