1 / 10 经济数学基础 2018春季学期线性代数部分学习辅导现在是经济数学基础本学期第三次复习辅导活动，欢迎大家参加！前两次学习辅导活动给出了微分和积分两部分的学习要求，并结合最近几年微分学与积分学部分的考试卷，分析了这两部分的重点内容，应该说它们对您的学习和复习会有很大的帮助的，希望大家重视，并在期末要认真复习本次活动的主要内容主要是对本课程第三部分线性代数提出学习要求，并结合最近几年线性代数部分的考试卷讲解该部分的重点内容，希望大家按照这些要求和重点进行复习只要大家按照本学期的三次教案活动的内容进行认真地复习，相信大家能顺利完成学习任务的线性代数部分学习要求第 1 章 行列式1了解一些基本概念（1）了解 n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念；（2）了解 n 阶行列式性质，尤其是性质1、2、3、52掌握行列式的计算方法化三角形法：利用行列式性质将行列式化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值降阶法：利用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素，然后按这零元素最多的行（或列）展开化成低一阶行列式，直至降到三阶或二阶行列式，最后直接计算3知道克拉默法则第 2 章矩阵1了解或理解一些基本概念（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；例 1 （2018年 7 月）设 A，B 均为 n 阶矩阵，则等式2222)(BABABA成立的充分必要条件是因为222222)()(BABABABBAABABABA即BAAB应该填写：BAAB（2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质；例 2 （2018年 10 月部队）若方阵 A 满足，则 A 是对称矩阵应该填写：TAA例 3 （2018年 1 月）以下结论或等式正确的是（）A若 A，B 均为零矩阵，则有A=BB若 AB=AC，且 A O，则 B=CC对角矩阵是对称矩阵 D若 A O，B O则 AB O正确答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 / 10 例 4(2018年 1 月)设12300201aA，当 a时， A是对称矩阵 .应该填写： 3 (2018年 1月) 9设13230201aA，当 a=时，A 是对称矩阵应该填写： 0 （3）理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；例 5 （2009 年 10 月部队）设 A，B 均为 n 阶矩阵， (I- B)可逆，则矩阵方程A+BX=X的解 X=因为 A+BX = XA = X- BX = (I-B)X，且(I- B)可逆，所以(I- B)-1A =X应该填写： (I-B)-1A例 6（2018年 1 月）设 A是可逆矩阵，且AABI ，则A1（）.AIBB BC1B D IB正确答案： D （2009年 10月）4设 A是可逆矩阵，且 A+AB=I，则 A-1=（）.AAB1+BCI +BD(I- AB)-1因为 A+AB= A(I +B)=I，且 A是可逆矩阵，即 AA-1= I，所以 A-1= I +B正确答案： C 例 7 （2018 年 7 月）设A，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（） A111)(BABAB111)(BAAB C111)(ABABDBAAB正确答案： C （4）了解矩阵秩的概念；例 8 （2018年 3 月）设314231003021A，则 r(A) =（） A4 B3C2D1 因为000031003021310031003021314231003021正确答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 / 10 例 9（2009年 10 月）设 A 为 n阶可逆矩阵，则 r(A)=应该填写： n（5）理解矩阵初等行变换的概念2熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质例 10 （2018 年 1 月）设 A 为43矩阵， B 为25矩阵，且TTBAC有意义，则 C 是 ( )矩阵A24 B42 C53 D35正确答案： B （2018 年 10 月部队） 4设 A 是 m n 矩阵，B是 s t 矩阵，且 ACTB 有意义，则C是（）矩阵As nBn sCt mDm t正确答案： A 例 11 (2018 年 1月)设 A为 3 2矩阵， B 为 2 3 矩阵，则下列运算中（）可以进行 AAB BA+B CABT DBAT正确答案： A 例 12（2018年 1月）设矩阵3421A，I 为单位矩阵，则 (I- A)T因为242034211001AI应该填写：2240例 13（2018年 3月）若矩阵 A = -1 2，B = 2 - 3，则 ATB=因为64323221TBA应该填写：64323熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵例 14（2018年 1 月）设333222111A，则)(Ar因为111111222000333000A，即()1r A应该填写： 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 / 10 例 15（2018年 1 月）设矩阵143102010A，100010001I，求1)(AI解：因为243112011AI103210012110001011100243010112001011)(IAI115100012110001011115100127010001011115100127010126001所以115127126)(1AI又如，（ 2018年 7月）设矩阵 A =112401211，计算1)(AI（2009年 10月部队）设矩阵 A =121511311，计算1)(AI这两题的解留给大家自己练习例 16（2009年 10 月）设矩阵 A =021201，B =142136，计算 (AB)-1解：因为 AB =021201142136=1412精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 / 10 (ABI ) =1210011210140112121021210112101102所以 (AB)-1=122121例 17 (2018年 1月)设矩阵 A =100112，B =010112，计算T1()B A解：因为BTA=001112100112=1213所以由公式得T1()B A=323211111( 1) 32( 1)例 18 （2018年 3 月）设矩阵6351A，11B，求BIA1)（.解：因为7352IA，10730152IIA11210152231057015701231011212310所以，2357)(1IA且12112357)1BIA（例 19（2018年 3 月，2018年 1月）设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA解：因为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 / 10 131025011310012110530121即132553211所以， X =132532215321322111101例 20（2018 年 10 月部队）已知AX=B，其中108532,1085753321BA，求X解：利用初等行变换得1055200132100013211001085010753001321121100255010364021121100013210001321121100255010146001即1212551461A由矩阵乘法和转置运算得12823151381085321212551461BAX第 3 章线性方程组1了解线性方程组的有关概念：n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解例 21 （2018年 1月）设齐次线性方程组OXA1553，且 r (A) = 2，则方程组一般解中的自由未知量个数为应该填写： 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 / 10 例 22 （ 2018 年1 月 ） 齐 次 线 性 方 程 组AX = 0 的 系 数 矩 阵 为000020103211A则此方程组的一般解为应该填写：4243122xxxxx，(x3, x4是自由未知量 ) 例 23 （2009年 10 月部队）设线性方程组AX = b的增广矩阵为124220621106211041231，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（）A1 B2 C3 D4 正确答案： B 2理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理例 24 （2018年 10 月部队）线性方程组AX = b有解的充分必要条件是应该填写：秩A秩A例 25（2018年 3月，2009年 10月）设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是（） AmArAr)()( BnArAr)()( Cnm DnAr)(正确答案： B 例 26 （2018 年 10 月部队）若 n 元线性方程组AX=O 满足秩 (A)=n，则该线性方程组（）A有无穷多解B有唯一解C有非 0 解D无解正确答案： B 例 27 （2018 年 7 月）设线性方程组AX=b 有唯一解，则相应的齐次方程组 AX=O（） A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定正确答案： C 例 28（2009 年 10 月）设线性方程组AX=b，且010023106111tA，则 t时，方程组有唯一解应该填写：1例 29 (2018年 1 月)线性方程组012121xxxx（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 / 10 A有唯一解 B只有 0解 C有无穷多解 D无解正确答案： D (2018年 1月) 5线性方程组32122121xxxx的解得情况是（）A. 无解B. 只有 0 解C. 有唯一解D. 有无穷多解正确答案： A 例 30 (2018年 1 月，2018年 1月)若线性方程组002121xxxx有非零解，则应该填写： - 1 例 31 （2018年 1月）讨论当 a，b为何值时，线性方程组baxxxxxxxx321321312022无解，有唯一解，有无穷多解.解：因为4210222021011201212101baba310011102101ba所以当1a且3b时，方程组无解；当1a时，方程组有唯一解；当1a且3b时，方程组有无穷多解 .3熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解例 32 （2018年 7 月）求线性方程组5532342243214321421xxxxxxxxxxx的一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形131101311021011551323412121011000001311012101000001311021011精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 / 10 故方程组的一般解为：1342342131xxxxxx( x3, x4是自由未知量 ) 又如 （2009年 10月部队）求线性方程组1261423623352321321321xxxxxxxxx的一般解该题的解留给大家自己练习例 33 (2018年 1 月)求齐次线性方程组03520230243214321431xxxxxxxxxxx的一般解解：因为系数矩阵111011101201351223111201A000011101201所以一般解为4324312xxxxxx（其中3x ，4x 是自由未知量）(2018年 1月) 14求齐次线性方程组03520230243214314321xxxxxxxxxxx的一般解大家自己练习 .例 34 （2018年 3月）当 取何值时，线性方程组1542131321321xxxxxxxx有解？并求一般解 .解：因为增广矩阵26102610111115014121111A00026101501所以当 =0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：26153231xxxx(x3是自由未知量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 / 10 (2018 年 3 月)14当取何值时，线性方程组432143214321479637232xxxxxxxxxxxx有解？在有解的情况下求方程组的一般解.大家自己练习 .例 35 （2018年 10 月部队）设齐次线性方程组0830352023321321321xxxxxxxxx，为何值时，方程组有非零解？在有非零解时求其一般解解：因为61011023183352231500110101500110231所以，当5时方程组有非零解一般解为3231xxxx（其中3x 为自由未知量）今天的活动到此结束，谢谢大家的参与再见！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页