精品资料欢迎下载6.5 不等式的解法（二）知识梳理1.|x|axa 或 xa（a0） ；|x|aaxa（a0）. 2.形如|xa|+|xb|c 的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”. 3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论. 4.绝对值不等式的性质：|a|b|ab|a|+|b|. 思考讨论1.在|x|axa 或 xa（a0） 、|x|aaxa（a0）中的 a0 改为 aR 还成立吗 ? 2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么? 点击双基1.设 a、b 是满足 ab0 的实数，那么A.|a+b|ab| B.|a+b|ab| C.|ab|a|b| D.|ab|a|+|b| 解析：用赋值法 .令 a=1，b=1，代入检验 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页精品资料欢迎下载答案： B 2.不等式 |2x21|1 的解集为A. x|1x1 B.x|2x2 C.x|0x2 D. x|2x0 解析：由 |2x21|1 得12x211. 0x21，即1x1. 答案： A 3.不等式 |x+log3x|x|+|log3x|的解集为A.（0，1）B.（1，+）C.（0，+）D.（， +）解析： x0，x 与 log3x 异号，log3x0.0x1. 答案： A 4.已知不等式 a|22xx对 x 取一切负数恒成立， 则 a 的取值范围是_. 解析：要使 a|22xx对 x 取一切负数恒成立，令 t=|x|0，则 att22. 而tt22tt22=22，a22. 答案： a225. 已 知不 等 式 |2xt|+t 1 0 的 解 集 为 （ 21，21） ， 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页精品资料欢迎下载t=_. 解析： |2xt|1t，t12xt1t，2t12x1，t21x21. t=0. 答案： 0 典例剖析【例 1】 解不等式 |2x+1|+|x2|4. 剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令 2x+1=0，x2=0，得两个零点 x1=21，x2=2. 解：当 x21时，原不等式可化为2x1+2x4，x1. 当21x2 时，原不等式可化为2x+1+2x4，x1.又21x2，1x2. 当 x2 时，原不等式可化为2x+1+x24，x35. 又 x2，x2. 综上，得原不等式的解集为x|x1 或 1x. 深化拓展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页精品资料欢迎下载若此题再多一个含绝对值式子.如：|2x+1|+|x2|+|x1|4，你又如何去解？分析：令 2x+1=0，x2=0，x1=0，得 x1=21，x2=1，x3=2. 解：当 x21时，原不等式化为2x1+2x+1x4，x21. 当21x1 时，原不等式可化为2x+1+2x+1x4，44（矛盾） . 当 1x2 时，原不等式可化为2x+1+2x+x14，x1. 又 1x2，1x2. 当 x2 时，原不等式可化为2x+1+x2+x14，x23. 又 x2，x2. 综上所述，原不等式的解集为x|x21或 x1. 【例 2】 解不等式 x29x3. 剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x|aaxa 去绝对值 . 解法一：原不等式（1）390922xxx，或（2）.390922xxx，不等式（ 1）4333xxx或x3 或 3x4；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页精品资料欢迎下载不等式（ 2）2333xxx或2x3. 原不等式的解集是x2x4 或 x3. 解法二：原不等式等价于393032xxxx）（4333xxx，或 x2x=3 或 2x4. 原不等式的解集是x2x4 或 x3. 【例 3】 （理）已知函数 f（x）=x|xa|（aR）. （1）判断 f（x）的奇偶性；（2）解关于 x 的不等式： f（x）2a2. 解： （1）当 a=0 时，f（x）=x|x|=x|x|=f（x） ，f（x）是奇函数 . 当 a0 时，f（a）=0 且 f（a）=2a|a|. 故 f（a）f（a）且 f（a） f（a）. f（x）是非奇非偶函数 . （2）由题设知 x|xa|2a2，原不等式等价于222aaxxax，或.222aaxxax，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页精品资料欢迎下载由得.0222aaxxax，x. 由得.02）（，axaxax当 a=0 时，x0. 当 a0 时，或，axaxax2x2a. 当 a0 时，或，axaxax2即 xa. 综上a0 时，f（x）2a2的解集为 x|x2a；a0 时，f（x）2a2的解集为 x|xa. （文）设函数 f（x）=ax+2，不等式 | f（x）|6 的解集为（ 1，2） ，试求不等式）（xfx1 的解集 . 解：|ax+2|6，（ax+2）236，即 a2x2+4ax320. 由题设可得.2321422aaa，解得 a=4. f（x）=4x+2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页精品资料欢迎下载由）（xfx1，即24xx1 可得2425xx0. 解得 x21或 x52. 原不等式的解集为 x|x21或 x52. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页精品资料欢迎下载闯关训练夯实基础1.已知集合A= x|a1xa+2，B= x|3x5 ，则能使 AB成立的实数 a 的取值范围是A. a|3a4 B.a|3a4 C.a|3a4 D.解析：由题意知，5231aa得 3a4. 答案： B 2.不等式 |x2+2x|3 的解集为 _. 解析： 3x2+2x3，即.03203222xxxx，3x1. 答案： 3x1 3.不等式 |x+2|x|的解集是 _. 解法一： |x+2|x|（x+2）2x24x+40x1. 解法二：在同一直角坐标系下作出f（x）=|x+2|与 g（x）=|x|的图象，根据图象可得x1. xyO-1 -22 fx()= +2 xgx()=|x|解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2|x|表示数轴上x到2 的距离不小于到0 的距离， x1. 答案： x|x1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页精品资料欢迎下载评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握. 4.当 0a1 时，解关于 x 的不等式 a12 xax2. 解：由 0a1，原不等式可化为12xx2. 这 个 不 等 式 的 解 集 是 下 面 不 等 式 组 及 的 解 集 的 并集.02012xx，或.212020122）（，xxxx解不等式组得解集为x|21x2 ，解不等式组得解集为x|2x5，所以原不等式的解集为x|21x5. 5.关于 x 的方程 3x26（m1）x+m2+1=0 的两实根为 x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求 m的值. 解：x1、x2为方程两实根，=36（m1）212（m2+1）0. m253或 m253. 又x1x2=212m0，x1、x2同号. |x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m1|. 于是有 2|m1|=2，m=0 或 2. m=0. 培养能力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页精品资料欢迎下载6.解不等式212x|1x. 解： （1）当 x220 且 x0，即当2x2且 x0 时，原不等式显然成立（2）当 x220 时，原不等式与不等式组|22|2xxx，等价x22x，即 x2x20. x2.不等式组的解为 x2，即 x2 或 x2原不等式的解集为（，2（2，0）（0，2）2，）7.已知函数f（x）=xxax122的定义域恰为不等式log2（x+3）+log21x3 的解集，且 f（x）在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围. 解：由 log2（x+3）+log21x3 得033log2xxx083xxxx73，即 f（x）的定义域为73，+）. f（x）在定义域73，+）内单调递减，当 x2x173时，f （x1）f （x2）0 恒成立，即有（ax111x+2）（ax221x+2）0a（x1x2）（11x21x）0 （x1x2） （a+211xx）0 恒成立 . x1x2，（x1x2） （a+211xx）0 a+211xx0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页精品资料欢迎下载x1x2499211xx949，要使 a211xx恒成立，则 a 的取值范围是 a949. 8.有点难度哟！已知 f（x）=x2x+c 定义在区间 0，1上， x1、x20，1 ，且 x1x2，求证：（1）f（0）=f（1） ；（2）| f（x2）f（x1）|x1x2|；（3）| f（x1）f（x2）|21；（4）| f（x1）f（x2）|41. 证明： （1）f（0）=c，f（1）=c，f（0）=f（1）. （2）| f（x2）f（x1）|=|x2x1|x2+x11|. 0x11，0x21，0x1+x22（x1x2）. 1x1+x211. | f（x2）f（x1）|x2x1|. （3）不妨设 x2x1，由（ 2）知| f（x2）f（x1）|x2x1. 而由 f（0）=f（1） ，从而| f（x2）f（x1）|=| f（x2）f（1）+f（0）f（x1）| f（x2）f（1）|+| f（0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页精品资料欢迎下载f（x1）|1x2|+|x1|1x2+x1. +得 2| f（x2）f（x1）|1，即| f（x2）f（x1）|21. （4）|f（x2）f（x1）|fmaxfmin=f（0）f（21）=41. 探究创新9.（1）已知|a|1，|b|1，求证： |baab1|1；（2）求实数 的取值范围，使不等式 |baab1|1 对满足 |a|1，|b|1 的一切实数 a、b 恒成立；（3）已知|a|1，若|abba1|1，求 b 的取值范围 . （1）证明：|1ab|2|ab|2=1+a2b2a2b2=（a21） （b21）. |a|1，|b|1，a210，b210. |1ab|2|ab|20. |1ab|ab|，|1|baab=|1|baba1. （2）解： |baab1|1|1ab|2|ab|2=（a221） （b21）0. b21，a2210 对于任意满足 |a|1 的 a 恒成立 . 当 a=0 时，a2210 成立；当 a0 时，要使221a对于任意满足 |a|1 的 a 恒成立，而21a1，|1.故11. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页精品资料欢迎下载（3）|abba1|1（abba1）21（a+b）2（1+ab）2a2+b21a2b20（a21） （b21）0. |a|1，a21.1b20，即1b1. 思悟小结1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是： （1）由定义分段讨论；（2）利用绝对值不等式的性质；（3）平方. 2.解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意： （1）要考虑参数的总取值范围 .（2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏. 教师下载中心教学点睛1.绝对值是历年高考的重点， 而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题. 2.无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式. 3.指数、对数不等式能利用单调性求解. 拓展题例【例 1】 设 x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x221，证明不等式（ x1y1+x2y21）2（x12+x221） （y12+y221）. 分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y21）2（x12+x22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页精品资料欢迎下载1） （y12+y221）0. 证明： （1）当 x12+x22=1 时，原不等式成立 . （2） 当 x12+x221 时， 联想根的判别式，可构造函数 f （x） = （x12+x221） x2 （x1y1+x2y21） x+ （y12+y221） ， 其根的判别式 =4 （x1y1+x2y21）24（x12+x221） （y12+y221）. 由题意 x12+x221，函数 f（x）的图象开口向下 . 又f（1）=x12+x222x1y12x2y2+y12+y22=（x1y1）2+（x2y2）20，因此抛物线与 x 轴必有公共点 . 0. 4（x1y1+x2y21）24（x12+x221） （y12+y221）0，即（x1y1+x2y21）2（x12+x221） （y12+y221）. 精选学习资料 - 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