学习必备欢迎下载课题1.1 等腰三角形的性质和判定课时数第 1 课时总16 课时时间：教学目标1、经历探索发现猜想证明等腰三角形的性质和判定的过程，初步文字命题的证明方法、基本步骤和书写格式。2、会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算与简单的证明。3、逐步学会分析几何证明题的方法及用规范的数学语言表述证明过程。教学重点等腰三角形的性质与判定定理的证明教学难点证明过程的书写格式教学过程二次备课知识回顾1、什么叫证明？什么叫定理？2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？3、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实？此外，还有什么被看作是基本事实？情景创设1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）你能用刻度尺华画一个等腰三角形吗？2、你能画出它的顶角平分线吗？等腰三角形有哪些性质？3、上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做）4、这些性质都是真命题吗？能否用从基本事实出发，对它们进行证明？探索活动1、合作与讨论：说明你所画的三角形是等腰三角形。证明：等腰三角形的两个底角相等。2、思考与讨论：说明你所画的是顶角的平分线。怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。定理： 等腰三角形的两个底角相等，（简称：“等边对等角” ）定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合，（简称：“三线合一” ）4、你能写出上面两个定理的符号语言吗？5、思考与探索精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页学习必备欢迎下载ABCDE如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？要求： （1）写出它的逆命题：_。（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等角对等边” ） 。例题讲解已知：如图，EAC 是 ABC 的外角， AD 平分 EAC ，且 AD BC. 求证： AB=AC 分析：要证AB=AC ，只需证 B=C，由已知EAD= DAC ，只需证 EAD= B， DAC= C。在例题中， 如果 AB=AC ，AD BC，那么 AD 平分 EAC 吗？如果结论成立，你能证明吗？你还能得出其他结论吗？随堂练习1、如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为_。2、如果等腰三角形有两边长为2和 5，那么周长为_。3、如果等腰三角形有一个角等于50，那么另两个_。4、如果等腰三角形有一个角等于120，那么另两个角_。5、在 ABC 中， A40，当 B 等于多少度数时，ABC 是等腰三角形？小结思考1、在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。2、要等腰三角形中，底边上的中线，底边上的高，顶角的平分线是常用的辅助线，能过画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等的三角形。3、实际上，我们以前曾学习过很多图形的知识，（如：直角三角形全等，平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。对于这些图形，我们通过动手操作也得到了它们的性质和判定，在今后的学习中，我们将进一步证明它们的正确性。作业布置板书设计教学笔记课题1、等腰三角形的定义证明 1练习2、等腰三角形的性质证明 23、等腰三角形的判定证明 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页学习必备欢迎下载DBCAEF课题1.2 直角三角形全等的判定（1）课时数第 2 课时总16 课时时间：教学目标1、能证明直角三角形全等的“HL ”判定定理，进一步理解证明的必要性。2、利用直角三角形全等的“HL ”定理解决有关的计算和证明问题。3、初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、解决问题。教学重点能证明直角三角形全等的“HL”判定定理；教学难点发展演绎推理的能力教学过程二次备课情境创设1、直角三角形全等的条件有哪些？2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？探索活动证明： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“HL ” ）问题一： 你能从基本的事实出发，证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？问题二：证明这个结论你有没有困难？说说你准备如何解决这个问题？问题三： 如果用 “把斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形拼合”的方法来证明“HL ”定理，那么：如何拼合？可以拼合成一个什么图形？为什么可以拼合成一个等腰三角形？说说你的证明思路。例题教学例 1、如图：如果BAC= 30，那么BC = 12AB ，你能证明这个结论吗？例 2、如图， 在ABC 中，已知 D 是 BC 中点， DE AB，DFAC，垂足分别是E、 F，DEDF. 求证： AB=ACDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页学习必备欢迎下载DBCAEFA B C D E F 1 2 BACD随堂练习1. ABC中， C=90 ， AD为角平分线， BC=32 ， BDDC=9 7, 则点 D到 AB的距离为 ( ) A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm 2在 ABC 内部取一点P使得点 P 到 ABC 的三边距离相等，则点 P 应是 ABC 的哪三条线交点（）（A）高（B）角平分线（C）中线（D）边的垂直平分线3如图，在 ABC 中，已知D 是 BC 中点， DEAB ，DFAC，垂足分别是E、F，DEDF. 求证： AB=AC4已知：如图，AC 平分 BAD ，CEAB 于 E，CFAD 于 F，且 BC DC.你能说明BE与 DF 相等吗？5已知：如图，在ABC中， ACB=90 ， CD AB于 D， A=30. 求证 :BD=14AB小结思考1、图形的“拆（把一个等腰三角形拆成两个全等的直角三角形）”和“拼（把两个直角三角形拼成一个等腰三角形）”两种方法体现了同一种思想转化思想，即可把待证的问题转化为可证的问题；2、本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定理、特殊的直角三角形的特殊性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例子吗？作业布置板书设计教学笔记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页学习必备欢迎下载课题1.2 直角三角形全等的判定（2）课时数第 3 课时总16 课时时间：教学目标1、学会对角平分线性质定理与判定定理的证明，进一步发展推理证明的意识和能力2、初步掌握用角平分线性质定理与判定定理解决有关问题3、结合具体问题，提高将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力教学重点从简单的数学例子中体会反证法的含义教学难点逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力教学过程二次备课情境创设证明： 角平分线上的点到角的两边的距离相等1、你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到角的两边的距离相等“吗？2、你还能用什么方法说明这个结论是正确的？引导学生通过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，折叠得到的折痕（垂线段）重合来说明探索活动证明： 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上问题一、“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是什么？问题二、你人为这个命题是真命题吗？如果正确，如何证明？注意： 关注学生能否与角平分线的性质定理有区别的画出图形，并根据图形写出已知和求证。问题三： 如果某点到角的两边的距离不相等，那么这个点会在这个角的平分线上吗？为什么？不断感受合情推理道贺演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径，并且这也是每个学生都能参与的学习活动。会构造一个命题的逆命题，也是获得数学结论的一个途径例题教学例 1 “如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。 ”你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明它吗？例 2 如图，在 ABC中， AB=AC ，DE是过点A的直线， BD DE于 D， CE DE于 E （1）若 BC在 DE的同侧（如图（1） ）且 AD=CE ，说明： BA AC 引导学生进一步认识图形的我位置关系与数量关系之间的内在联系，为问题三的思考做铺垫初步渗透反证法ABCDEABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页学习必备欢迎下载OEDCBAEDCBAEDMCBAEDCBA（2）若 BC在 DE的两侧（如图（2） ）其他条件不变，问AB与 AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由例 3 如图， ABC 的角平分线AD 、BE 相交与点O。点 O 到ABC 各边的距离相等吗？点O 在 C 的平分线上吗？定理：三角形的3 条角平分线交于一点。随堂练习1、如图在 ABC 中， C=90 度，点 D 在 BC 上， DE 垂直平分 AB ，且 DE=DC 求 B 的度数。3、如图，已知ABC 的外角 CBD 和 BCE 的平分线相交于点F，求证：点F 在 DAE 的平分线上4、 如图所示， ABC 中， AB=AC ， M 为 BC 中点，MD AB 于 D， MEAC 于 E。 求证：MD=ME 。6、如图，在 ABC 中，已知AC=BC ， C=900，AD 是 ABC 的角平分线 ,DEAB, 垂足为 E，(1)求：如果CD4cm，AC 的长。(2)求证 :AB ACCD。小结思考1、本节课我们证明了角平分线的性质定理和逆定理，从中我们可以发现图形有位置关系与数量关系的内在联系。你能说明这种内在的联系吗？2、你认为“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。”这个结论成立吗？如果成文，你能证明吗？作业布置板书设计教学笔记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页学习必备欢迎下载BCBACA3241ODCBA课题1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1）课时数第 4 课时总16 课时时间：教学目标1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力教学重点平行四边形的性质证明表达格式的逻辑性完整性精炼性教学难点分析综合思考的方法教学过程二次备课情境创设根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，请分别从边、角、对角线等方面进行回忆：平行四边形 _ 矩形 _ 菱形 _ 正方形 _ 从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别吗？如图/,/,/ABA B BCBC CAC A，图中有 _个平行四边形。探索活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么? 3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。已知，如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC、 BD 相交于点O，求证： AO=CO ， BO=DO 由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、 “平行四边形对角相等” ，这样我们可得平行四边形的三条性质定理：平行四边形对边相等。平行四边形对角相等。平行四边形对角线互相平分。思考与表达怎样想怎样写要证 AO=CO ，BO=DO 只需证 AOB COD 只需证 AB=CD 只需证 ABC CDA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 30 页学习必备欢迎下载例题教学例 1 证明“ 夹在两条平行线之间的平行线段相等”分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，最后根据已知条件写出证明过程。例 2 已知：如图，ABCD 中，E、 F分别是 AD 、BC的中点。 求证：BE=DF 分析：可根据证明ABE CDF得到结论。若将例 2 中的“E、 F分别是 AD 、 BC的中点” 改为“AE=13AD ， CF=13BC ” ，是否还能得到同样的结论？随堂练习1ABCD 的周长为50cm，且 AB: BC = 3:2，则 AB=_cm ，BC=_cm.；2已知ABCD 中， AB=8，BC=10 ， B=45,ABCD 的面积为 _. 3. 在ABC 中,AB=AC=5,D是BC上的点 ,DEAB交AC于点E,DFAC交AB于点F, 那么四边形AFDE的周长是（）A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 延长平形四边形ABCD 的一边 AB到 E，使 BE BD ，连结 DE交 BC于 F，若 DAB 120，CFE 135， AB 1，则 AC 的长为（）（A）1 （B）1.2 （ C）23（D）1.5 5. 平行四边形ABCD的两条对角线AC与 BD相交于 O，已知 AB=8， BC=6， AOB的周长为18，求AOD的周长。6. 已知：如图，ABCD 中， BD是对角线， AE BD于 E，CF BD于 F. 求证： BE=DF.小结思考1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。3、平行线之间的距离处处相等。作业布置板书设计教学笔记ABCDEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页学习必备欢迎下载课题1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）课时数第 5 课时总16 课时时间：教学目标1、认识几种特殊的四边形的性质的联系与区别2、会证明矩形的性质定理及直角三角形斜边上中线的有关性质定理3、能运用矩形的性质定理或有关定理进行简单的计算与证明4、在进行探索、猜想、证明的过程中，能将命题由文字语言转化为图形与符号语言，进一步发展推理论证的能力教学重点矩形的本质属性教学难点矩形性质定理的综合应用教学过程二次备课情境创设矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。结合下图说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？你能证明这些性质吗？探索活动问题一观察平行四边形和矩形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？ （引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形， 主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）问题二证明： 矩形的 4 个角都是直角。矩形的对角线相等。问题三你能证明 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”吗？说说你的证明思路。已知：如图，在ABC 中， ACB=90 . 求证：边AB 上的中线等于21AB. 问题四你对上面的结论还有更多的思考和猜想吗？（引导学生不断学会思考和猜想： 由结论进一步能得到什么结论？这个结论的逆命题是否正确。不断发展学生数学思考的能力）例题教学例 1 已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O，且 AC=2AB. 求证： AOB 是等边三角形分析：利用矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，结合OABCDABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页学习必备欢迎下载OEDCBA“AC=2AB ”即可证得。本题若将“ AC=2AB ”改为“ BOC=120 ” ，你能获得有关这个矩形的哪些结论？随堂练习3、已知，在矩形ABCD 中， AEBD ，E是垂足， DAE EAB=2 1，求 CAE的度数。（1）（2）（ 3）4、如图 2，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（） （A）98 （B）196 （C）280 （D）284 5、如图 3，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（?小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为_ _ 6. 已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD相交于点O，E，F分别是 OA ，OB的中点（1）求证： ADE BCF ； （2）若 AD=4cm ，AB=8cm ，求 OF的长小结思考从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；反过来，我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。作业布置板书设计教学笔记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页学习必备欢迎下载课题1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（3）课时数第 6 课时总16 课时时间：教学目标1、会归纳菱形的特性并进行证明，能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明2、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的必要性教学重点菱形的性质定理证明教学难点性质定理的运用生活数学与理论数学的相互转化教学过程二次备课情境创设1将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形? () 2探索。请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。 (1)边：都相等； (2)对角线：互相垂直。问题：你怎样发现的?又是怎样验证的? 3概括。特征 1：菱形的四条边都相等。特征 2： 菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 4请你折折，观察并填空。 (1)菱形是不是中心对称图形?对称中心是 _。 (2)是不是轴对称图形?对称轴有几条?_。 学 生 通过 自 己的 操作、观察、猜想，完全可以得出菱形的特征，这 对 学 生 来说 是 富 有意义的活动，学生对此也很感兴趣。从边、对角线入手。 可 以 指 名学 生 到 讲台 上 讲 解 一下 他 的 结果。 引 导 学 生剖 析 矩 形与菱形的区别。探索活动问题一观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有何发现？问题二证明： 菱形的 4 条边都相等。菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。分析： 第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，再利用一组邻边相等得证；第二条定理可利用“三线合一”证得。问题三已知菱形的两条对角线长分别为6 和 8，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？（可得到边长为5；面积为 24）你认为菱形的面积与菱形的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面积？由此可得： 菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。 引 导 学生 不 断地 学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断 地 积 累 数学 活 动 的经验精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页学习必备欢迎下载EABCDGBADCGEHMF例题教学例 1 如图 3 个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点 A、E、F、C、G、H 是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离 (比如 AC 两点可以自由上下活动)， 若菱形的边长为13 厘米，要使两排挂钩之间的距离为 24 厘米，并在点B、M 处固定，则B、M 之间的距离是多少？分析： 可将问题归结到菱形ABCD 中研究， 求出 BD 的长即可。 可根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理求出BD 。例 2 已知：如图，四边形ABCD 是菱形， F 是 AB 上任一点， DF 交AC 于点 E。求证： AFD= CBE 分析：结合“全等三角形对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”即可得证。随堂练习1、如图，在菱形ABCD 中， E、F 分别是 AB 、CD的中点，如果EF=2 ，那么 ABCD 的周长是（ D ）A4 B 8 C12 D16 2已知四边形ABCD是菱形， O 是两条对角线的交点，AC=8cm ， DB=6cm ，?菱形的边长是_cm3已知菱形的边长是5cm ，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为_cm4 菱形 ABCD 的周长为40cm， 两条对角线AC ： BD=4 ： 3， 那么对角线AC=_cm ， BD=_cm 5如图，四边形ABCD 是菱形， ABC=120 ， AB=12cm ，则 ABD的度数为 _，?DAB的度数为 _；对角线BD=_ ， AC=_ ；菱形 ABCD 的面积为 _小结思考菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。作业布置板书设计教学笔记ODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页学习必备欢迎下载FEO (A)ABCDBDC课题1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（4）课时数第 7 课时总16 课时时间：教学目标1、会归纳正方形的特性并进行证明2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系教学重点经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力教学难点有条理地、清晰地阐述自己的观点教学过程二次备课情境创设矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特殊性质呢？探索活动1、正方形的定义有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（正方形是在什么前提下定义的？包括哪两层意思？）2、正方形的性质正方形是平行四边形、矩形、菱形这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质正方形性质定理1：正方形的对边平行，四条边相等， 四个角都是直角。正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。例题教学例 1求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。例 2已知：如图，正方形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点 O；正方形A B C D 的顶点 A 与点 O 重合， A B 交 BC 于点 E，A D 交 CD 于点 F，E 是 BC 的中点。（1）求证： F是 CD的中点（2）若正方形A B C D 绕点 O旋转某个角度后，OE=OF 吗？由（ 1） 、 （2）可以得到什么结论？（无论正方形A B C D 绕点 O 旋转并与正方形ABCD 分别交 BC、CD 于点 E、F，总有 OE=OF，BE=CF ，FEO (A)ABCDBDC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页学习必备欢迎下载（第 18 题）A1A2A3A4EC=FD， 两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD 面积的四分之一等等）随堂练习1、如图，将n 个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、 A2、 An分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（）A41cm2 B4ncm2 C41ncm2 Dn)41( cm23、已知正方形ABCD 。（1）如图 1，E是 AD上一点，过BE上一点 O作 BE的垂线，交AB于点 G ，交 CD于点 H，求证： BE GH ；（2）如图 2，过正方形ABCD 内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点 E、F，交 AB 、CD于点 G、H，EF与 GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点 O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3 所示，过正方形ABCD 外一点 O作互相垂直的两条直线m 、n，m与 AD 、BC的延长线分别交于点E 、F，n 与 AB 、DC的延长线分别交于点G 、H，试就该图对你的结论加以证明。小结思考（1）正方形的性质：（2）本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。作业布置板书设计教学笔记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页学习必备欢迎下载课题1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（5）课时数第 8 课时总16 课时时间：教学目标1、会证明平行四边形的判定定理，结合具体命题了解反证法2、能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算与证明3、能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综合推理与证明4、初步体会证明过程中的反证法的思想及其说理的过程教学重点平行四边形判定定理的证明，反证法教学难点用反证法证明教学过程二次备课情境创设回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件，填写下表：条件结论四边形 ABCD ， 对角线AC 、BD 相交于点O 四边形ABCD是平行四边形探索活动问题一你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的吗？证明： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。分析：先根据命题画出图形，再写出已知、求证，最后用研究平行四边形常见的辅助线“连结对角线”证三角形全等，得到两组内错角相等，由平行线证出平行四边形。问题二证明： 对角线互相平分的四边形是平行四边形。问题三你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？问题四你认为“在四边形ABCD 中，如果OA=OC ，OBOD，那么四边形ABCD 不是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？假设条件成立，结论不成立，然后由这个“假设”出发推导出与条件矛盾的结果，从而证明结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页学习必备欢迎下载FGOE DCAB例题教学例 1 、已知： 如图， 在ABCD中，对角线 AC 、BD相交于点O，AE BD ，CFBD ，垂足分别为E 、F。 求证：四边形AECF是平行四边形。分析：由垂直可证一组对边平行，再利用全等证这组对边相等；或由平行四边形对角线互相平分知OA=OC ，再证 OE=OF 即可；或由垂直证一组对边平行，再利用面积相等法证这组对边相等。例 2、如图，已知E为平行四边形ABCD中 DC边的延长线上的一点，且CE=DC ，连结 AE ，分别交BC 、BD于点 F、 G ，连结 AC交 BD于 O，连结 OF.求证： AB=2OF. 说明能用平行四边形的知识解决的问题，不必用三角形的知识解决，这样更简便.随堂练习1、如图， AD BC， AD=BC ，且 E、F 分别是 AD 、BC 的中点，图中有哪些四边形是平行四边形？说说你的理由。2、 “在一个三角形中，如果两条边不相等，那么两条边所对的角也不相等”这个命题正确吗？如果正确证明你的结论。6、如图，在ABCD中， DAB=60 ，点E、F 分别在 CD 、AB的延长线上，且AE=AD ，CF=CB (1) 求证：四边形AFCE 是平行四边形(2) 若去掉已知条件的“ DAB=60 ，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由小结思考1. 从边与边的关系: 的四边形是平行四边形两组对边分别相等一组对边平行且相等的两组对边分别平行2. 从角与角的关系: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。3. 从对角线的相互关系: 对角线互相平分的四边形是平行四边形。作业布置板书设计教学笔记OABCDEFHGABCDEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页学习必备欢迎下载FHABCDEG课题1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（6）课时数第 9 课时总16 课时时间：教学目标1、会证明矩形的判定定理2、能运用矩形的判定定理进行计算与证明3、能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明教学重点矩形判定定理的证明教学难点矩形判定定理的应用教学过程二次备课情境创设具备什么条件的平行四边形是矩形？具备什么条件的四边形是矩形？同学之间进行交流。探索活动问题一如图，在ABCD 中， AC=BD ，由此你可得到什么？问题二如图，要证ABCD 是矩形，需证什么？为什么？根据矩形的定义，只要证ABCD的一个角是直角；或证ABO+ CBO=90 ；或证 ABC= DCB. 由问题二可得出多种证明思路。问题三说说证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的思路。例题教学例 1 见课本例 2 已知：如图，ABCD 的四个内角平分线相交于点E、F、G、H。求证： EG=FH 例 3 已知：平行四边形ABCD的对角线AC 、BD相交于 O ， AOB是等边三角形，AB 4cm ，求这个平行四边形的面积（如图438） 。分析解题思路：（1）先判定平行四边形ABCD 为矩形。（2）求出 Rt ABC的直角边BC的长。（3）计算 SAB BC练习1. 如图， BO是 Rt ABC斜边上的中线，延长BO至点 D，使 BO=DO ，连结 AD ，CD ， ?则四边形ABCD 是矩形吗？请说明理由OABCDB A D C O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 30 页学习必备欢迎下载2已知：如图， BC是等腰 BED底边 ED上的高，四边形ABEC是平行四边形求证：四边形ABCD 是矩形3如图，在平行四边形ABCD 中， E、F 分别为边AB 、CD的中点， BD是对角线， AG DB交 CB的延长线于G （1）求证： ADE CBF ；（2）若四边形 BEDF是菱形， 则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论2平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（）（A）梯形（B）矩形（C ）正方形（D）不是平行四边形小结思考（1）具有平行四边形的所有性质。（2）特有性质：四个角都是直角，对角线线段。（3）矩形的判定方法1、2 都是有两个条件：是平行四边形，有一个角是直角或对角线相等。判定方法3 的两个条件是：是四边形，有三个直角。进行推理论证常常需要从两个方向思考：“证明结论，需要什么条件？”“从已知条件可以推出哪些证明结论所需的事项？”这样有利于探索并获得证明的思路。作业布置板书设计教学笔记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 30 页学习必备欢迎下载ODCBA课题1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（7）课时数第 10 课时总16 课时时间：教学目标1、会证明菱形的判定定理2、能运用菱形的判定定理进行计算与证明3、能运用菱形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明教学重点菱形判定定理的证明教学难点菱形判定定理的应用教学过程二次备课情境创设具备什么条件的平行四边形是菱形？具备什么条件的四边形是菱形？同学之间进行交流。探索活动探索“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的证明思路。问题一如图，在ABCD 中，对角线AC、BD相交于点 O ，且 AC BD，由此你可证得什么？问题二如图，要证平行四边形ABCD 是菱形，需证什么？为什么？问题三说说证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的思路。思考与探索你能用直尺和圆规作一个菱形？并说明作图的理由。作法一：可利用“四边相等的四边形是菱形”来作，先作一个角，再在角的两边上截取相等的边作为菱形的边长，再分别以两个截点为圆心，菱形的边长为半径画弧，两弧相交于一点，这点即为菱形的第四个顶点；作法二： 可利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来作，可先作出两条互相垂直平分的线段，再将两条线段的四个端点顺次连结起来，即作出了一个菱形。例题教学例 1、 已知： 如图， 在 ABC中，ABC=90 ，AD是角平分线，点 E、F 分别在 AC、AD上，且 AE=AB ，EFBC 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 30 页学习必备欢迎下载DCBAEFABCDEFABCDEGABCD求证：四边形CDEF是菱形。例 2、如图，在RtABC中， ACB=90 ， BAC=60 ， DE? 垂直平分 BC ， 垂足为 D ， 交 AB于点 E， 又点 F 在 DE的延长线上， 且 AF=CE 求证：四边形ACEF 为菱形练习1、已知：如图，在ABCD 中，对角线BD平分 ABC 。求证：四边形ABCD 是菱形。2、已知：如图，在ABC中， AD是角平分线，E是 AB上一点，且AE=AC ，EG BC，EG交 AD于点 G 。求证：四边形EDCG 是菱形。1、如图，在 ABC中， ACB=90 ， AC=2 ，BC=3 D是 BC边上一点， ?直线 DE BC于 D，交AB于 E， CF AB交直线 DF于 F设 CD=x （1）当 x 取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当 x 取何值时，四边形EACD 的面积等于2？3、 、已知：如图，AD是 ABC的角平分线， DE AC交 AB于点 E，DFAB交 AC于点 F，请判断四边形AEDF的形状，并说明理由。小结思考1、将一张长方形纸片既快又准确地剪出一个菱形，说说你剪纸的依据。2、用直尺和圆规作一个菱形，说说你作图的理由。作业布置板书设计教学笔记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 30 页学习必备欢迎下载课题1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（8）课时数第 11 课时总16 课时时间：教学目标1、根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系，归纳出正方形的判定定理2、能运用正方形的判定定理进行简单的计算与证明3、能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明4、在探究与证明正方形判定定理的过程中，进一步体会一般与特殊的辩证关系，提高分析问题与解决问题的能力教学重点正方形判定的应用教学难点通过引导合情推理和演绎推理，提高逻辑思维水平教学过程二次备课引入新课正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，那么什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？探索活动为了活跃学生思维，可以提出以下问题：对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？四条边都相等的四边形是正方形吗？为什么？说 “ 四个角相等的四边形是正方形” 对吗？判定方法（ 1）矩形、菱形法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形（一组邻边相等的矩形）；或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形（有一个角是直角的菱形）。（ 2）定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，这是直接利用定义来判定的。如何用直尺和圆规作正方形？如何把长方形纸片通过折纸，剪出一个正方形纸片？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页学习必备欢迎下载DCBAABCDEFGHABCDEF例题教学例 3已知：如图， E、F、G、H 分别是正方形各边的中点，AF、BG、CH、DE 分别两两相交于点A 、B 、 C 、D 。求证：四边形是正方形。分析：如右图，正方形ABCD 中，点 F、G 分别是 BC、 CD 的中点， AF、BG 相交于点 P，AF 与 BG 互相垂直吗？若将点F、G 分别是 BC、CD 的中点改为BF=CG ，是否有同样的结论？同上，本例可考虑证“有一组邻边相等的矩形是正方形”。（是否还有其他证明方法？与同学交流）若 点E、 F 、 G 、 H分 别 在 正 方 形ABCD的 各 边 上 ， 且AE=BF=CG=DH ，则四边形A B C D 还是正方形吗？证明你的结论。随堂练习1用两个全等的直角三角形拼下列图形：平行四边形；矩形；菱形；正方形；等腰三角形；等边三角形；一定可以拼成的是_（只填序号）2、如图， ABC中， ACB=90 ， CD平分 ACB ，DE AC ，DFBC，E、F是垂足。求证：四边形DECF是正方形。例 3、 如图，在 RtABC与 Rt ABD中，ABC= BAD=90 ，AD=BC,AC,BD 相交于点G，过点 A作 AE DB交 CB的延长线于点E，过点 B作 BF CA 交 DA的延长线于点F,AE,BF 相交于点H（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明四边形AHBG 是菱形；（3）若使四边形AHBG 是正方形，还需在RtABC 的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件（不必证明）小结思考1、特殊的图形具有一般图形的性质和它的特殊性质。2、一个图形的形状越特殊，它的判定需要的条件就越多。3、判定一个四边形是正方形的思考方法有哪些？作业布置板书设计教学笔记24 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 30 页学习必备欢迎下载DCBA课题1.4 等腰梯形的性质和判定课时数第 12 课时总16 课时时间：教学目标1、能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。教学重点等腰梯形的性质和判定。教学难点解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）教学过程二次备课情境创设我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图） ，并探索得到等腰梯形的性质和判定。现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。探索活动一、引人新课：1、_的图形叫做等腰梯形? 2、_相等的 _叫做等腰梯形; 3、根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须是_,还要具备 _相等 ; 二、等腰梯形的判定：1、定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2、定理的证明 ：已知：求证：三、等腰梯形的性质：定理 1、等腰梯形同一底上的两底角相等。定理 2、等腰梯形的两条对角线相等。例题例 1、如图，已知在梯形ABCD 中，A D BC ，AB=DC ，对角线 AC和 BD相交于点 O ，E是 BC边上的一个动点（点E不于 B、C两点重合），EFBD交 ACE D C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 30 页学习必备欢迎下载FGEODCBAFEDCBAFEDCBA教学于点 F。EG AC交 BD于点 G。（1） 、求证：四边形EFOG 的周长等于2OB；（2） 、请将上述题目的条件“梯形ABCD中， A D BC ，AB=DC ”改为另一种四边形， 其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形， 写出已知、 求证，不必证明。随堂练习1、 用一块面积为450c 的等腰梯形彩纸做风筝, 为了牢固起见 , 用竹条做梯形的对角线,对角线恰好互相垂直, 那么至少需要竹条_. 2、 如图 , 在等腰梯形ABCD中,E 为 CD的中点 ,EF AB于 F,如果 AB=6,EF=5,求梯形 ABCD的面积. 3、如图，在直角梯形ABCD中， ABDC ， ABC=900，AB=2DC ，对角线AC BD ，垂足为F，过点 F 作 EF AB，交 AD于点 E，CF=4。（1） 、求证：四边形ABFE是等腰梯形；（2） 、求 AB的长。小结思考研究四边形问题，常常把它转化成研究三角形的问题，这就把一个有待解决的新问题转化为我们会解的问题。作业布置板书设计教学笔记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 30 页学习必备欢迎下载A A C E D B 课题1.5 中位线三角形中位线定理课时数第 13 课时总16 课时时间：教学目标1. 掌握中位线的概念和三角形中位线定理；2能够应用三角形中位线概念及定理进行有关论证和计算，进一步提高学生的计算能力；3通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力；4通过一题多解，培养学生对数学的兴趣。教学重点三角形中位线的概论与三角形中位线性质。教学难点三角形中位线定理的证明。教学过程二次备课情境创设课本以引导学生回忆探索三角形中位线与第三边的位置关系和数量关系的过程 将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分合成一个平行四边形 为情景。探索活动问题一如图，DE 是 ABC 的中位线， 如何把 ADE 与四边形DBCE 拼成平行四边形？借助拼图的实践，实际教学中学生可能采用的方法有：（1）延长 DE 到点 F，使 EF=DE ，连接 CF；（2）过点 C 作 AB 的平行线，交DE 的延长线于点F。问题二说说你的证明思路。问题三你有其他方法证明三角形中位线定理吗？结论： 1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线2、三角形中位线性质三角形中位城平行于第三边，并且等于它的一半这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维，开阔学生思路， 从而提高分析问题和解决问题的能力但也应指出， 当一个命题有多种证明方法时，要选用比较简捷的方法证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 30 页学习必备欢迎下载GFEDCBAGDFECBAFEDCBA例题教学例2 已知： 如图，在梯形 ABCD 中， AD BC， E、 F 是AB、CD 的中点。求证： EFBC，EF=21（BC+AD）由此得出梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.随堂练习1、如图；三角形三条中位线组成的图形与原三角形有怎样的大小关系（面积和周长）？说说你的理由。 已知 : 三角形三边长分别为6,8,10,则由它的三条中位线构成的三角形的面积为( )，周长为 ( ) 。2、已知：在四边形ABCD中， AB=CD ，E、F、 G分别是 BD 、AC、BC的中点。求证： EFG是等腰三角形。3、在 ABC中， BAC=900 ，延长 BA到点 D，使 AD=1/2AB，E、F 分别是 BC、AC的中点。（1）求证： DF=BE （2）过点 A作 AG/BC，与 DF相交于点G，求证 AG=DG 小结思考1三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别2三角形中位线定理及证明思路作业布置板书设计教学笔记A B C G F D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 30 页学习必备欢迎下载课题1.5 中位线梯形的中位线课时数第 14 课时总16 课时时间：教学目标1掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理；2掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰”；3能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力；4通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力；5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣。教学重点梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算教学难点梯形中位线定理的证明教学过程二次备课情境创设顺次连接四边形各边的中点,会得到什么图形？猜一猜，分别依次平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边的中点，又会得到什么样的图形呢？证明你的结论。探索活动问题一从上面，由连接任意四边形各边中点到连接各种特殊四边形各边中点，所得到的图形形状的猜想和证明中，你有什么发现？上面一系列的证明都是通过作原四边形的对角线，利用三角形中位线定理和平行四边形的判定来证明的，教学中学生可能会发现：依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形的两条对角线的位置和数量关系有关。问题二“如果依次连接一个四边形各边的中点得到菱形，那么原来的四边形一定是矩形”这个命题正确吗？为什么？通过问题一的探索，对这个问题学生就可能关注到“原来的四边形的对角线有大小关系”， 并作反例来说明这个问题中的命题是假命题。问题三如何证明 “依次连接对角线相等的四边形各边的中点，得到的四边形是菱形”？问题四猜一猜：如果原来的四边形的对角线互相行政，那么依次连接的各边中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 30 页学习必备欢迎下载得到怎样的四边形？如果原来的四边形的对角线互相行政且相等，那么依次连接的各边中点得到怎样的四边形？例题教学例 题 ： 如 图 所 示 ， 有 一 块 四 边 形 的 地ABCD ， 测 得，顶点B、C 到 AD 的距离分别为10m、 4m，求这块地的面积. 例2 已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH 是平行四边形随堂练习小结思考（1）什么叫梯形中位线？梯形有几条中位线？（2）梯形中位线有什么性质？（3）梯形中位线定理的特点是什么？（4）怎样计算梯形面积？怎样计算任意多边形面积？作业布置板书设计教学笔记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 30 页学习必备欢迎下载课题小结与复习课时数第 15、16 课时总16 课时时间：9 月 21、 22 日教学目标教学重点教学难点教学过程二次备课情境创设探索活动例题教学随堂练习小结思考精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 30 页学习必备欢迎下载作业布置板书设计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 30 页