高中高一数学上下册知识点必修 1 各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性 ;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明： (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示：如 我校的篮球队员，太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 1.用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2.集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集 (即自然数集 )记作： N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说a 属于集合A记作 a A，相反， a 不属于集合A 记作 a?A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 40 页列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x?R|x-32 或x|x-32 4、集合的分类：1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：x|x2=-5 二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能(1)A 是 B 的一部分， ;(2)A 与 B 是同一集合。反之 :集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 AB 或 BA 2.“相等”关系 (5 5，且 5 5，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同”结论：对于两个集合A 与 B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B，即： A=B 任何一个集合是它本身的子集。A A 真子集 :如果 A B,且 A1B 那就说集合A 是集合 B 的真子集，记作AB(或 BA) 如果 A B,B C,那么 A C 如果 A B 同时 B A 那么 A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 40 页规定 :空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1.交集的定义： 一般地， 由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集 . 记作 A B(读作” A 交 B” )，即 A B=x|x A，且 x B. 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：A B(读作” A 并 B” )，即 A B=x|x A，或 x B. 3、交集与并集的性质：A A=A,A = ,A B=B A，A A=A, A =A,A B=B A. 4、全集与补集(1)补集：设S 是一个集合，A 是 S 的一个子集 (即 )，由 S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集 (或余集 ) (2)全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。(3)性质： CU(CUA)=A (CUA) A=(CUA) A=U 二、函数的有关概念1.函数的概念： 设 A、B 是非空的数集， 如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 .记作： y=f(x) ，x A.其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的定义域 ;与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|x A叫做函数的值域. 2 如果只给出解析式y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 40 页定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3) 对数式的真数必须大于零 ;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6) 指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意： 求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意： (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数 )(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同;定义域一致 (两点必须同时具备) 值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x A) 中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象 .C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x) ，反过来， 以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 (x，y)，均在 C 上.即记为 C=P(x,y)|y=f(x),x A图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线 ),也可能是由与任精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 40 页意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法 (请参考必修4 三角函数 ) 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、 直观的看出函数的性质;2、 利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4.了解区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间 ;(3) 区间的数轴表示. 5.什么叫做映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ f：AB”给定一个集合A 到 B 的映射，如果a A,b B.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B 及对应法则f 是确定的 ;对应法则有“方向性” ，即强调从集合A 到集合 B 的对应，它与从B 到 A 的对应关系一般是不同的;对于映射f：AB 来说， 则应满足： ( )集合 A 中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的;( )集合 A 中不同的元素， 在集合 B 中对应的象可以是同一个;()不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 40 页常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法：必须注明函数的定义域;3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征. 注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1) 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 补充二：复合函数如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(x A),则 y=fg(x)=F(x) ，(x A) 称为 f、g 的复合函数。例如 :y=2sinXy=2cos(X2+1) 7.函数单调性(1).增函数设函数 y=f(x) 的定义域为I， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1 ，x2，如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质; 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2;当 x1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 40 页(2)图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取 x1，x2 D，且 x1 (B)图象法 (从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性注意： 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 .2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗? 8. 函数的奇偶性(1)偶函数：一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x) ，那么 f(x)就叫做偶函数 . (2)奇函数 :一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有 f(-x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数 . 注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则 -x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). (3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称 ;奇函数的图象关于原点对称. 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 40 页域是否关于原点对称;2 确定 f(-x) 与 f(x)的关系 ;3 作出相应结论：若f(-x)=f(x) 或 f(-x)-f(x)=0 ，则 f(x)是偶函数 ;若 f(-x)=-f(x) 或 f(-x)+f(x)=0 ，则 f(x)是奇函数 . 注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称， (1) 再根据定义判定;(2)有时判定 f(-x)= f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x) f(x)=0 或 f(x)/f(-x)= 1 来判定 ;(3) 利用定理，或借助函数的图象判定. 9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法;已知复合函数fg(x) 的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时，也可用凑配法;若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 10.函数最大 (小)值(定义见课本p36 页 ) 1 利用二次函数的性质(配方法 )求函数的最大(小)值 2 利用图象求函数的最大(小)值 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值： 如果函数y=f(x) 在区间 a， b上单调递增， 在区间 b，c上单调递减则函数y=f(x) 在 x=b 处有最大值f(b); 如果函数y=f(x) 在区间 a， b上单调递减，在区间 b，c上单调递增则函数y=f(x) 在 x=b 处有最小值f(b); 第二章基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot) ，其中 1，且*. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 40 页当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical) ，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand). 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示 .正的次方根与负的次方根可以合并成(0).由此可得：负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是0，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义指出： 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential) ，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质二、对数函数(一)对数1.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：(底数，真数，对数式 )说明： 1 注意底数的限制，3 注意对数的书写格式. 两个重要对数：1 常用对数：以10 为底的对数 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 40 页2 自然对数：以无理数为底的对数的对数. 对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数幂底数对数指数真数幂(二)对数的运算性质注意：换底公式 (二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+ ). 注意： 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数. 2 对数函数对底数的限制：函数图象都在y 轴右侧函数的定义域为(0，+ ) 图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为R 函数图象都过定点(1，0) 自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 40 页图象逐渐下降(三)幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0，+ )都有定义，并且图象都过点(1，1); (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸 ;当时，幂函数的图象上凸; (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、 函数零点的意义： 函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法：求函数的零点：1(代数法 )求方程的实数根; 2(几何法 )对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点：二次函数 . 1) 0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 40 页2) =0，方程有两相等实根(二重根 )，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3) 0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点高中数学必修二第一章立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高， h 为斜高， l 为母线）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 40 页第 二 章直 线 与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 符号表示为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 40 页 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内有无数个公共点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 40 页第三章 直线与方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 40 页（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0 180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0 =0; 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90, k 不存在. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 40 页第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 40 页（3） 求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 40 页注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点高中数学必修3 知识点第一章算法初步1.1.1 算法的概念算法的特点 : (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可 . (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具体问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2 程序框图（一）程序构图概念： 程序框图又称流程图，是一种用规定图形、 流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。（二）构成程序框的图形符号及其作用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 40 页学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则， 画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三） 、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的， 它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件 P 是否成立而选择执行A 框或 B 框。 无论 P 条件是否成立， 只能执行 A 框或 B 框之一，不可能同时执行A 框和 B 框，也不可能A 框、 B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 40 页条件结构。循环结构可细分为两类：（1） 、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A框， A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执行 A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。（2） 、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件 P 是否成立， 如果 P 仍然不成立， 则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P 成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构注意：1 循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。1.2.1 输入、输出语句和赋值语句3、赋值语句（1）赋值语句的一般格式（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（ 3） 赋值语句中的“”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。注意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X 是错误的。赋值号左右不能对换。如“A=B ”“ B=A ”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。 （如化简、因式分解、解方程等）赋值号“=”与数学中的等号意义不同。分析：在 IFTHEN ELSE 语句中，“条件”表示判断的条件，“语句 1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 40 页计算机在执行时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN 后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE 后面的语句21.3.1 辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1） ：用较大的数 m 除以较小的数n 得到一个商0S 和一个余数0R ； （2） ：若 0R0，则 n 为 m，n的最大公约数；若0R0，则用除数n 除以余数 0R 得到一个商1S 和一个余数1R ； （3） ：若 1R0，则 1R 为 m，n 的最大公约数；若1R0，则用除数 0R 除以余数1R 得到一个商2S 和一个余数2R；,依次计算直至nR0，此时所得到的即为所求的最大公约数。 2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也， 以等数约之。 翻译为： （1） ：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。（2） ：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。3、辗转相除法与更相减损术的区别：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到1.3.2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 40 页f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0求值问题f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 . vn=vn-1x+a0 这样，把 n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题。第二章统计2.1.1 简单随机抽样 1总体和样本在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体把每个研究对象叫做个体把总体中个体的总数叫做总体容量为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分研究，我们称它为样本其中个体的个数称为样本容量2简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立， 彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。 3简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情况；允许误差范围；概率保证程度4抽签法 : （1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 40 页 5随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10 位同学参加某项活动。 2.1.2系统抽样1系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K（抽样距离）=N（总体规模） /n（样本规模）前提条件： 总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的， 即不存在某种与研究变量相关的规则分布。 可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。2 系统抽样， 即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是， 如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。 2.1.3 分层抽样1分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。两种方法：（1） 先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。（2） 先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。 2分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。分层标准：（1）以调查所要分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 40 页和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。3分层的比例问题：（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法， 主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时， 则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征3 用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。虽然我们用样本数据得到的分布、 均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。4 （1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变 （2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k 倍 （ 3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 40 页1、概念 : （1）回归直线方程（2）回归系数 2回归直线方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量 Y）进行估计，即可得到个体Y 值的容许区间。（3）利用回归方程进行统计控制规定Y 值的变化，通过控制x 的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2 的浓度。4应用直线回归的注意事项（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前 ,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。第三章概 率3.1.1 3.1.2 随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件： 在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复 n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件 A 出现的次数nA 为事件 A 出现的频数；称事件 A 出现的比例fn(A)=nnA为事件 A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 40 页稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A） ，称为事件A 的概率。（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n的比值 nnA ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若 AB 为不可能事件，即AB=，那么称事件A 与事件 B 互斥；（3）若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件A 与事件 B 互为对立事件；（4）当事件A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B) ；若事件 A 与 B 为对立事件，则 AB 为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1 P(B) 2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此 0P(A) 1； 2）当事件A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B) ；3）若事件A 与 B 为对立事件，则AB 为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1 ，于是有P(A)=1 P(B) ；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件 A 发生且事件B 不发生；（2）事件 A 不发生且事件 B 发生； （3）事件 A 与事件 B 同时不发生， 而对立事件是指事件A 与事件 B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件 A 发生 B 不发生；（2）事件 B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1 3.2.2 古典概型及随机数的产生精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 40 页1、 （ 1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。（2）古典概型的解题步骤；求出总的基本事件数；求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=3.3.1 3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P（A）=（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等高中数学必修4 知识点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 40 页高中数学必修5 知识点1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC2、正弦定理的变形公式：2 sinaR，2 sinbR，2sincRC； sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac4 、 余 弦 定 理 ： 在C中 ， 有2222cosabcbc，2222cosbacac，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 40 页2222coscababC5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab6、设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C；若222abc，则90C；若222abc，则90C7、数列：按照一定顺序排列着的一列数8、数列的项：数列中的每一个数9、有穷数列：项数有限的数列10、无穷数列：项数无限的数列11、递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列12、递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列13、常数列：各项相等的数列14、摆动数列：从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列15、数列的通项公式：表示数列na的第n项与序号n之间的关系的公式16、数列的递推公式：表示任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系的公式17、如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差18、由三个数a，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项若2acb，则称b为a与c的等差中项19、若等差数列na的首项是1a，公差是d，则11naand精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 40 页20 、通项公式的变形：nmaan m d；11naand；11naadn；11naand；nmaadnm21、若na是等差数列， 且mnpq（m、n、p、*q） ，则mnpqaaaa；若na是等差数列，且2npq（n、p、*q） ，则2npqaaa22、等差数列的前n项和的公式：12nnn aaS；112nn nSnad23 、 等差 数列 的前n项 和的 性 质： 若 项数 为*2n n， 则21nnnSn aa， 且SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶 若 项 数 为*21nn， 则2121nnSna， 且nSSa奇偶，1SnSn奇偶（ 其 中nSna奇，1nSna偶） 24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 则G称为a与b的等比中项 若2Gab，则称G为a与b的等比中项26、若等比数列na的首项是1a，公比是q，则11nnaa q27、 通项公式的变形： n mnmaa q； 11nnaa q； 11nnaqa； nmnmaqa28、若na是等比数列，且mnpq（m、n、p、*q） ，则mnpqaaaa；若na是等比数列，且2npq（n、p、*q） ，则2npqaaa29、等比数列na的前n项和的公式：11111111nnnnaqSaqaa qqqq30 、 等 比 数 列 的 前n项 和 的 性 质 ： 若 项 数 为*2n n， 则SqS偶奇精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 40 页nnmnmSSqSnS，2nnSS，32nnSS成等比数列31、0abab；0abab；0abab32、 不等式的性质：abba； ,ab bcac； abacbc；,0ab cacbc，,0ab cacbc； ,ab cdacbd；0,0abcdacbd；0,1nna bab nn；0,1nnabab nn33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对, x y，所有这样的有序数对, x y构成的集合判别式24bac000二次函数2yaxbxc0a的图象一元二次方程20axbx c0a的根有两个相异实数根1,22bxa12xx有两个相等实数根122bxxa没有实数根一 元 二 次不 等 式 的解集20axbx c0a12x xxxx或2bx xaR20axbx c0a12x xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 40 页38、在平面直角坐标系中，已知直线0xyC，坐标平面内的点00,xy若0，000xyC，则点00,xy在直线0xyC的上方若0，000xyC，则点00,xy在直线0xyC的下方39、在平面直角坐标系中，已知直线0xyC若0，则0xy C表示直线0xy C上方的区域；0xy C表示直线0xy C下方的区域若0，则0xy C表示直线0xy C下方的区域；0xy C表示直线0xy C上方的区域40、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解, x y可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解41、设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数42、均值不等式定理：若0a，0b，则2abab，即2abab43、 常用的基本不等式：222,abab a bR；22,2ababa bR；20,02ababab； 222,22ababa bR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 40 页44、极值定理：设x、y都为正数，则有若xys（和为定值） ，则当xy时，积xy取得最大值24s 若xyp（积为定值） ，则当xy时，和xy取得最小值2p精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 40 页